Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантовая теория поля
.pdf
7. КТП ВВЫСШИХРАЗМЕРНОСТЯХ 61
Ассоциативность. Если бы перенормировки действовали на нормировочных предписаниях точно, это следовало бы немедленно. К сожалению,
перенормировки не действуют точно на нормировочных предписаниях. Рассмотрим вместо этого множество всех отображений F из фейнмановских
диаграмм в обобщенные функции, коммутирующие с изоморфизмами графов. Мы покажем, что перенормировки действуют на этом множестве точно и, следовательно, их произведение является ассоциативным. Определим
отображение F формулой
F(Γ) =
δ(x), если Γ=•,
0 в противном случае.
Тогда легко видеть, что
C[F](Γ) = C(Γ)F(•)
и, таким образом, действие является точным.
Единица. Единичной перенормировкой, очевидно, является следующая:
C(Γ) =
Обратный элемент. Для заданной перенормировки C
перенормировку C
1
1, если Γ есть набор точек,
0 в противном случае.
такую, что
мы хотим найти
2
C1(γ)C2(C1(γ)−1Γ/γ)=0
γ⊂Γ
всегда, когда Γ не есть набор точек. Определим C
с помощью индукции по
1
размеру графа следующим образом:
C
(Γ) = −
1
C1(γ)C2(C1(γ)−1Γ/γ).
γΓ
Легко видеть, что это задает обратный элемент.
Таким образом, определенное выше произведение действительно задает групповую структуру на множестве перенормировок, которые действуют
на множестве перенормировочных предписаний. Важно, что это действие
оказывается транзитивным. Чтобы это показать, предположим, что мы имеем два предписания F
(Γ) = F2(Γ), но F1(γ)=F2(γ) для γ ⊂ Γ.
F
1
и F2и связный граф Γ такой, что
1
Определим перенормировку C на связных графах γ следующим образом.
62 7. КТП ВВЫСШИХРАЗМЕРНОСТЯХ
• 1,еслиγ является точкой.
• Если γ =Γ,тоF
распределением с носителем на диагонали M
(Γ) −F1(Γ) является трансляционно-инвариантным
2
Γ
. Оно может быть запи-
сано в виде C(Γ)δ(diag). Используем это для определения C(Γ).
• 0,еслиγ не есть точка или Γ.
Продолжим это определение на все графы, используя мультипликативность
по отношению к несвязному объединению. Это дает перенормировку. Легко
видеть, что C[F
](γ)=F2(γ) для всех γ Γ. Рассмотрим теперь
1
C[F
](Γ) =
1
C(γ)F1(C(γ)−1Γ/γ)=
γ⊂Γ
= F
(Γ) + C(Γ)F1((C(Γ)−1Γ)/Γ) =
1
= F
(Γ) + C(Γ)δ(diag).
1
Равенство между строками 2 и 3 обуславливается тем, что единственный
ненулевой член в неявном суммировании возникает тогда, когда никакие
дифференцирования не применяются к графу. Это в точности оставшийся
член в строке 3.
Следовательно, повторяя эту конструкцию конечное число раз, мы найдем перенормировку C, для которой C[F
фов γ ⊂ Γ.ПриэтомC[F
в Γ. Таким образом, C[F
но отличается от F
1
]=F1для всех связных графов, не входящих
1
] совпадает с F2на большем количестве графов,
1
только на конечном множестве связных графов. Сле-
]=F2для всех связных гра-
1
довательно, мы можем повторить эту конструкцию бесконечное число раз
и взять композицию всех таких C. Такая композиция является хорошо определенной, поскольку только конечное число перенормировок C действует
нетривиально на каждом их графов. Таким образом, мы построили перенормировку C такую, что C[F
]=F2,и,следовательно,группа перенормировок
1
действует транзитивно на множестве нормировочных предписаний.
7.5. Дополнительные условия на нормировочные предписания
Мы добавим теперь новое условие, которое нам хотелось бы иметь для
нормировочных предписаний. Это означает, что мы должны опять пройти
через все доказательства предыдущих двух глав для того, чтобы проверить,
что соответствующие утверждения верны в нашей новой постановке. Тем
не менее мы оставим это как упражнение для читателя — большинство
доказательств требует лишь тривиальной модификации.
7. КТП ВВЫСШИХРАЗМЕРНОСТЯХ 63
Мы имеем действие алгебры U(M )Γкак на фейнмановских графах, так
и на обобщенных функциях на M
Γ
,атакженасамойU(M )Γ. Естественно
потребовать поэтому, чтобы как C,такиF коммутировали с этим действием.
С этого момента мы будем предполагать, что эта дополнительная аксиома
наложена на перенормировки и нормировочные предписания.
Зададимся вопросом: если у нас есть нормировочное предписание F,
какова подгруппа перенормировок, оставляющая его неизменным? Мы
утверждаем, что это перенормировки C, удовлетворяющие любому из сле-
дующих эквивалентных условий.
1) C(Γ) действует тривиально на обобщенной функции, сосредоточенной
на диагонали, δ(diag).
2) C(Γ) содержится в левом идеале, порожденном диагональным вложением дифференциальных операторов первого порядка:
∂
, 1,...,1+1,
∂x
∂
, 1,...,1+ ···+1, ...,1,
∂x
∂
∂x
.
Ясно, что два этих условия являются эквивалентными.
Предположим, что C обладает свойством 2. Тогда мы можем считать,
что C(γ) является суммой членов вида ba,гдеb — любой дифференциальный
оператор и a — один их генераторов идеала, определенного в условии 2.
Тогда
C(γ)F(C(γ)
−1
Γ/γ)=baF(S(a)S(b)Γ/γ)=
=baS(a)F(S(b)Γ/γ)=
=bη(a)F(S(b)Γ/γ)=
=0.
Переход от строки 1 к строке 2 обуславливается тем, что S(a) является
дифференциальным оператором, содержащимся в идеале, и легко проверить, что это сводится к диагональному дифференциальному оператору,
действующему на Γ/γ. Это может быть протянуто через F согласно нашему предположению. Наконец, вспоминая, что обобщенная функция на M
Γ/γ
поднимается до обобщенной функции на MΓ, легко видеть, что действие
диагонального оператора поднимается до S(a) на поднятой таким образом
обобщенной функции.
64 7. КТП ВВЫСШИХРАЗМЕРНОСТЯХ
По определению aS(a)=η(a), что является нулем, поскольку a содер-
жит члены, являющиеся дифференциальными операторами.
Таким образом, действие C на F задается формулой
C[F](Γ) =
C(γ)F(C(γ)−1Γ/γ)=F(Γ),
γ⊂Γ
поскольку все члены, за исключением того, где γ является набором точек,
дают ноль, в то время как этот член дает F (Γ).
Предположим, что C оставляет F на месте. По индукции, мы можем
считать, C обладает любым из сформулированных выше свойств для достаточно малых графов γ.ПустьΓ является графом, для которого мы пока
не знаем значения C(Γ), но такого, что мы знаем значение C(γ) для всех
меньших γ.Тогда
C[F](Γ) =
C(γ)F(C(γ)−1Γ/γ)=F(Γ) + C(Γ)F(•).
γ⊂Γ
Большинство членов являются нулевыми согласно вычислению, приведенному выше. Последний член показывает, что C(Γ) должно действовать три-
виально на F(•), которое есть всего лишь обобщенная функция δ(diag).
Мы показали, таким образом, что подгруппа перенормировок, остав-
ляющая на месте любое фиксированное нормировочное предписание, совпадает с тем, что мы утверждали. Следовательно, эта подгруппа является
нормальной, и фактор-группа группы перенормировок по стабилизатору
действует просто и транзитивно на множестве нормировочных предписаний.
В физической литературе можно видеть требование нового ограниче-
ния на нормировочные предписания: пусть Γ ∪ e является графом с ре-
бром e, соединяющим различные связные компоненты Γ.ТогдаF(Γ ∪ e)=
= F(Γ)F(e) везде
1
. Соответствующее ограничение, накладываемое нами
на C,состоитвтом,чтоC(Γ) = 0,еслиΓ является связной, но не 1ЧНП.
7.6. Произведения обобщенных функций в нормировочных
предписаниях
Вспомним, что определение нормировочного предписания требовало
от нас умения перемножать обобщенные функции. Например, если мы при-
1
После определения волнового фронта графа в следующем разделе будет легко показать,
что это произведение хорошо определено.
7. КТП ВВЫСШИХРАЗМЕРНОСТЯХ 65
меняем F кследующемуграфу:
мы должны получить обобщенную функцию Δ(x − y)Δ(x − y) при x = y.
Из условия, доказанного в предыдущей главе, ясно, что нам хотелось бы,
чтобы волновой фронт для Δ содержался в некотором полупространстве
в каждой точке, кроме нуля. Это выполняется для фейнмановского (и дайсоновского) пропагатора, но не выполняется для других. Таким образом,
мы будем всегда выбирать фейнмановский пропагатор как значение F(e).
Нам надо теперь показать, что этот выбор всегда позволяет нам вычислить
произведение F(Γ)F(e). Покажем это по индукции.
Сопоставим ребру e, ведущему из вершины x в y, обобщенную функ-
цию двух переменных, которая полагается равной Δ
(x − y).Мыдолжны
F
показать, что это хорошо определенная волновая функция, и вычислить ее
волновой фронт.
Если мы рассмотрим отображение f : M
2
→ M , задаваемое форму-
лой (x, y) → x − y,тоΔ(x, y) является обратным отображением обобщенной функции Δ
(z) по отношению к f. Поскольку это отображение
F
является сюръекцией на касательных пространствах, оно очевидно удовлетворяет условию существования обратного отображения для обобщенных
функций. Следовательно, Δ(x, y) является хорошо определенной обобщенной функцией на M
2
. Ее волновой фронт содержится в f∗WF(ΔF).После
вычисления мы получаем, что это само по себе содержится в множестве
0
(x, y, p, −p): p 0, если x y, p ≺ 0, если x ≺ y,
p произвольно, если x = y1.
В написанной выше формуле мы использовали обозначение x y,еслиx−y
лежит в выпуклой оболочке переднего светового конуса. Аналогично x ≺ y,
если x − y лежит в выпуклой оболочке заднего светового конуса. Заметим,
что описанное нами множество значительно больше множества WF(f
∗
ΔF),
однакоонодостаточномалодлянашихцелей.
Для любого графа Γ с m вершинами определим следующий волновой
фронт:
WF(Γ) =
⎧
⎨
(x
, ...,xm,p1, ...,pm):
1
⎩
pi 0 для всех x ∈ M
xix
⎫
⎬
⎭
.
66 8. ПЕРЕНОРМИРОВКА ЛАГРАНЖИАНОВ
Заметим, что волновой фронт для обобщенной функции Δ(x, y) содержится
в волновом фронте, определенном нами для ребра e (даже в начале коорди-
нат).
Покажем два следующих свойства таких множеств волновых фронтов.
1) WF(F(Γ)) ⊂ WF(Γ) для всех графов Γ.
2) Множества WF(Γ) являются достаточно хорошими, для того чтобы по-
казать, что произведения обобщенных функций, возникающие в определении нормировочного предписания, существуют.
Для того чтобы это сделать, нам понадобится следующий результат, относящийся к тому, как произведение обобщенных функций меняет волновой
фронт.
WF(fg)⊂{(x, p + q): (x, p) ∈WF(f) или p =0, (x, q) ∈WF(g) или q =0}.
Если Γ=Γ
ций F(Γ
)F(Γ2) определено (поскольку у них нет общих сингулярностей).
1
Γ2, то ясно, что произведение обобщенных функ-
1
Ясно также, что WF(F(Γ)) ⊂ WF(Γ).
Пусть Γ ∪ e является графом с ребром e, ведущим из вершины 1 ввершину 2 (без потери общности). Из выпуклости переднего светового конуса
легко видеть, что WF(F(Γ ∪ e)) ⊂ WF(Γ ∪ e). То, что нам надо проверить, — это то, что произведение обобщенных функций F(Γ)F(e) хорошо
определено при x
= x2. Пусть мы имеем два элемента волнового фронта,
1
отвечающего одной точке, сумма частот которых равна нулю:
(x
, ...,xm,p1,p2, 0, ...,0) ∈ WF(Γ)
1,x2
и
(x
,...,xm, −p1, −p2, 0,...,0) ∈ WF(e).
1,x2
Выбирая x = x
и x = x2, мы видим, что p1= p2=0и, следовательно, два
1
множества волновых фронтов удовлетворяют достаточным условиям для
возможности определения произведения F(Γ)F(e) при x
1
= x2.
Таким образом, по индукции по размерам графа мы показали, что наше
задание нормировочного предписания является хорошо определенным.
8. Перенормировка лагранжианов
Вспомним, что при вычислении фейнмановского интеграла по путям у
нас возникали следующие интегралы:
J(x
) ···J (xN)×
1
iÊL
dnx
free
e
ϕ(x1)
n
1
···ϕ(xN)
n
N
Dϕdnx1···dnxN.
8. ПЕРЕНОРМИРОВКА ЛАГРАНЖИАНОВ 67
Внутренний интеграл называется функцией Грина (это немного неправильно, поскольку это не функция, а обобщенная функция). Если мы могли
бы вычислить все функции Грина, то в основном мы получили бы все, что
нам нужно. Для вычисления функции Грина мы рассматриваем граф с n
1
вершинами, отмеченными x1, ..., nNвершинами, отмеченными xN.Из
этого графа мы извлекаем (используя выбранное нормировочное предписание F) некоторую обобщенную функцию. Суммируя по всем таким графам,
мы получим обобщенную функцию, которая является функцией Грина.
Описанная процедура содержит произвол в выборе нормировочного
предписания F. Мы уже знаем, что нормировочное предписание не является единственным, так что это могло бы означать, что мы можем получить
в результате различные ответы, зависящие от выбора F. Мы знаем также о множестве нормировочных предписаний F, что на нем транзитивно
действуют конечные перенормировки. Это позволяет нам разрешить очевидную неоднозначность следующим образом: определить действие конечных перенормировок на лагранжиан, такое что одновременное действие на
лагранжиан и F дает те же самые функции Грина. Тогда, если двое физиков выберут различные нормировочные предписания, они должны также
выбрать различные лагранжианы, и, делая это правильным образом, они
смогут получить одинаковые ответы.
В этой главе мы определим действие конечных перенормировок как на
элементах V, так и на определенных обобщенных диаграммах Фейнмана.
8.1. Алгебры обобщенных функций
У нас уже имеется действие конечных перенормировок на обобщенные
функции, поэтому, если мы поймем, структурами какого вида обладают
эти обобщенные функции, это поможет нам определить действие конечных
перенормировок на других множествах. В этом разделе мы перечислим
важные структуры, которым удовлетворяют эти обобщенные функции —
при этом множества, удовлетворяющие конечному набору аксиом, мы будем
называть алгебрами обобщенных функций.
Для любого конечного множества I обозначим через M
×|I|
ние M
с координатами, обозначаемыми xiдля i ∈ I .Обозначимче-
рез Dist (I) пространство обобщенных функций на M
I
.
I
произведе-
Существует две очевидные операции с конечными множествами — объединение непересекающихся множеств и гомоморфизмы — мы должны исследовать, как пространства обобщенных функций ведут себя при каждой
из этих операций.
Если у нас есть обобщенные функции u ∈ Dist (I) и v ∈ Dist (J ),
мы можем получить обобщенную функцию в Dist(I J ), беря тензорное
68 8. ПЕРЕНОРМИРОВКА ЛАГРАНЖИАНОВ
произведение обобщенных функций u ⊗ v. Это дает нам отображения
Dist (I ) × Dist (J) −→ Dist (I J).
Рассмотрим отображение f : I → J . Что при этом происходит с обобщенными функциями? Мы можем рассматривать M
отображений из I в M и аналогично для M
J
видным, что отображение f индуцирует отображение f : M
I
как пространство
; из этого становится оче-
J
→ MI.Те-
перь заметим, что гладкие функции с компактными носителями на M
являются отображениями из MIв R.Еслиf не является «отображением
на», то мы не получаем отображений C
∞
(MI) → C
0
∞
(MJ) итакжемо-
0
жем потерять компактность. Существует несколько путей обойти это — мы
можем ограничиться только «отображениями на» между множествами или
изменить тип обобщенных функций, которые мы используем. В данный момент мы выберем другие обобщенные функции. Существует два очевидных
выбора: обобщенные функции с компактными носителями (дуальное пространство к функциям C
(дуальное пространство к функциям C
более чем полиномиальным ростом). Таким образом, мы получаем отображение F : C
∞(MI
щенные функции являются дуальными пространствами к этим пространствам функций, так что мы получаем отображение f
У обобщенных функций есть одно важное свойство — их можно дифференцировать. Равносильно можно сказать, что имеется действие U
Dist (I ),гдеU — универсальная обертывающая алгебра пространства-време-
ни. Каждое отображение f : I → J индуцирует отображение f
∞
) или быстроубывающие обобщенные функции
) → C∞(MJ) (аналогично для C
∞
, т.е. функциям, обладающим не
poly
∞
). Наконец, обоб-
poly
∗
: Dist (J ) → Dist (I).
∗
: UJ→ U
I
на
следующим образом: f приводит к отображению MJ→ MI; рассматривая
алгебру Ли каждой из сторон и затем беря универсальную обертывающую
алгебру, получаем отображение f
как о возникающем из структуры коумножения на пространствах U
∗
. Об этом действии можно думать так же,
I
.
Эти три структуры на множестве обобщенных функций являются, очевидно, согласованными.
Таким образом, мы показали, что алгебра обобщенных функций по
определению включает в себя
1
I
I
• набор векторных пространств, V(I), по одному для каждого конечного
множества I;
• для каждого отображения f : I → J — отображение f
1
На языке теории категорий у нас есть два контравариантных тензорных функтора
V : Sets
→ Vect и U : Sets → Alg и тензорное действие V ⊗ U → V.
∗
: V(J) → V(I);
8. ПЕРЕНОРМИРОВКА ЛАГРАНЖИАНОВ 69
• действие UIна V(I),совместимоесf∗втомсмысле,что
∗
f
(Dv)=f∗(D)f∗(v),
∗
где f
: UJ→ UI;
• естественные отображения V(I )×V(J ) → V(IJ) (т. е. они совместны
с отображениями I → I
и J → Jи совместны с действием UIи UJ);
• возможные дополнительные условия на умножение, такие как комму-
тативность, ассоциативность и т. п.
Мы можем теперь попытаться найти действие конечных перенормиро-
вок на V (возможные члены в лагранжиане). Для того чтобы это сделать,
мы сначала определим структуру алгебры обобщенных функций на этих
членах.
Первым предположением могло бы быть V(I):=V
это не приводит к индуцированным отображениям f
⊗I
. К сожалению,
∗
: V(J) → V(I).Существует два способа обойти эту проблему — мы можем просто дать правильное определение пространств V(I) или вернуться на некоторое время
к теории категорий. Начнем с подхода теории категорий.
Существует очевидный функтор из категории алгебр обобщенных
функций в категорию алгебр обобщенных функций, забывающий существование f
функтор из этой второй категории в первую. Применение этого левого сопряженного функтора к выбору V
∗
-аксиомы. Беря левый сопряженный этого функтора мы получим
⊗I
даст нам подходящий объект. После
некоторого обдумывания мы можем сформулировать ответ в первом приближении:
Lag (I ):=
I
Мы рассматриваем U
очевидно, что для заданного отображения g : I → J мы получаем отображение g
∗
: Lag (J ) → Lag (I) — имея отображение f : J → K, мы получаем
как UK-модуль с помощью отображения f∗. Теперь
f:I→K
UI⊗
U
K
V⊗K.
отображение I → K путем композиции с g.
Мы имеем теперь структуру алгебры обобщенных функций на элементах V, таким образом, мы должны суметь теперь построить на них действие
конечных перенормировок. Перед тем как сделать это, опишем графическое
обозначение элементов Lag (I).
Пусть у нас имеется элемент из V
имеет вид v
⊗ ···⊗ vk. Для каждого элемента из K нарисуем жирную
1
⊗K
. Мы будем предполагать, что он
70 8. ПЕРЕНОРМИРОВКА ЛАГРАНЖИАНОВ
точку (•), и обычно мы не будем выписывать элемент из K, соответствую-
щий вершине. Вершину, относящуюся к i ∈ K, отметим элементом v
из V.
i
Мы имеем также отображение f : I → K. Каждый элемент из I мы будем
изображать крестом (×). Проведем пунктирную линию из вершины i ∈ I
в f(i) ∈ K. Дифференциальные операторы действуют на крестовые вершины, подчиняясь определенным соотношениям, что позволяет перенести их
на жирные вершины.
Например, следующая диаграмма (с опущенными обозначениями жирных вершин для избежания беспорядка) является возможной диаграммой
из Lag ({1, 2, 3}):
Пример того, как действуют дифференциальные операторы, показан на следующей диаграмме (где ∂ — оператор первого порядка из U):
Отображения g
∂
+
∗
также легко визуализовать с помощью таких диаграмм.
=
∂
Поставим новые кресты для элементов из J и проведем из них пунктирные
линии к крестам, соответствующим элементам из I. Перенесем дифференциальные операторы, определенные на вершинах I, на вершины J , используя отображение g
∗
(или коумножение), и затем отбросим все вершины из I
вместе с любыми дифференцированиями на них.
Если отображения g не являются «отображениями на», то существует дополнительное условие на жирные вершины, у которых нет крестовых
вершин, ведущих к ним: обозначения на этих вершинах должны рассматриваться по модулю точных членов в V. Это можно увидеть, рассматривая,
как такая производная переносится через тензорное произведение U
I
⊗
K .
U
Мы можем аналогично определить структуру алгебры обобщенных
функций на диаграммах Фейнмана. Снова очевидный выбор V(I) ввиде
графов на |I|-вершинах не позволяет определить отображения g
∗
.Применение трюка с левым сопряженным оператором снова дает нам пространство Feyn (I). Как и выше, это может быть представлено графически
нормальными отмеченными фейнмановскими диаграммами на |K|-вершинах (•). Для любого отображения f : I → K мы ставим крестовые вершины (×) для каждого элемента из I и соединяем их с соответствующими
вершинами из K. Дифференциальные операторы действуют на крестовых
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]