Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантовая теория поля
.pdf
1. ВВЕДЕНИЕ 11
Процессы, происходящие с космическими лучами, могут быть приблизительно выписаны в виде
α + атом −→ π
−
π
−
μ
−
+ ··· ,
−→ μ−+ νμ,
−→ e−+ νe+ νμ.
Это дает предсказание о равных количествах электронов, мюонов и мюонных антинейтрино в космических лучах. Тем не менее наблюдаемое количество мюонных нейтрино слишком мало и отличается примерно в два
раза от требуемого. Также, похоже, существует зависимость числа ν
направления движения. Количество приходящих в детектор нейтрино ν
от
μ
μ
уменьшается, если космические лучи приходят с другой стороны земной
атмосферы. Это наталкивает на мысль, что количество нейтрино каждого
типа зависит от времени, в течение которого они были поблизости.
Главные реакции, происходящие на Солнце, могут быть перечислены
в следующем виде:
p +
p −→2H + e++ νe,
−
p + e
+ p −→2H + νe,
2
H + p −→3He + γ,
3
He +3He −→4He + p + p,
3
He +4He −→7Be + p,
7
Be + e−−→7Be + νe,
7
Be + e−−→
7
Be + p −→8B + γ,
8
7
Li + p −→4He +4He,
8
Be −→4He +4He.
7
Li + νe,
7
Li∗+ νe,
B −→8Be + e++ νe,
Все эти реакции хорошо известны, и все спектры нейтрино могут быть,
таким образом, предсказаны. Тем не менее экспериментальное наблюдение
дает лишь
1
Количество производимого изотопа12C также может быть предсказано, и оно гораздо
меньше наблюдаемого в природе (например, существование нас). Замечательная идея Хой-
1
от ожидаемого количества нейтрино1.
3
’s
12 1. ВВЕДЕНИЕ
Считается, что уменьшение в три раза числа обнаруживаемых нейтрино по сравнению с предсказанным является указанием на то, что возможны
осцилляции нейтрино между различными поколениями.
1.4. Элементарные частицы в Стандартной модели
Ниже приведен список элементарных частиц, составляющих Стандартную модель, с их массами в GeV.
Фермионы
Эти частицы являются фундаментальными составляющими материи.
Все они имеют спин −
1
.
2
заряд
заряд −1
⎧
u-кварк 0.003 d-кварк 0.006
⎪
⎨
2
c-кварк 1.3 s-кварк 0.1
3
⎪
⎩
t-кварк 175 b-кварк 4.3
⎧
e 0.0005 ν
⎪
⎨
μ 0.1 ν
⎪
⎩
τ 1.8 ν
Кварки
Лептоны
e
μ
τ
< 0.00000001
< 0.0002
< 0.02
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
⎫
⎪
⎬
⎪
⎭
заряд −
заряд 0.
1
3
Бозоны
Эти частицы являются переносчиками фундаментальных взаимодействий в природе. Все они имеют спин 0. Их заряд (если он есть) показан
верхним индексом.
Электромагнитное Слабое Сильное
γ 0 W
ла (среди множества сумасшедших) состоит в том, что должно существовать возбужденное
состояние
12
C с энергией 7.45 MeV. Это было впоследствии обнаружено.
W
+
−
0
Z
80 g 0
80
91
2. ЛАГРАНЖИАНЫ 13
2. Лагранжианы
2.1. Что такое лагранжиан?
При абстрактном описании мы имеем
n
• Конечномерное векторное пространство R
• Конечномерное комплексное векторное пространство Φ с операцией
комплексного сопряжения .Этопространство абстрактных полей.
n
В R
имеется n-мерное пространство трансляционно-инвариантных
векторных полей, обозначаемых ∂
. Они порождают полиномиальное
μ
кольцо дифференциальных операторов R[∂
ренциальных операторов к абстрактным полям порождают пространство
R[∂
, ...,∂n] ⊗ Φ. Наконец, мы определяем пространство
1
V = Sym [R[∂
, ...,∂n] ⊗ Φ].
1
Это пространство лагранжианов. Любой элемент этого пространства называется лагранжианом.
Заметим, что мы можем рассматривать и более общие лагранжианы,
вводя формальные степенные ряды вместо алгебры полиномов. Мы можем
также вводить фермионные поля и потенциалы, меняющиеся в пространстве-времени.
Представление абстрактных полей отображает каждый элемент Φ
в комплекснозначную функцию на пространстве-времени (с сохранением
комплексного сопряжения). Такое отображение однозначно продолжается
до отображения из пространства V в пространство комплекснозначных
функций на пространстве-времени, сохраняющего операции произведения
и дифференцирования.
Поля могут быть также представлены операторами в гильбертовом пространстве или операторнозначными распределениями, хотя мы игнорируем
это, пока обсуждаем классическую теорию поля.
.Этопространство-время.
, ...,∂n]. Применения диффе-
1
2.2. Примеры
1) Лагранжиан колеблющейся струны.
Пространство Φ в данном случае является одномерным пространством
сбазисомϕ,такимчтоϕ
2
R
с координатами (x, t). Лагранжиан в данном случае есть
= ϕ. Пространство-время есть пространство
∂ϕ
∂t
2
−
2
∂ϕ
.
∂x
14 2. ЛАГРАНЖИАНЫ
Как физика описывается с помощью лагранжиана? Для того чтобы это
сделать, мы используем принцип Гамильтона, который утверждает,
что классические системы эволюционируют таким образом, что действие (интеграл от лагранжиана по пространству-времени) является
стационарным.
Если мы рассмотрим малое изменение ϕ, мы получим уравнение, дающее нам условия того, что действие является стационарным. Эти
уравнения называются уравнениями Эйлера – Лагранжа:
δL =
∂ϕ
∂δϕ
2
∂t
∂t
− 2
∂ϕ
∂x
∂δϕ
∂x
=
dx dt =
−2
∂
∂t
2
ϕ
+2
2
∂
∂x
2
ϕ
2
Таким образом, уравнения Эйлера–Лагранжа для рассматриваемого
лагранжиана имеют вид
∂
2
∂t
2
ϕ
2
ϕ
∂
=
.
2
∂x
Полученное уравнение в частных производных называется волновым
уравнением.
2) Вещественное скалярное поле.
Пространство Φ здесь также является одномерным пространством с ба-
зисом ϕ,такимчтоϕ
= ϕ. Пространство-время есть пространство Rn.
Лагранжиан имеет вид
δϕ dx dt.
∂
ϕ∂μϕ + m2ϕ2.
μ
Действуя как в предыдущем случае, мы получаем уравнения Эйлера–
Лагранжа:
μ
∂
∂μϕ = m2ϕ.
Полученное уравнение называется уравнением Клейна – Гордона.
3) Пример с нелинейностью: теория ϕ
4
.
Конструкция в точности совпадает со случаем уравнения Клейна–Гордона, за исключением того, что лагранжиан теперь имеет вид
ϕ∂μϕ + m2ϕ2+ λϕ4.
∂
μ
3. СИММЕТРИИ И ТОКИ 15
Это приводит к уравнениям Эйлера – Лагранжа вида
μ
∂
∂μϕ = m2ϕ +2λϕ3.
4) Комплексное скалярное поле.
Теперь пространство Φ является двумерным с базисом, задаваемым ϕ
и ϕ
. Пространство-время есть пространство Rn, и лагранжиан имеет
вид
∂
ϕ∂μϕ + m2ϕϕ.
μ
Уравнения Эйлера – Лагранжа записываются в виде
μ
∂
∂μϕ= m2ϕ,
μ
∂
∂μϕ = m2ϕ.
2.3. Общее уравнение Эйлера – Лагранжа
Метод получения уравнений Эйлера – Лагранжа может быть легко при-
менен к любому общему лагранжиану, состоящему из полей и их производных. Если мы сделаем это, мы получим
∂L
∂ϕ
− ∂
∂L
μ
∂(∂μϕ)
+ ∂
μ∂ν
∂L
∂(∂μ∂νϕ)
−··· =0.
В общем случае количество получаемых уравнений равно dim(Φ).
Уравнения Эйлера – Лагранжа и их производные порождают идеал EL
в V, и (во многом как и в теории D-модулей) мы можем дать чисто алгебраический способ изучения решений уравнений Эйлера – Лагранжа. Отношение V/EL является кольцом над C[∂
плексных функций на пространстве-времени R, C
над C[∂
]. Кольцо гомоморфизмов над C[∂μ] из V/EL в C∞(R) состоит
μ
]. Аналогично пространство ком-
μ
∞
(R) является кольцом
в этом случае во взаимно-однозначном соответствии с решениями уравнений Эйлера – Лагранжа.
3. Симметрии и токи
Рассмотрим комплексное скалярное поле. Если положить
μ
j
= ϕ∂μϕ − ϕ∂μϕ,
16 3. СИММЕТРИИ И ТОКИ
то нетрудно проверить выполнение соотношения
∂
jμ=0∈V/EL.
μ
Легко проверить также, что следующие преобразования (выполняемые одновременно) сохраняют лагранжиан:
iθ
ϕ → e
Целью данного раздела является объяснение того, как эти два факта связаны
между собой и почему j
μ
ϕ, ϕ→ e
называется сохраняющимся током.
−iθϕ
.
3.1. Очевидные симметрии
1
Обозначим через Ω
(V) модуль над V сбазисомδϕ, δ∂μϕ,...Суще-
ствует естественное отображение
δ : V→Ω
1
(V),
такое что
δ(ab)=(δa)b + a(δb) и δ∂
= ∂μδ.
μ
Мы можем рассматривать оператор δ как выполнение общей инфините-
зимально малой деформации полей в лагранжиане. Вычислим теперь δL
и используем правило Лейбница для устранения всех дифференцирований
δϕ по ∂
где A и B — производные Эйлера– Лагранжа, полученные при варьировании
полей ϕ и ϕ
чит, что, если мы заменим δϕ и δϕ
(путем интегрирования по частям). Мы получим выражение вида
μ
δL = δϕ · A + δϕ
.
Предположим, что у нас имеется симметрия, сохраняющая L.Этозна-
· B + ∂μJμ,
инфинитезимальными генераторами
симметрии в приведенном выше выражении, мы получим δL =0.Втаком
случае
−δϕ · A − δϕ
μ
— выражение, полученное из Jμзаменой δϕ и δϕинфинитезималь-
где j
· B = ∂μjμ,
ными генераторами симметрии. На фактор-пространстве V/EL мы получаем
∂
jμ=0,
μ
3. СИММЕТРИИ И ТОКИ 17
поскольку A и B лежат в EL. Для иллюстрации рассмотрим комплексное
скалярное поле с лагранжианом
L = ∂
ϕ∂μϕ + m2ϕϕ.
μ
Мы имеем
δL = ∂
= ∂
= δϕ
δϕ∂μϕ + ∂μϕ∂μδϕ + m2δϕϕ + m2ϕδϕ =
μ
(δϕ∂μϕ)−δϕ∂μ∂μϕ+∂μ(∂μϕδϕ)−∂μ∂μϕδϕ+m2δϕϕ+m2ϕδϕ =
μ
·(m2ϕ −∂μ∂μϕ)+δϕ·(m2ϕ−∂μ∂μϕ)+∂μ(δϕ∂μϕ + ∂μϕδϕ).
Можно видеть оба уравнения Эйлера – Лагранжа в конечном выражении
для dL. Имеется симметрия
ϕ → e
iθ
ϕ, ϕ→ e
−iθϕ
с инфинитезимальными операторами
δϕ = iϕ, δϕ
= −iϕ.
Подставляя эти выражения в конечную формулу для δL, легко проверить
соотношение δL =0. Сохраняющийся ток
μ
= ϕ∂μϕ − ϕ∂μϕ
j
получается из члена ∂μ(∗) в δL подстановкой вышеприведенных инфинитезимальных симметрий (и делением на −i).
Таким образом, имея инфинитезимальную симметрию лагранжиана L,
мы можем ассоциировать с ней нечто, называемое j
выписанному выше дифференциальному уравнению. j
ровским током. В действительности j
μ
является замкнутой (n−1)-формой,
μ
, что удовлетворяет
μ
называется нете-
задаваемой выражением
1dx2
ω = j
Дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет j
∧ dx3∧··· −j2dx1∧dx3∧··· + ···
μ
, становится при
этом условием замкнутости формы ω:
dω =0.
Пусть V
и V2являются двумя пространственноподобными областя-
1
ми, соединенными границей B,имеющейn − 2 пространственноподобное
18 3. СИММЕТРИИ И ТОКИ
000000000000
000000000000
000000000000
000000000000
000000000000
111111111111
111111111111
111111111111
111111111111
111111111111
0000000000000000000
0000000000000000000
0000000000000000000
0000000000000000000
0000000000000000000
0000000000000000000
0000000000000000000
1111111111111111111
1111111111111111111
1111111111111111111
1111111111111111111
1111111111111111111
1111111111111111111
1111111111111111111
x
B
V2
t
V1
и одно времениподобное направление. Тогда, используя теорему Стокса, мы
получаем
V
Таким образом, имеет смысл рассматривать интеграл от ω по пространственноподобной области как некоторое количество сохраняющегося
«нечто», в то время как интеграл по «пространственно-временной» области
должен рассматриваться как поток данного «нечто» во времени.
Заметим, что j
μ
, ассоциированный с симметрией, определен неодно-
значно, поскольку мы можем произвести его модификацию
2
ω =
V
ω +
ω.
B
1
слюбымиa
νμ
. Таким образом, в действительности сохраняющиеся токи
представляют собой элементы пространства
3.2. Не столь очевидные симметрии
Поскольку физика, управляемая лагранжианом, задается на самом деле
не самим лагранжианом, а его интегралом, мы можем позволить в действительности также симметрии, не сохраняющие L,ноизменяющиеегона
μ
j
→ jμ+ ∂ν(aμν− aνμ)
(n − 1)-формы
d[(n − 2)-формы]
.
3. СИММЕТРИИ И ТОКИ 19
полную производную ∂μ(∗).Членытакоготипаобратятсявнольпосле
интегрирования при вычислении действия.
Предположим, что мы имеем инфинитезимальную симметрию, такую
что
δL = ∂
Тогда, если мы в точности повторим анализ предыдущей главы, мы получим
μ
− kμ, удовлетворяющий уравнению
ток j
∂
(jμ− kμ)=0∈V/EL.
μ
(Kμ).
μ
Для иллюстрации рассмотрим вещественное скалярное поле с лагранжианом
∂
ϕ∂μϕ + m2ϕ2.
μ
Мы имеем
δL = ∂
δϕ∂μϕ + ∂μϕ∂μδϕ + m2δϕϕ + m2ϕδϕ =
μ
=2∂
(δϕ∂μϕ) − 2δϕ∂μ∂μϕ +2m2ϕδϕ =
μ
2
= δϕ · (2m
ϕ − 2∂μ∂μϕ)+∂μ(2δϕ∂μϕ).
Заметим, что мы можем видеть уравнения Эйлера–Лагранжа в конечном
выражении для δL. Рассмотрим преобразование
θ∂
ϕ → e
ν
ϕ
с инфинитезимальным оператором
δϕ = ∂
ϕ.
ν
Подставляя это выражение в конечную формулу для δL, мы легко проверяем
соотношение
δL = ∂
L = ∂μ(δ
ν
μ
L).
ν
Это показывает, что вышеприведенное преобразование является симметрией, сохраняющей физические законы, описываемые лагранжианом.
Мы видим также, что K
задается выражением
μ
μ
= δ
ν
j
L. Сохраняющийся ток, таким образом,
ν
μ
=2∂νϕ∂μϕ − δ
ν
μ
L.
ν
Полученный таким образом ток называется тензором энергии-импульса. Поскольку мы предполагали, что наши лагранжианы обладают
20 3. СИММЕТРИИ И ТОКИ
трансляционной пространственно-временной симметрией, все наши (классические) теории будут иметь тензор энергии-импульса. Часто нижний индекс у тензора энергии-импульса поднимается, и результирующее выражение для тока записывается в виде
μν
T
=2∂μϕ∂νϕ − gμνL.
3.3. Электромагнитное поле
В случае электромагнитного поля в пространстве полей Φ содержатся
линейно независимые элементы, обозначаемые A
μ
,такиечтоAμ= Aμ.
Напряженность поля определяется выражением
F
= ∂νAμ− ∂μAν.
μν
Мы предполагаем кроме того, что существуют также и другие поля, обозначаемые J
подразумевается, что в отсутствие электромагнитного поля поведение полей
μ
J
определяется некоторым лагранжианом LJ. Лагранжиан полной систе-
μ
, взаимодействующие с электромагнитным полем. При этом
мы дается при этом выражением
1
μν
L = −
Уравнения Эйлера– Лагранжа, получаемые при вариации полей A
Fμν− JμAμ+ LJ.
F
4
,имеют
μ
вид
∂
Fμν= Jν.
μ
Сравним эти уравнения с уравнениями Максвелла в векторной форме
∇·E = ρ,
∇·B =0,
∇×B −
∇×E +
Обозначим компоненты вектора E как E
∂
E = j,
∂t
∂
B =0.
∂t
, Ey, Ezианалогичнодлявекто-
x
ров B и j. Определим величины
⎛
0 −E
E
⎜
=
⎝
EyB
x
μν
F
Ez−ByB
−Ey−E
x
0 −BzB
0 −B
z
x
0
z
y
x
⎞
⎟
,J
⎠
⎛
⎞
ρ
j
⎜
⎟
μ
x
=
⎝
.
⎠
j
y
j
z
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]