Квантовая механика. Сборник задач и примеры их решения. Учебно-методическое пособие

8.3. Уравнение Паули, спин в магнитном поле

B

Уравнение Шредингера для спиновой волновой функции элек-

8.9.

трона в постоянном магнитном поле, направленном вдоль оси z , имеет вид

ψ



ψ



i μσψ, ψ



Решение этого уравнения:

ψ() exp( iσφ()/2)ψ(0)

это решение как

tt



B

t

z

ψ() exp( iμσ/)ψ(0)

tBt 

z

поворот спина вокруг оси z на угол

2μ /

стотой прецессии

 

B

.

φ()tt



1

.



ψ

2



B

z

. Записывая

, видим, что оно описывает

(прецессию спина) с ча-

В случае, если величина магнитного поля зависит от времени как



Bt

(0, 0, ( ))

8.10. Запишем уравнение Шредингера в переменном магнитном

поле, где

, угол поворота спина равен

z



(cosω ,sinω ,)

BtBtB





φ() (2μ /) ()d

tBtt



:

0

t





B



0

.





ψ



i μ ()σψ, ψ





t

B

Bt



ψ



1

.



ψ



2

Расписывая его покомпонентно, получим систему уравнений:

i



  

101 2



  

2012



2

i



b

2

iω

t



b

iω

t

, зависимость магнитного поля от времени исче-

,

0

где

 

с полем

ψ exp(iσω /2)ψ

2μ /B 

0B0

/1bBB



. Перейдем в систему координат, вращающихся вместе

0

.

Во вращающейся системе координат волновая функция



z

– частота прецессии в постоянном поле

t



ψψe ψ ,

 

 

ψ e ψψ,





зает, и мы получаем систему дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

81

i





   

(ω ),

10102



2

 

   



i



201 0

b

2

i

b

2

i

(ω ).

2

Ищем решение в виде

1,2 1,2

exp( iω )ct  , что дает систему одно-

родных линейных дифференциальных уравнений с нулевой правой частью:

[(ω )2ω]0,

ccb

    



10 20



   

cb c

10 2 0



[(ω )2ω]0.

Приравняв к нулю детерминант этой системы, получим

ωω ,

1,2

где

1



ω (ω )2b

222

00

.

Общее решение во вращающейся системе координат:



  

exp ( iω )exp(iω )

at at

12

 

 

11



bb

00

(ω )2ω (ω )2ω

   

00

.

В неподвижной системе координат:

iω /2

t

 

 





ψ eexp(iω )exp(iω ),



11 2

ψ eexp(iω )exp(iω ).

 

21 2

atat





iω /2

t

at at

 

bb



00

(ω )2ω (ω )2ω

   

00

Одним из интересных случаев является резонанс при

брав начальное состояние со спином вверх:

iω /2

t





ecosω



ψ



iω /2

t



esinω



ленной частотой Раби

t

, т. е. спин переворачивается со сравнительно мед-

t

ω b 

00

.

82

ψ 1 и ψ 0,

12

ω 

. Вы-

0

имеем

9. Сложение моментов, волновые функции

j

9.1. Система двух спинов может находиться в триплетном состоя-

нии с полным спином

и в синглетном состоянии с

1S 

плетном состоянии спиновая волновая функция оказывается четной по отношению к перестановке спинов:

В три-

0.S 

1, 1 , , , 1, 0 , , , ,

1 11 1 1 111 1 1 111

      

2222 2222 2222

 

2



а в синглетном состоянии – нечетной:

1 111 1 1 111

0, 0 , , , ,

9.2. Для электрона с орбитальным моментом импульса

1



s

полный момент импульса может принимать значения







22 2 2 2 2 22

2



.

и спином

l

jl

2

1



Для мультиплета с максимальным

jl

состояние с максимальной

2

проекцией

jl

z

1

строится как

2

1111

jl j l ll  

,,,

z

2222

. (2.9.1)

Действуя на левую и правую часть уравнения (2.9.1) понижающим

ˆ

оператором (1.9.6)

21 , 2, 1 , , ,

ljl jl lll ll    

ˆ

jls



ˆ

, получим

11 1111

z

22 2222



.

,

1

.

2

Поделив на

с проекцией

112 11111

jl j l ll ll

     

,,1,,,

222122 22

,

которая на единицу меньше максимальной:

z

, получим нормированный вектор состояния

21l 

l



83

21

l



. (2.9.2)

Повторяя действия, построим все оставшиеся состояния мульти-

(1/2)

плета

Построение мультиплета с полным моментом

начнем с состояния с максимальной его проекцией теперь строится как ортогональное к уже построенному состоянию

jl j l 

1/ 2jl

, вплоть до

11

,

z

22

:

jl 

z

.

1

jl

z

также

2

1

, которое

2

111 11211

j l j l ll ll

     

и остальные состояния этого мультиплета.

,,1,,,

z

22 222122

Затем с помощью понижающего оператора

9.3. Возможные значения полного момента равны

2j 

Для

2, 2 1, 1 1, 1 , 2, 1 1, 0 1, 1 1, 1 1, 0 ,

2, 0 1, 1 1, 1 2 1, 0 1, 0 1, 1 1, 1 ,

2, 2 1, 1 1, 1 , 2 , 1 1, 0 1, 1 1, 1 1, 0 .

Для

1, 1 1, 0 1, 1 1, 1 1, 0 , 1, 0 1, 1 1, 1 1, 1 1, 1 ,

 

1, 1 1, 1 1, 0 1, 0 1, 1 .

   

Для

имеем:



1

 



6

   

1j

:

11



22

1



2

0j 

:

21

l



1



2

1



2

l



ˆ

jls



ˆ

 строятся

0, 1, 2.j 

. (2.9.3)

0, 0 1, 1 1, 1 2 1, 0 1, 0 1, 1 1, 1

1

 



3

84

.

10. Тождественные частицы

10.1. Четность волновой функции при перестановке двух тожде-

ственных бозонов со спином 0 и орбитальным моментом

l

(1) 1



, откуда

(где

2lk

10.2. Четность полной волновой функции при перестановке двух

тождественных бозонов со спином 1 и орбитальным моментом

lS

(1) 1



суммарный спин

, где четность спиновой волновой функции выражается через

(1)



как

S

пустимые значения орбитального момента

2,lk

при

нечетные:

1S 

10.3. Четность полной волновой функции при перестановке двух

тождественных фермионов со спином том

равна

l



1

lS

(1) 1,

ции выражается через суммарный спин таты задачи 9.1). Отсюда в синглетном состоянии мые

(где

в триплетном состоянии

2,lk

0, 1, 2, …).k 

S

(см. результаты задачи 9.3). Отсюда до-

21lk

(где

при

l

0, 1, 2, …).k 

и орбитальным момен-

1/ 2s 

0, 2S 

четные:

где четность спиновой волновой функ-

1

S 

(1)



S

(1)S 

как

допустимые

(см. резуль-

(0)S 

допусти-

равна

l

равна

l

21lk

11. Теория возмущений

11.1. Стационарное возмущение

Представим оператор возмущения в виде

11.1.

ˆ

ˆˆˆ

  

Vx aa

где параметр

0

правка равна нулю:

рядке:

/ ωxm  . В первом порядке теории возмущений по-

(1)

EnVn naan

n

ˆ



x

0

()

2

x

0

2

85



,



ˆˆ

. Во втором по-

0

2

x



(2) 2

  

E



n

kn



2

  

ˆ

kV n

(0) (0) (0)



EE EE EE

nnn

k

2



x

nn

0



2







1





2



nan

x

0

2

1

 

 

2

m



2



nan

ˆ

nn

11



1

.

2



ˆ

Рассматриваемое возмущение приводит к смещению по коорди-

2

m



()Ux

с одновре-



.

2

нате

положения минимума потенциальной энергии

менным понижением значения в минимуме на величину

22 2

mm





()

Ux x x x

2

22

 



2

m



11.2. (а) Представляя оператор возмущения через операторы рожде-

33/23 3

ния и уничтожения рядке

(1)

EnVn

n

ˆ

 

β 2 β ()Vx xaa

.

0



ˆˆˆ

0

, видим, что в первом по-

Во втором порядке

2Um

2



:

2



2

ˆ

(2)



E

n

kV n



EE



kn kn

(0)

n



(0) 3

k

26

β

2 ω

Матричные элементы оператора

3n 

:

2

3



ˆˆ

3( ) ( 3)( 2)( 1),

naan nnn

 

2

3



ˆˆ

3( ) ( 2)( 1) ,

naan n nn

 



ˆˆ

1( ) 9( 1) ,

naan n

 



ˆˆ

1( ) 9 .

naan n

 

2

33

2

33

86

ˆˆ

ka a n



x

0



ˆ

V

отличны от нуля при

()



nk

2

3



.

1,kn

Их подстановка в сумму дает

E

(2) 2 2

Enn nn

     

n

(б) Представим

26

3β

x

0

(2 2 1) (2 2 1)



8 ω

424 4

ˆ

 

γ 2 γ ()Vx xaa



ˆˆˆ

0

22

3β



34

m

8 ω

. В этом случае результат

отличен от нуля уже в первом порядке:

(1) 4 4 4 2

  

EnVn xnaan xnn

n

13

ˆ

γ () γ (2 2 1) γ

00

44ω

11.3. Используя гамильтониан атома водорода



ˆˆ

3 4

ˆ

H

ставим оператор возмущения в виде



422

ˆˆ

VmH

ppe

   

32 32 2

88 2

mc mc mc

11

(2 )

2

 



2

mr



 

 

В первом порядке теории возмущений

22

(1)

11

    

mc mc

22

2

  

Ry 1 1

 

SH S SE S

1111

 

22

   



SS

 

22

ee

ˆ

rr

a

r

2

1

B

2

1

.

 





22

ˆ

pe



2

mr

2

.

2



m

, пред-

.

2

15

24

2

/ 1 / 137ehc  – постоян-

Здесь

3

22

    

B

rr

Ry d ( , θ, φ)Ry.



22 42

100

/; Ry /2;ameme

a



2

B



r



ная тонкой структуры; энергия основного состояния атома водорода

Ry;E 

1

волновая функция

(,θ, φ)exp

r



100

87

1

π

r

 



.

a

B



E



ˆ

(1)

1

ˆ

Vd

11



ˆ

SV S 

11.4. В дипольном приближении оператор возмущения





ˆ

er

 . В силу симметрии основного состояния



ˆ



11 0eSrS 

. Выбирая ось





z





, поправку к энергии во втором

порядке запишем как

2

ˆ

1

(2)

Ee

  

1

где поляризуемость

nV

(0) (0)

EE EE

nn





11

23

2.

ea

  

2



nz

(0)

n



2

1

(0)



1

(0) (0)

nn



EE

1

n



чающий «честное» суммирование по всем

2

1

nz

1

2

Точный расчет, вклю-

B

n

, дает

β 4,4

.

2

,

Для оценки снизу заменим в знаменателе разность энергий на ее мак-

(0) (0)

симальное значение:

полноты

2211114

   

что соответствует

nn



n

1

nz

22 23

eeznnzraa



(0)



EE E

nn



1

n

β 4

(0)



1

, получим оценку (метод правила сумм)

2

EE

n

11

14

(0) (0)

11

. Аналогичным образом, заменяя разность энергий

в знаменателе на ее минимальное значение

. Тогда, используя условие

3

(0) (0) (0)

(0)

EE EE



n

121

BB

,

получим оценку сверху

2

1

22

2211

  

eeznnz

nz



EE EE

nn



1

n

(0) (0) (0)

(0)



121

1

16





z

11.5. Выберем ось



возмущения между состояниями

1, 0 )lm

:

23

11 5,33.

ra a

9

BB





и выпишем матричные элементы оператора

2 ( 2, 0, 0)Sn l m  и 2 ( 2,Pn

88

22,



E

x

B

VSEdSE

 

11

VPdP

VV Sd P

220,

 

22

*

  

12 21

2*

er rR rrR r Y Y ea

  



ˆ

SP z SP

ˆ

22

d()()d(θ, θ .φ)cos (θ, φ)3



z

ˆ



z

20 21 00 10 B

Решая секулярное уравнение

VE EEEea 

nm nm SP

222

B

найдем энергию возмущенных стационарных состояний



,

0det δ ()9

1

(()9)

EEEea

  





2

SP SP

2222

B

со средним наведенным электрическим дипольным моментом

dEeaEea

zSP



   









При слабых полях

квадратичный по приложенному полю

)(/

ea

– эффект Штарка, линейный по приложенному

B

SP



полю

ˆ

.

11.6. Гамильтониан спина электрона в магнитном поле имеет вид



μσHB

, где магнитное поле (,0, ),

B

222222

9()9



B- B

)(/

ea

имеем эффект Штарка,

B

SP

,

а при сильных полях

.



BB

z

BB 

0zx

и

μ

–

B

магнетон Бора (рис. 3). Решая уравнение Шредингера ˆψψHE , найдем стационарные состояния:

() μμ1,

Er B B B r

   



() ,

r





22 2

xz x

BB

1/ 2

11

11 1

22

21/4 2

(1 ) 1





rrr



   

1/ 2 2 1/ 4

00

 





2

1

rr



(1 )

r





где

rBB

/

, причем

zx

rrr

00

rBB 

и

89

00

/1

.

x

E

B

E

B

j

Рис. 3

0

B 

При

x

уровни

минимальное расстояние ния уровней»), а вектор спина следует за направлением суммарного поля



B

, оставаясь направленным в каждом из состояний

zx

по полю, либо против поля. При спина неизменно – вдоль оси

стояний равна





уровни пересекаются в точке

11.7. Среднее значение вектора магнитного момента направлено

вдоль вектора полного момента

()Er

не пересекаются, сближаясь при



(0) (0) 2μ

EB





0

B 



z

B

, и при изменении поля

Bμz

B 

x

, энергия каждого из стационарных со-

0

.

z

(явление «расталкива-

B

картина иная: направление



:

z

от





0

()r

до

на

0r 

либо



0



ˆ

m=



Умножая

ˆ

m скалярно на



ˆˆ

2



jj

 

g



ˆˆ

22

jj

где использовано дится по состояниям

2/3g 

при

1/ 2j 





ˆ

μ (2)μ ()μls js g j 

BB B

ˆˆ



, получим фактор Ланде

j



1

ˆˆ



ˆ

s



ˆ

2222



j

2

 



ˆˆ ˆ

ˆˆˆ

() 2ljsjsjs 

,,,.jmls Для 2P состояний с

и

4/3g 

при





ˆ



jsl



ss

3(1)(1)



22(1)

и усреднение произво-

3/2j 

.

90

.

 

l

jj



получим

1l 

,