Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантовая теория поля
.pdf
8. ПЕРЕНОРМИРОВКА ЛАГРАНЖИАНОВ 71
вершинах, как и раньше. Например, следующая диаграмма представляет
собой возможный элемент из Feyn ({1,2, 3,4}).
Аналогичное ограничение на обозначения ребер, проходящих через
вершины, к которым не присоединены крестовые вершины, здесь также
имеет место: мы должны рассматривать графы по модулю «точных графов».
При этом, однако, является менее очевидным, является ли сумма графов
точной, по сравнению с вопросом, является ли точной вершина.
Тот факт, что мы рассматриваем некоторые вершины по модулю точных членов, указывает на то, что имеет место какой-то тип интегрирования
(точные члены дают после интегрирования ноль). Это действительно правильный способ думать о таких диаграммах. Крестовые вершины обозначают вставку частиц с пространственно-временным положением, обозначенным жирными вершинами. Они распространяются согласно диаграмме,
но нам при этом не важно как именно, поэтому мы должны проинтегрировать по всем пространственно-временным положениям, не зависящим от
вставленных частиц (т.е. тех, к которым не примыкают крестовые вершины). В конечном счете мы образуем сумму по всем возможным диаграммам
с определенными вставками, что будет соответствовать амплитуде вероятности происхождения данного события.
8.2. Действие перенормировок на Lag и Feyn
В этом разделе мы построим действие конечной перенормировки C на
алгебре обобщенных функций Lag. Для того чтобы это сделать, мы сначала определим действие C: V
⊗I
→ Lag (I ). Это приведет к действию C
на Lag применением левого сопряженного функтора. Аналогично мы определим действие C на Feyn, определяя сначала его на нормальных фейнмановских диаграммах и затем продолжая его на Feyn, используя левый
сопряженный функтор. Мы найдем гомоморфизмы алгебры обобщенных
функций Lag →Feyn,атакжеFeyn → Dist для каждого нормировочного
72 8. ПЕРЕНОРМИРОВКА ЛАГРАНЖИАНОВ
предписания. Все они будут определены таким образом, что диаграмма
Lag (I )
-
Feyn (I )
C[F]
-
C
C
Dist (I)
-
?
Lag (I )
-
Feyn (I )
?
F
будет коммутативной. Для заданного нормировочного предписания F ком-
позиция Lag (I) → Dist(I) называется функцией Грина.Водномизследующих разделов мы определим, что мы понимаем под функцией Грина,
связанной с лагранжианом, и затем мы сможем увидеть, что коммутативность приведенной выше диаграммы позволяет нам определять, как изменять лагранжианы, чтобы сбалансировать эффекты, вызванные изменением
нормировочного предписания.
8.2.1. Действие на Lag
Мы сначала определим действие C на элементах V
что элемент V
⊗I
имеет вид v1⊗···⊗vn. Мы представили бы это как набор
n жирных точек (•), где i-яточкаобозначенаполемv
⊗I
.Предположим,
.Пустьγ есть любой
i
граф на этих n вершинах, ребра которого могут быть обозначены полями
градуировки 1 из посаженных на каждую вершину.
Что мы имеем в виду в последнем предложении? Предположим, что
мы нарисовали (неотмеченный) граф γ с вершиной i,имеющейвалентность d
строить член Δ
. Используя кокоммутативное коумножение на V,мыможемпо-
i
d
i
(vi) ∈V
⊗(di+1)
. Вспомним, что V является градуированной при предположении, что U (универсальная обертывающая алгебра
пространства-времени) действует с градуировкой 0,абазовыеполяимеют
градуировку 1.
d
нат Δ
i
(vi) все имеют градуировку 1. Отметим вершину i диаграммы γ
с помощью первой координаты Δ
1
Определим проекцию, полагая, что последние diкоорди-
d
i
(vi) и diребер — с помощью оставших-
ся координат.
Например, предположим, что вершина отмечена полем ϕ
3
и имеет ва-
лентность 1. Легко вычислить
1(ϕ3
)=ϕ3⊗ 1+3ϕ2⊗ ϕ +3ϕ ⊗ϕ2+1⊗ ϕ3.
Δ
1
Кпримеру,ϕ и ∂ϕ имеют оба градуировку 1,ноϕ2и ϕ∂ϕимеют оба градуировку 2.
8. ПЕРЕНОРМИРОВКА ЛАГРАНЖИАНОВ 73
Проекция оставляет только член 3ϕ2⊗ϕ, поскольку остальные имеют гра-
дуировки 0, 2 и 3 при последней координате. Таким образом, мы должны
отметить ребро полем ϕ и вершину — полем 3ϕ
Таким образом, мы можем построить большое (но конечное) число гра-
фов из каждого элемента V
⊗I
. Для каждого из таких графов мы получаем
2
.
дифференциальный оператор C(γ),гдеC является конечной перенормиров-
кой и действует на γ, игнорируя символы в вершинах. Мы можем образовать
сумму
v
⊗··· ⊗vn→
1
где мы используем введенное ранее соглашение о суммировании.
Мы можем думать о C(γ)
C(γ) ⊗C(γ)−1⊗ γ,
γ
−1
, как о состоящей из дифференциальных
операторов,посаженных на каждую из вершин I . Следовательно, мы можем
подействовать ей на граф γ, действуя на символах в вершинах (и игнори-
руя ребра). Теперь стянем связные компоненты γ в точки и перемножим
соответствующие вершинные символы. Это приведет к элементу из V
⊗K
где K используется для отметки компонент γ. Существует естественное
отображение π: I → K, отображающее каждую вершину в связную компоненту, в которой она содержится. Мы можем перенести элемент V
⊗K
вэлементLag (I ), используя отображение π∗(графически мы имеем крестовую вершину для каждой исходной вершины в I, которые объединены
вкомпонентахγ, которым они принадлежат). Наконец, мы полагаем, что
дифференциальные операторы в оставшейся C(γ) действуют как дифферен-
циальные операторы в Lag (I) (графически это означает, что они действуют
на крестовые вершины).
После всех этих операций не является очевидным, что действие C
⊗I
на V
применение дифференциального оператора первого порядка ∂ к вершине.
При построении графов γ
на ребро или в вершину. Рассмотрим оба этих случая отдельно.
коммутирует с действием на UI! Чтобы это показать, рассмотрим
у нас теперь есть выбор: поместить производную
Производная в вершине. Значение C(γ
) не чувствует вершинных
символов и поэтому равно исходному C(γ). Таким образом, мы получаем
член вида
C(γ) ⊗ π
Производная на ребре. Значение C(γ
∗
(∂C(γ)−1γ).
) равно ∂C(γ) в силу предполагаемой совместности C с дифференцированиями. Взятие коумножения
и применение антипода дает два члена:
,
∂C(γ) ⊗π
∗
(C(γ)−1γ) −C(γ) ⊗π∗(∂C(γ)−1γ).
74 8. ПЕРЕНОРМИРОВКА ЛАГРАНЖИАНОВ
Последний член сокращается с членом, возникающим из производной в вершине. Остающийся член показывает, что мы имеем коммутативность действия U
=2U
только на фактор V
вых вершин и действию на элементы V
I
.
Теперь остается распространить это определение C на все Lag (I )=
I
⊗K
⊗
U
K V
. Сделаем это, подействовав, с тем же определением C,
⊗K
(графически это сводится к игнорированию кресто-
⊗K
и затем к возвращению кресто-
вых вершин).
Мы должны проверить, что это определение является согласованным
с действием дифференциальных операторов. Мы оставляем это в качестве
упражнения (это в основном немедленно следует из факта, что C коммути-
рует с U
I
).
8.2.2. Действие на Feyn
Как и раньше, мы сначала определим действие C на фейнмановских
диаграммах, прежде чем использовать левый сопряженный функтор и распространить это определение на все Feyn.
Для заданного фейнмановского графа Γ на вершинах I мы можем образовать сумму
γ ⊗Γ,
γ⊂Γ
где суммирование производится по всем подграфам γ графа Γ,содержащим
все вершины Γ. Используя конечную перенормировку, мы можем затем
образовать
C(γ) ⊗C(γ)−1Γ/γ.
γ⊂Γ
Вспомним, что C(γ) действует на фейнмановский граф, дифференцируя
символы, стоящие на ребрах, по аналогии с правилом Лейбница, и мы действуем дифференцированием только на ребра в Γ, которые не входят в γ.
Мы имеем естественное отображение π : I → K,гдеK — вершины новой
диаграммы Фейнмана и π отображает элемент из I в элемент из K,вкоторый его отображает факторизация по γ. Мы можем перенести обратно
фейнмановскую диаграмму с помощью π
∗
и получить элемент из Feyn (I).
Наконец, мы полагаем, что остающаяся копия C(γ) действует как диффе-
ренциальный оператор на Feyn (I).
Как и ранее, мы должны проверить, что вышеприведенное действие
коммутирует с действием U
I
— сейчас мы оставляем это в качестве упраж-
нения. Отображение C, определенное выше, может быть продолжено до
8. ПЕРЕНОРМИРОВКА ЛАГРАНЖИАНОВ 75
отображения на Feyn (I) точнотакже,каконобылопродолженовпредыдущем разделе.
Вспомним, что действие конечной перенормировки C на F задавалось
формулой
C[F](Γ) =
C(γ)F(C(γ)−1Γ/γ).
γ⊂Γ
Мы можем рассматривать нормировочное предписание F как отоб-
ражение алгебры обобщенных функций Feyn → Dist.ПосколькуF уже
действует на фейнмановские диаграммы, выдавая обобщенные функции и,
следовательно, используя левый сопряженный функтор, мы можем продолжить его. Легко проверить, что мы имеем следующее равенство:
C[F]=F◦C,
где последнее C рассматривается как действие на Feyn ипоследнееF рас-
сматривается как отображение Feyn → Dist (это представляется коммутативностью треугольника в предыдущей «коммутативной диаграмме»).
Последнее из отображений, которые нам надо определить, есть Lag →
→ Feyn. Как мы должны теперь ожидать, мы определяем его на V
⊗I
изатем
продолжаем на все Lag, используя левый сопряженный функтор.
Пусть у нас есть элемент v
что каждый из v
является однородным градуировки di.Пустьγ есть лю-
i
⊗···⊗ vnиз V⊗I.Предположимтакже,
1
бая фейнмановская диаграмма на вершинах I таких, что вершина i имеет
валентность d
полей градуировки 1 из v
. Мы отмечаем ребра, выходящие из вершины i,спомощью
i
, как объяснялось выше. Заметим, что теперь у
i
нас не остается полей для того, чтобы отметить вершину, поскольку мы
используем их все для ребер. Определим отображение суммой всех таких
фейнмановских диаграмм:
v
Например, элемент ϕ
⊗··· ⊗vn→
1
4
⊗ ϕ2отобразится в
γ.
γ
48
+48 .
Наконец, мы продолжаем это на Lag (графически это делается вставкой
назад крестовых вершин).
76 8. ПЕРЕНОРМИРОВКА ЛАГРАНЖИАНОВ
Мы оставляем в качестве упражнения проверку, что это является отображением алгебр обобщенных функций и что квадрат в «коммутативной
диаграмме» действительно коммутирует с таким выбором горизонтального
отображения.
8.2.3. Действие на лагранжианах
В этом разделе мы дадим определение функций Грина для квантовой
теории поля, и каким образом возникает действие конечных перенормировок на лагранжианах, в точности компенсирующее действие C на функциях
Грина.
К сожалению, действие C на Lag не является изоморфизмом:
C(v
⊗ v2) = C(v1) ⊗C(v2).
1
При этом большая часть развитой здесь теории выглядела бы гораздолучше,
если оно таковым являлось. Возможно, это указывает на то, что мы используем немного неправильное определение C. Тем не менее если v
имеет
1
градуировку 1 в V, то мы можем в действительности доказать свойство
мультипликативности благодаря нашему предположению, что C(Γ) = 0,
если Γ является связной, но не 1ЧНП.
Если v
в процессе вычисления C(v
соединяющее вершину, соответствующую v
имеет градуировку 1,толюбойграф,построенныйизv1⊗v2,
1
⊗ v2) либо будет иметь единственное ребро,
1
, с некоторой вершиной из v2,
1
или не будет иметь такого ребра. Если такое ребро существует, то этот граф
не дает никакого вклада в действие, согласно предположению на C.Таким
образом, мы видим, что
C(v
⊗ v2)=C(v1) ⊗C(v2) для v1градуировки 1.
1
На самом деле можно сказать несколько больше. Легко видеть,
что C(v
)=v1для членов v1градуировки 1. Следовательно, повторно
1
используя свойство мультипликативности, мы видим, что
C(v
⊗··· ⊗vn)=v1⊗··· ⊗vnдля всех viградуировки 1.
1
Пусть L является частью лагранжиана, отвечающей за взаимодействие
(т. е. после удаления члена с кинетической энергией и массового члена).
Тогда легко видеть, что члены, возникающие в функции Грина, отвечающей
некоторому выбору v ∈ Lag (I) (в основном это поле, отвечающее J), есть
G(v)+G(f
∗
(v ⊗ L)) +
1
1
∗
(v ⊗ L ⊗ L)) + ··· ,
G(f
2
2!
8. ПЕРЕНОРМИРОВКА ЛАГРАНЖИАНОВ 77
где L рассматривается как элемент Lag ({1}) и отображения fnесть
f
: I → I {1, 2, ...,n}.
n
Обозначим приведенную выше сумму как
G(v ⊗ exp(L)).
Пусть у нас есть лагранжиан L и некоторый выбор нормировочного
предписания F. Если мы выберем другое нормировочное предписание F
то мы знаем (из ранее доказанной транзитивности), что существует конечная перенормировка C такая, что F = C[F
]. Вспоминая коммутативную
диаграмму:
Lag (I )
C
-
Feyn (I )
C
C[F
]
-
Dist (I ),
-
?
Lag (I )
-
?
Feyn (I )
F
мы видим, что основные функции Грина, задаваемые двумя различными
нормировочными предписаниями, связаны соотношением
= G
◦C.
F
G
F
Следовательно, функции Грина, получаемые из лагранжиана, связаны соотношением
G
(v ⊗ exp(L)) = G
F
(C(v ⊗exp(L))).
F
Предположим, что v является тензорным произведением полей градуировки 1. Тогда это становится
G
(v ⊗ exp(L)) = G
F
Если бы мы могли найти новый лагранжиан L
(v ⊗C(exp(L))).
F
такой, что
,
то мы бы имели
exp(L
G
(v ⊗ exp(L)) = G
F
)=C(exp(L)),
(v ⊗ exp(L)).
F
78 8. ПЕРЕНОРМИРОВКА ЛАГРАНЖИАНОВ
Другими словами, изменение нормировочного предписания может быть сопровождено соответствующим изменением в лагранжиане, так что функции
Грина для КТП не изменятся. Замечательно, что это возможно.
Пусть v
⊗···⊗vnявляется однородным членом из L⊗n.Пустьγ есть
1
связный граф на n вершинах с ребрами в вершине i, обозначенными членами градуировки 1 из v
и вершиной, обозначенной оставшимися членами.
i
Образуем теперь сумму
v
⊗··· ⊗vn→
1
C(γ)γ,
γ
где действие C(γ) на графе с отмеченными вершинами уже было объяснено. Стянем результирующий граф и перемножим все символы на вершинах.
Это дает элемент из V,посколькуγ был связным. Новый лагранжиан представляется суммой всех таких членов по всем возможным n.
Беря граф γ в виде графа на одной точке, мы видим, что L
исходный лагранжиан L.
Заметим, что это определение L
в общем случае является бесконеч-
содержит
ной суммой. Для того чтобы все сходилось, мы будем рассматривать константы взаимодействия (такие как λ) как формальные переменные. Легко
видеть, что в каждой константе взаимодействия и полях будет содержаться
лишь конечное число членов каждой градуировки. Это, конечно, означает
теперь, что технически новый лагранжиан не принадлежит пространству
лагранжианов. Для того чтобы это обойти, переопределим пространство
лагранжианов так, что они будут являться формальными степенными рядами с коэффициентами в прежнем пространстве лагранжианов. Заметим,
что это не есть то же самое, что C[[константы взаимодействия]] ⊗
V.
C
8.2.4. Интегрирование обобщенных функций
Наконец мы должны обсудить, как интегрировать получающиеся в итоге обобщенные функции по некомпактному пространству. Если у нас есть
обобщенная функция M
, задаваемая обычной функцией f, то ее интеграл
f
должен совпадать с интегралом от f всегда, когда он определен. Другими
словами:
M
dx =fdx =f.1dx = Mf(1).
f
К сожалению, мы не можем в общем случае применять обобщенные функции с некомпактными носителями к постоянной функции. Посмотрим вместо этого на преобразование Фурье. Это имеет смысл, поскольку мы знаем,
8. ПЕРЕНОРМИРОВКА ЛАГРАНЖИАНОВ 79
что
Теперь мы можем вычислить
(
f(0) =fdx.
(
f(0) =δ(x)(f(x)dx =-M
f(δx
).
Следовательно, при условии, что 0 не принадлежит носителю сингулярности(f, мы можем определить интеграл. Легко видеть, как это можно обоб-
щить на обобщенные функции. Нетрудно видеть, что если 0 не принадлежит
носителю сингулярности обобщенной функции, то это можно сделать.
8.3. Конечномерные орбиты
Для любого заданного лагранжиана L есть четыре очевидных вопроса,
которые мы о нем можем задать.
1) Какова группа симметрий лагранжиана L?
2) Является ли L наиболее общим лагранжианом для заданных симмет-
рий?
3) Можем ли мы найти нормировочные предписания, инвариантные относительно каких-то из этих симметрий?
4) Будут ли конечные перенормировки действовать транзитивно на таком
пространстве нормировочных предписаний?
Понятие «группы» симметрий при этом понимается выше так, что она может включать в себя такие вещи, как, например, дифференцирования и суперсимметрии (т.е. с технической точки зрения она не является группой).
Аналогично понятия «инвариантный» и «фиксированный» должны разрешать появление поверхностных членов и обобщенные собственные векторы.
Если нам действительно повезет, то множество лагранжианов, фикси-
руемых симметриями, может оказаться конечномерным. Если такое произойдет, то по меньшей мере есть надежда проверить теорию на эксперименте (для определения набора констант потребуется лишь конечное число
экспериментов, в то время как для бесконечномерного пространства теорий
никто никогда не сможет определить константы).
80 8. ПЕРЕНОРМИРОВКА ЛАГРАНЖИАНОВ
Обычно является трудным устроить так, чтобы орбита в пространстве
лагранжианов являлась конечномерной. Один из способов помочь этому —
это приписать степень каждой из фейнмановских диаграмм и использовать
это для получения ограничений на степени операторов, получаемых из этих
диаграмм
1
. Мы приписываем оператору ∂μстепень 1 и координате xμ—
степень −1. После этого мы требуем, чтобы лагранжиан L имел общую
степень n в n-мерном пространстве-времени (это гарантирует, что после интегрирования L по пространству-времени интеграл будет иметь степень 0).
Если у нас есть граф Γ, не имеющий внутренних вершин, то мы приписываем ему степень, равную сумме степеней символов на его ребрах.
Если имеются внутренние вершины, то мы вычитаем размерность пространства-времени для каждой внутренней вершины (поскольку они интегрируются по нему).
Мы бы хотели, чтобы степень F(Γ) равнялась −deg Γ. К сожалению,
это невозможно, поскольку массивные пропагаторы не является однородными в общем случае. Поэтому вместо этого мы потребуем, чтобы F(Γ)
было бы суммой членов вида «гладкая функция, умноженная на обобщенные функции, имеющие обобщенные степени однородности по меньшей
мере −deg Γ».
Вернемся теперь к пространству нормировочных предписаний. Нам
надо найти пространство конечных перенормировок, действующих на них.
После несложной работы мы получаем, что требуемое условие есть
deg C(Γ) deg Γ − n (вершины − связные компоненты).
Причиной для появления такого странного дополнительного множителя является то, что это в точности дает степень обобщенной функции C(Γ)δ(diag).
В качестве примера рассмотрим теорию ϕ
стве-времени. Действие F на лагранжиан даст члены вида C(Γ)Γ
где Γ — некоторый граф с вершинами и ребрами, обозначенными полями, так что комбинирование полей в каждой из вершин дает ϕ
4
в 4-мерном простран-
4
; Γ
vertex
vertex
поля на вершинах, на которых естественно действует дифференциальный
оператор C(Γ). Степень этого члена легко оценить (полагая, что Γ является
связным):
deg(C(Γ)Γ
)=deg(C(Γ)) +deg ϕ∗
vertex
deg Γ −4(v −1) +deg ϕ
∗
=
,
—
=4v −4(v −1) =
=4.
1
Физики называют эту степень размерностью.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]