Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантовая теория поля
.pdf
6. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ПРОПАГАТОРЫ 41
Рассмотрим сумму
Γ[ϕ
] −W[j]+jϕcl.
cl
Она дается суммированием по всем связным графам величин
−1+v
(g) − e(g)+p(g).
1
Если мы представим граф g в его древесной форме, то ясно, что эта сумма
равна нулю. Следовательно, мы имеем графическое доказательство того
факта, что функции Γ[ϕ
] и W[j] являются преобразованиями Лежандра
cl
друг друга.
6. Обобщенные функции и пропагаторы
Пусть C
пактным носителем. Дуальное пространство к C
∞
(Rn) является пространством гладких функций на Rnском-
0
∞
(Rn) называется про-
0
странством обобщенных функций. Обобщенные функции являются обобщением обычных функций, причем они всегда дифференцируемы. Для того
чтобы увидеть это, рассмотрим обобщенную функцию, определяемую ниже
для любой локально интегрируемой функции f(x):
M
: t →
f
f(x)t(x)dx.
n
R
Таким образом, пространство локально интегрируемых функций является
подпространством в пространстве обобщенных функций. Если мы предположим, что f(x) — дифференцируема, то мы можем получить по частям
M
f
: t →
f(x)t(x)dx = −
n
R
f(x)t(x).
n
R
Мы можем использовать это выражение для определения производной любой обобщенной функции как
∂
D(t):=−D
∂x
∂
∂x
t.
Таким образом, мы можем дифференцировать обобщенные функции, даже
те, которые получаются из функций с разрывами. Если мы продифференцируем функцию Хэвисайда
θ(x)=
0, если x<0,
1, если x>0,
42 6. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ПРОПАГАТОРЫ
то является легким упражнением показать, что мы получим следующую
обобщенную функцию:
δ(t)=t(0),
которая называется дельта-функцией Дирака. Это одна из наиболее часто
используемых обобщенных функций.
Легко определить носитель обобщенной функции. Если сделать это, то
дельта-функция будет иметь носитель только в начале координат. Можно
показать, что любое распределение, имеющее носитель только в начале
координат, есть линейная комбинация производных дельта-функций. Мы
будем широко использовать этот факт в дальнейшем.
Вообще говоря, в общем случае определить произведение двух обобщенных функций нельзя. Далее в этом разделе мы найдем достаточное
условие, которое гарантирует, что произведение обобщенных функций может быть осмысленно определено.
Естественная операция, возникающая в физике, есть преобразование
Фурье. Вообще говоря, определить преобразование Фурье для введенных
нами обобщенных функций нельзя (в общем случае они могут расти слишком быстро). Тем не менее, если мы используем более ограниченный класс
обобщенных функций, мы сможем это сделать. Однако перед этим вспомним некоторые основные факты о преобразованиях Фурье.
Если имеется функция f (x), то физики обычно определяют преобразование Фурье как
(
f(y)=e
−i(x,y)
f(x)dx.
n
Пусть S(R
ящим из функций на R
) является пространством Шварца пробных функций,состо-
n
, все производные которых убывают быстрее любой
степени координат. Стандартная проверка показывает, что преобразование
Фурье является автоморфизмом пространства Шварца. Легко доказать также стандартные формулы
(
(
f(−x)=(2π)
ϕ ∗ ψ = (ϕ(ψ,
)
ϕψ =(2π)
ψ =(2π)
ϕ
n
f(x),
−n
−n
(ϕ ∗(ψ,
(ϕ
(
ψ,
ψ =ϕ
(ϕ
(
ψ.
6. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ПРОПАГАТОРЫ 43
Последние две формулы говорят о том, что преобразование Фурье является
почти изометрией пространства Шварца.
Дуальное пространство к пространству Шварца есть пространство
обобщенных функций медленного роста. Грубо говоря, это означает, что
обобщенные функции обладают по большей мере полиномиальным ростом
(существуют примеры функций с неполиномиальным ростом, которые задают обобщенные функции медленного роста, но они в некотором смысле
могут рассматриваться как патологические).
Главное свойство обобщенных функций медленного роста, которое нам
нужно, есть то, что на них можно определить преобразование Фурье. Используя последнее из уравнений, мы определяем преобразование Фурье
обобщенной функции D выражением
(
D(t):=D((t).
6.1. Евклидовы пропагаторы
Используем преобразование Фурье обобщенных функций для нахождения решений дифференциальных уравнений, имеющих форму
2
∂
−
∂x
2
i
+ m
2
f = δ(x).
Вспомним, что наш первоначальный пропагатор Δ(x) был определен как
обобщенное решение уравнений Эйлера – Лагранжа, имевших именно такую форму.
Мы можем решить эти уравнения, используя преобразование Фурье
и решая получившееся полиномиальное уравнение. Одно из решений очевидно задается выражением
*
1
+ m
.
2
2
x
i
(
f =
Для нахождения решения f мы теперь просто используем обратное преобразование Фурье.
Рассмотрим случай, когда m =0. Тогда легко видеть, что решение
для(f является единственным. Поскольку это решение является гладким, то
конечное решение для f является быстроубывающим (поскольку преобразование Фурье соотносит гладкость с быстроубывающим поведением). Это
44 6. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ПРОПАГАТОРЫ
означает, что решение не имеет ИК-расходимостей. Например, в размерности 1 решение легко может быть вычислено и равно
π
−|x|m
e
f(x)=
m
.
При m =0некоторые вещи становятся более сложными. Очевидный
выбор для(f более не является гладким, и, таким образом, его преобразова-
ние Фурье будет иметь ИК-расходимости. Однако теперь уравнения имеют
более одного решения. Теперь мы можем надеяться (как и раньше), что
существует канонический выбор для(f — это не всегда верно, тем не менее
мы действительно имеем следующий результат.
Если f является однородной обобщенной функцией на R
a и a = −n, −n −1,... то оно продолжается единственным образом до
однородной обобщенной функции на R
n
.
n
−0 степени
Предположим, что обобщенная функция f задается интегрированием
произведения с однородной функцией f .Тогда
S
n−1
r=0
∞
f(w)r
a+n−1
ϕ(rw)dr dw.
f,ϕ=
n
R
fϕdx =
Попытаемся переписать этот интеграл таким образом, чтобы он определял
обобщенную функцию на R
n
, а не только на Rn−0. Определим следующую
обобщенную функцию для a>−1:
a
, если t>0,
t
a
t
=
+
0, если t<0.
Она может быть продолжена на все a = − 1,−2,...
1
Для того чтобы это
сделать, заметим, что приведенное выше распределение удовлетворяет дифференциальному уравнению
dt
d
t
a
+
= at
a−1
+
.
Имея такую обобщенную функцию на R, мы можем определить оператор
R
(ϕ)(x)=+t
a
1
В действительности t
a = −1, −2,....Кпримеру,вычетвточкеa = −1 является дельта-функцией.
a
является мероморфной обобщенной функцией с полюсами при
+
a+n−1
+
,ϕ(tx),.
6. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ПРОПАГАТОРЫ 45
Такой оператор сопоставляет функции ϕ однородную функцию степени −n−a. Рассмотрим функцию ψ, являющуюся сферически симметричной
функцией с компактным носителем на R
∞
ψ(rx)
0
n
− 0,такуючто
dr
=1.
r
Можно думать о ней как о пробной сферической функции. Тогда легко
проверить, что если ϕ является однородной степени −n − a,то
R
(ψϕ)=ϕ.
a
Таким образом, всегда можно восстановить пробную функцию на R
пробной функции на R
n
− 0 при условии, что она была однородной. Воз-
n
из
вращаясь к интегралу, определяющему изначальнуюобобщенную функцию,
мы видим, что
f,ϕ = f,ψR
если ϕ является пробной функцией на R
определена для пробных функций на R
(ϕ),
a
n
− 0. Тем не менее правая часть
n
, так что мы можем рассматривать
это как требуемое продолжение.
Поскольку любая обобщенная функция может быть получена дифференцированием обобщенной функции, задаваемой функцией, мы видим, что
приведенное рассуждение является достаточным для доказательства результата (проверка единственности и однородности продолжения является легким упражнением).
Из полученного выше результата мы видим теперь, что безмассовый
пропагатор является единственным в размерностях 3 и выше, и нетрудно
также показать, что он равен (x
Вразмерности1 существует много решений
2)1−n/2
.
|x|
+ kx, но константа k
2
может быть канонически положена равной нулю при требовании симметрии x →−x.
Вразмерности2 также существует множество решений 2ln|x| + k,
и в этом случае не существует канонического способа фиксации константы.
Заметим, что в этом случае продолжение не только не является единственным, но также и не является однородным.
6.2. Лоренцевы пропагаторы
Пропагаторы, которые нам на самом деле интересны в КТП, определены в действительности в лоренцевом пространстве. Новая возникающая
46 6. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ПРОПАГАТОРЫ
S
S
проблема теперь состоит в том, что у них имеются сингулярности вне начала координат.
Замечание. Из-за различия в выборе знаков в лоренцевом пространстве (+, −, −, −) и евклидовом пространстве (+, +, +) дифференциальные
уравнения меняют знак на минус. В лоренцевом пространстве мы пытаемся
решить следующее дифференциальное уравнение:
%
∂
∂i+ m
i
&
2
f = δ(x).
После преобразования Фурье нам нужно найти решение в смысле обобщенных функций уравнения
2
− m2)(f =1.
(p
Прежде чем решать это уравнение, посмотрим, насколько единственны такие решения. Это предполагает исследование решений уравнения
2
− m2)(f =0.
(p
Ясно, что такие решения задаются обобщенными функциями с носителями
на двух гиперболоидах S
и S2, задаваемых соотношением p2= m2.
1
1
2
Таких решений слишком много, поэтому мы уменьшаем их число, требуя, чтобы все наши решения были инвариантны по отношению к группе
вращений лоренцева пространства. Это означает, что теперь у нас имеется
только двумерное пространство решений.
Для получения решений исходного дифференциального уравнения нам
нужно вычислить обратное преобразование Фурье от выражения
(
f(p)=
1
p2− m
.
2
6. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ПРОПАГАТОРЫ 47
Интеграл, который мы при этом пытаемся вычислить, есть
exp(i(x
p
2
0
0p0
− p
2
1
− x1p1−···))
−··· −m
2
dp
и имеет сингулярности при p
= ±p
0
2
+ ···+ m2. Если считать все пере-
1
менные комплексными, а не вещественными, то мы можем рассматривать
данный интеграл как контурный интеграл. В плоскости p
мы можем ис-
0
пользовать следующий контур:
При этом каждую из сингулярностей мы можем обойти как снизу, так и сверху. Это дает нам четыре различных пропагатора. Все они имеют разные
свойства.
Если каждая из сингулярностей обходится сверху, то ясно, что интеграл
равен нулю при x
> 0, поскольку мы можем замкнуть контур в верхней
0
полуплоскости, что даст нам 0 по теореме Коши. Таким образом, пропагатор равен нулю при всех x
> 0. Мы предполагали, что наши пропагаторы
0
инвариантны относительно связной группы Лоренца, поэтому пропагатор
на самом деле равен нулю всюду вне нижнего светового конуса. По этой
причине этот пропагатор называется опережающим пропагатором иобозначается Δ
R
(x).
1
Если каждая из сингулярностей обходится снизу, то, как и выше, можно показать, что пропагатор равен нулю вне верхнего светового конуса.
По этой причине этот пропагатор называется запаздывающим пропагато-
ром и обозначается Δ
(x). Опережающий и запаздывающий пропагаторы
A
связаны соотношением
Δ
(x)=ΔR(−x).
A
Если теперь первая сингулярность обходится снизу, а вторая — сверху,то мы
получим фейнмановский пропагатор, который иногда обозначается Δ
1
В действительности в четных размерностях больше 2 опережающий пропагатор равен
нулю также внутри нижнего конуса. Это можно продемонстрировать, хлопая в ладоши и замечая наличие резкого хлопка. В четных размерностях это неверно, что можно показать, бросая
камни в пруд и наблюдая большое количество ряби.
(x)
F
48 6. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ПРОПАГАТОРЫ
или просто Δ(x). Он удовлетворяет условию
(x)=ΔF(−x).
Δ
F
Этот пропагатор кажется более сложными, нежели два предыдущих, поскольку у него нет хороших свойств обращения в ноль. Тем не менее это
является правильным выбором для пропагатора в КТП, поскольку его сингулярности являются достаточно умеренными для придания смысла произведениям типа F(Γ)Δ(x
− xj).
i
Если, наконец, первая сингулярность обходится сверху и вторая — снизу, мы получаем дайсоновский пропагатор. Во многом он аналогичен фей-
нмановскому пропагатору.
Все четыре пропагатора связаны соотношением
Δ
+ΔR=ΔF+ΔD,
A
что нетрудно показать, сравнивая контуры, определяющие каждую из обобщенных функций.
Наконец, мы должны объяснить, как построить пропагаторы в безмассовой теории. Для этого мы рассмотрим квадратичную форму на пространстве-времени как отображение R
пропагатор на R — отображение в обобщенную функцию на R
используя квадратичную форму. Мы получим однородное распределение
1,n−1
на R
до распределения на R
−0 и, используя предыдущие результаты, можем продолжить его
1,n−1
1,n−1
−→ R. Возьмем затем безмассовый
1,n−1
− 0,
при n>2. Мы имеем при этом те же проблемы, что и раньше для размерностей 1 и 2, — продолжение может быть не
единственным или неоднородным.
6.3. Волновые фронты и произведения обобщенных функций
В общем случае невозможно определить ограничение обобщенной
функции на подмногообразие или его область, так же как и невозможно
определить произведение двух обобщенных функций, если они обе имеют
сингулярности. Теория волновых фронтов позволяет нам указать достаточные условия, когда эти две операции могут быть произведены. Это является важным для нас, поскольку нам надо будет рассматривать произведения
обобщенных функций при нашем определении нормировочных предписаний.
Определим две обобщенные функции формулами
f
(ϕ)=
1
ϕ(x)
dx, f
x
C
1
2
(ϕ)=
ϕ(x)
dx,
x
C
2
6. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ПРОПАГАТОРЫ 49
где оба контура показаны ниже:
C2
C1
Если бы мы могли определить произведения типа f1f1или f1f2,мы
могли бы ожидать, что они удовлетворяют уравнениям вида-f
=(f1∗(f2.
1f2
В действительности при условии, что свертка двух обобщенных функций(f
и(f2может быть определена, мы могли бы взять обратное преобразование
Фурье за определение произведения обобщенных функций. Вычислим поэтому преобразование Фурье f
(
f
1
(p)=
1, если p<0,
0, если p>0,
1
и f2:
(
f2(p)=
0, если p<0,
1, если p>0.
1
Теперь легко видеть, что мы можем вычислить сверки(f
но не можем вычислить(f
заключается в том, что(f
∗(f2. Легко видеть также, что причина этого
1
и(f2имеют разные носители. Таким образом,
1
мы должны ожидать, что существуют произведения f
существует произведения f
. Легко показать следующее.
1f2
∗(f1и(f2∗(f2,
1
и f2f2,ноне
1f1
Если f и g имеют носители при x M,тосверткаf ∗g может быть
определена (аналогично, если f и g имеют носители при x M ).Однако
если f имеет носитель при x M и g имеет носитель при x N ,то
могут возникнуть проблемы с расходимостями при определении f ∗ g.
Более детальное рассмотрение показывает в действительности, что
проблема состоит не в том, где расположены носители обобщенных функций, а в том, что преобразование Фурье этих функций убывает недостаточно быстро. Это соображение приводит к концепции множества волновых
фронтов.
Пусть u является обобщенной функцией на R
конус (исключая 0)вR
n∗
, образованный направлениями, в которых (u не яв-
n
.ОпределимΣ(u) как
ляется быстроубывающей. Таким образом, Σ(u) является мерой глобальной
гладкости u. Тем не менее мы знаем, что единственной проблемой с произведениями обобщенных функций является появление сингулярностей в одной и той же точке, поэтому нам нужна некая локальная версия Σ(u).
50 6. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ И ПРОПАГАТОРЫ
Пусть ψ является пробной функцией, сосредоточенной вблизи точки x.
Тогда
Σ
x
(u)=
.
Σ(uψ)
ψ
является конусом, который зависит только от поведения u вблизи x.Вол-
новой фронт, по определению, представляет собой все пары точек (x, p) ∈
n×Rn∗
∈ R
,такиечтоp ∈ Σx(u). Это множество обозначается как WF(u).
Например, легко найти волновые фронты для f1и f2:
WF(f
)={(0,p): p<0}, WF(f2)={(0,p): p>0}.
1
Главный результат, используемый нами в дальнейшем, относится к вопросу, когда можно определить обратное отображение обобщенных функций.
Пусть f : M → N является гладким отображением между гладкими многообразиями и u — обобщенная функция на N. Предположим, что
не существует точек (x, p) ∈ WF(u), таких что p является нормальным
к df (T
такое, что WF(f
M). Тогда может быть определено обратное отображение f∗u
x
∗
u) ⊂ f∗WF(u). Такое обратное отображение являет-
ся единственным непрерывным способом продолжения обратного отображения функций на обобщенные функции, удовлетворяющие условию на
волновой фронт.
Объясним вкратце, как определять обратное отображение обобщенных функций. Любая обобщенная функция может быть задана как предел
обобщенных функций, задаваемых гладкими функциями с компактными
носителями. Возьмем такую последовательность для распределения u.Мы
можем предполагать в дальнейшем, что эта последовательность демонстрирует равномерное хорошее поведение в направлениях, не входящих в волновой фронт. Предполагая это, мы можем произвести обратное отображение
функций u
в функции на M. Условие на то, что нормальные направле-
j
ния не попадают в волновой фронт, является при этом достаточным для
того, чтобы гарантировать, что перенесенная последовательность функций
сходится к некоторой обобщенной функции.
Сформулированный результат позволяет нам определить произведение
обобщенных функций в том случае, когда волновые фронты обладают определенными свойствами. Если у нас имеются две обобщенные функции u и v
на многообразииM , то мы можем определить очевидным образом обобщенную функцию u ⊗v на многообразии M ×M . Если мы рассмотрим теперь
1
Заметим, что волновой фронт является подмножеством касательного расслоения к
n
Ê
.
1
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]