Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантовая механика. Сборник задач и примеры их решения. Учебно-методическое пособие
.pdf
4.6. Используя определение оператора эволюции (1.4.8), получим
E
x
ˆ
(, ; ) d exp
Uxxt t p
1i()i()
2π 2
2i()
mmxx
π () 2()
tt tt
px x p t t
exp
2
m
2
.
5. Одномерное движение в потенциальном поле,
стационарный случай
5.1. Общие свойства одномерного движения
Внутри ямы
5.1.
2
ψψ
2
m
Вне ямы
имеет вид
(| | / 2)Ux a
Ввиду симметрии задачи по отношению к отражению
ния делятся на симметричные
ψ sin .
a
вид
с kx
2
cos ( / 2) 0,ka
Для симметричных решений граничное условие принимает
С учетом граничных условий
n
где четные
отвечают симметричным, нечетные – антисимметричным
решениям. Условие нормировки
() 0,Ux
и общее решение уравнения Шредингера
ψ cos sin ,с kx с kx
12
где
, что дает граничное условие
ψ cos
с kx
1
s
и антисимметричные
для антисимметричных решений
π
kn
(1),
n
a
d|ψ ()| 1
xx
2
n
Em
n
дает
22
2
k
ψ( / 2) 0.xa
n
22
12
2/.kmE
реше-
x
sin ( / 2) 0.ka
( 0, 1, …),n
2/cc a
.
5.2. Наличие добавки
() δ()Ux G x
1
к исходному потенциалу за-
дачи 5.1 приводит к дополнительному условию вида (1.5.2) на производную волновой функции в точке
ψ ( ε) ψ ( ε)2κψ(0), κ .
61
(ε 0) :
0x
00
mG
(2.5.1)
2
На антисимметричные решения это условие не повлияет, так как
для них
ψ() cos(| | β)xc kx
0x
из граничного условия при
этих уравнений
ψ(0) 0.
дает уравнение
β
, получим трансцендентное уравнение на
ka
ctg ctg( ) , / 2
2
Симметричные решения будем искать в виде
, где β– неизвестная фаза. Условие (2.5.1) в точке
2sinβ 2κ cos βk
/2:xa
κκ/2
aa
00
zzka
, и второе уравнение следует
0
cos( / 2 β)0.ka
Исключая из
:k
. (2.5.2)
ka z
Рассмотрим предельные случаи:
(а) добавка мала:
(0)
откуда
zn
n
0
π
(2 1).
В следующем приближении
2
(0)
zz z
nn n
. В «нулевом» приближении
κ /2 κ
aa
z
,
00
n
(0)
z
n
π(2 1)
n
ctg ( ) 0,z
.
κ 1a
Уровни, отвечающие симметричным состояниям, смещаются на относительно малое расстояние
(0)
nn
;
В нулевом приближении
(б) добавка велика:
ние (2.5.2) в виде
tg ( ) 0z
, откуда
zn
/2/ 1
EE z z
κ 1a
0
tg ( ) 1.
za
(0)
π ,
n
. В этом случае представим уравне-
z
κ /2
0
и энергия данного симметричного уровня
совпадает с энергией лежащего над ним антисимметричного уровня.
(0)
2
В следующем приближении
z
n
В случае большой
z
n
κκ
00
2π
n
.
aa
добавки четные уровни «прижимаются» к нечетным снизу, оставаясь на
относительном расстоянии от них:
/2/ 1
EE z z
(0)
nn
. Примеча-
тельно, что порядок следования уровней не нарушается даже при
.G
62
5.3. Вне ямы (при
E
x
x
x
x
x
( δ())ψ
Gx
и
Из требования нормируемости волновой функции
0.E
(ψ()0)x
κ||
ψ() e .
xc
в точке
имеем
d|ψ()| 1xx
0:x
κκ,
2
имеет вид
и ее непрерывности в точке
Из условия (1.5.2) на производную волновой функции
ψ (0) ψ (0) 2ψ(0) 2κψ(0),k
откуда энергия состояния
0
, в итоге получим
) решение уравнения Шредингера
0x
ψ ee,
κκ
cc
12
ψ() κ e
x
0
5.4. Рассмотрим волну, падающую слева:
2/kmE
ψ ekxb
пр
дает
0x
i(1 ) 2κ ,kab b
, отраженную волну
i
. Условие сшивки амплитуды волновой функции в точке
1.ab
0
Условие сшивки производной (1.5.2) даст
откуда амплитуды отраженной и прошедшей
ψ ekxa
отр
волн:
x
0
κ 2| |/mE
где
где
22
κ
получим
0x
κ /,mG
0
0
Нормируя
.
2Em
κ ||
0
.
пад
i
ψ e,
i
и прошедшую волну
2m
kx
2
ψ
2
где
κ
ab ab
0
κ i κ i
,;||||1.
kk
00
Обе амплитуды имеют полюс при
22
k
ствующая энергия
E
22
mm
i
k
22
k
iκ
0
22
iκk
. Отметим, что соответ-
0
κ
0
совпадает с найденной в за-
даче 5.3 энергией связанного состояния.
5.5. Рассмотрим три области, в каждой из которых потенциал
()Ux
постоянен:
|| , () ;
(1) внутри ямы:
() 0;Ux
(3) слева от ямы
шению к отражению
aUx U
, ( ) 0xaUx
собственные состояния гамильтониана де-
x
(2) справа от ямы:
0
. Ввиду симметрии по отно-
,xa
лятся на симметричные (четные) и антисимметричные (нечетные).
63
Для четных состояний волновая функция внутри ямы
x
x
x
x
x
x
E
(| | )xa
имеет вид
(| | )
ψ (),
2
ψ () cos( ),
a
экспоненциально затухает:
где
функция, и ее производная должны быть непрерывны:
ψ () ψ ()aa
12
ckx
111
κ 2| |/.mE
где
2( | |)/,kmUE а вне ямы
10
ψ () e
xc
22
На границе раздела
. Деля второе уравнение на первое:
ψ () ψ ()
aa
12
ψ () ψ ()
aa
12
tg( ) κ
kka
11
κ
ψ () e
и
xc
33
a
и волновая
ψ () ψ ()aa
12
κ
,
получим трансцендентное уравнение, определяющее энергетический
спектр связанных состояний, которое удобно проанализировать графи-
чески (рис. 2). С этой целью введем переменную
zka
и запишем
1
уравнение в виде
tg( ) 1
κ
z
kz
где
max 0
набор ветвей функции
вая часть уравнения
2kmU
. Левая часть уравнения (2.5.3) представляет собой
tg( π ), где 0, 1, 2, …yzn n
(, ) ( ) / 1yfzka k a z является моно-
max max
тонной функцией, обращающейся в нуль при
max
1
, (2.5.3)
, тогда как пра-
22
zka
max max
.
22
ka
Соответствующие уравнению (2.5.3) графики приведены на рис. 2, а:
левая часть уравнения представлена сплошными линиями, а правая
часть – штриховыми. Искомым решением уравнения (2.5.3) на графике
является множество точек пересечения штриховой линии со сплош-
ной
z (где очевидно, что все
i
ческих уровней
22 2
zmaU
ii
zz
i
2
По меньшей мере одна точка пересечения
тервала
0/2z
, существует всегда т. е., как минимум, одно сим-
метричное состояние имеется при любых параметрах ямы
Для существования следующих
),
отвечающее набору энергети-
max
.
0
,z
лежащая внутри ин-
U
0
n уровней необходимо, чтобы
и .a
z
max
;
64
(точка пересечения на графике штриховой линии с осью )z лежала пра-
x
x
x
x
x
x
zn
вее точки
(2 ) / π , где 1, 2, …zmUann
max 0
а б
, что дает условие на параметры потенциальной ямы
1/2
Рис. 2
.
Для нечетных состояний выберем волновую функцию внутри ямы
κ
(| | )
a
в виде:
ψ () ψ ().
и
32
границе
a
имеем уравнение
ψ () sin( )
x
сtg ( ) 1 1
ckx
111
, а вне ямы
(| | ) :
a
ψ () e
xc
22
Как и в предыдущем случае, в результате сшивки на
222
kka
κ
z
kz
max max
k
1
2
1
, (2.5.4)
графическое решение которого представлено на рис. 2, б, на котором
видно, что нечетные связанные состояния возникают лишь при выпол-
нении условия
5.6. Потенциал
(2 ) / π(1/2)zmUan
max 0
()Ux
1/ 2
в данной задаче при
(где
0,x
циалом предыдущей задачи, отличается от него в точке
непроницаемой стенки
ничному условию
ψ(0)0x
(0)Ux
, что приводит в этой точке к гра-
.
0, 1, 2, )n
.
совпадая с потен-
наличием
0x
Легко убедиться, что такому граничному условию автоматически
удовлетворяют антисимметричные (нечетные) решения задачи 5.5,
65
если ограничиться областью
x
E
состояние появится при
(2 ) / / 2,mU a
Соответственно, первое связанное
0.x
1/ 2
0
, или
(π )/8Uma
0
22
.
5.7. Ввиду симметрии потенциала
обладать определенной четностью
() ( )Ux U x
ψ() ψ().xx
решения должны
Ищем волновую
функцию в виде
κκ κ
xx x
ψ (e e ) при || , ψ () e при ;
cxaxcxa
11 2 2
E
где
в точке
– энергия связанного состояния. Используя условие сшивки
a с учетом формулы (1.5.2), получим систему двух однород-
κ 2| |/ 0,
mE
ных уравнений:
κκ κ
aa a
(e e ) e 0,
cc
κ /.mG
где
0
уравнение на
12
cc
κ(e e ) (2κκ)e 0,
120
2
Приравняв детерминант системы к нулю, получим
κ
:
В пределе
a
куда энергия уровней
aa a
κκ κ
κκ κe
получим
EE
2κ
00
δκ κ κ κ e κ e
22
κ
m
2
a
. (2.5.5)
00 0
(1 2 e )
0
2κ
0
a
2κ
a
, где
0
2κ
0
22
2Em
a
κ
, от-
0
–
энергия уровня в одиночной яме. При сближении ям симметричный
уровень понижается, энергия антисимметричного уровня повыша-
a
ется, и при некотором расстоянии
в уравнении (2.5.5) предел
2κ
имеем
κκ(1 e ) κ 2κaa
00
κ 0
Для симметричного состояния при
обратится в нуль. Рассматривая
, для антисимметричного уровня
, откуда значение параметра
параметр
0a
κ 2κ
и соответ-
0
1/2κa
0
ствующая энергия стремится к учетверенной энергии уровня в одиноч-
22
(2κ )
ной яме:
0
m
2
.
E
4
0
.
66
5.2. Движение квантовых частиц в периодическом потенциале
x
x
x
q
E
Выберем волновую функцию в ячейке между δ-ямами (см. фор-
5.8.
мулу (1.5.6)) в виде:
κκ
ψ,() φ (; ) φ (; )φee;
xE
cxEc x c c
q
1
11 2 2
κ
x
xE ExE
e, e ,κ 2||/ (;0)() φ (; )
2
κ
2
xx
1
x
(2.5.6)
mE
где
0
(1.5.4) волновая функция
. В соседней ячейке
a
ψ () e ψ ().
qq
функцию и ее производную (с учетом формулы (1.5.2)) в точке
2ax a
i
qa
согласно теореме Блоха
xa
Сшивая волновую
a ,
получим систему уравнений, однородных относительно коэффициен-
c
c
и
тов
κ /mG
где
уравнение на
:
1
2
ii
qa q aa
κ
a
ψ () ψ () (e e
aac
qq
ψ () ψ () 2κψ() κe(κ 2κ )
0
aa ac
qq q
i
qa
κe(κ +2κ )0,
c
2
2
. Приравнивая к нулю детерминант системы, получим
κ
:
1
01 0
e
0
e) ( e )0,
c
2
i
a
κ
κ sh (κ)ch(
aqaa
qa
κ
0
κ
a
κ
e
)c)os (
.
κ
Решение этого уравнения дает
22
κ ()mq
как функцию непрерывного параметра
κκ(),q
а также энергию
:q
ππ
a
()Eq
, об-
2
разующую зону непрерывного спектра.
В пределе, когда ямы находятся достаточно далеко друг от друга
(κ 1)a
0
, аналитическое решение дает
22
κ
0
qqa
() 1 4e cos( ).
m
2
a
κ
67
Параметризация энергетического спектра в окрестности «дна» зоны
x
E
E
x
κ
e
m
22
2κ
0
2κ e
a
и эффектив-
a
22 κ
a
22
q
() (0)
Eq E
дает эффективную массу
*
2
m
ную скорость квантовой частицы
m
d()
va
эфф 0
Eq q
d
qm
5.9. Для симметричных и антисимметричных состояний волновая
функция имеет вид
условие в точке
qqq
1
() ψ () ψ ()
:xNa
0( ) (0)(e e),
xx
2
xNa
qq
получим для симметричных состояний
π(1)
n
метричных
()
Eq
, найденной в задаче 5.8, получим соответствующий дискретный
спектр
nn
q
n
()
Eq
, где
0, 1, … , 1nN
Na
для симметричных и антисимметричных уровней.
qn
n
. Применяя граничное
ii
1
qaN qaN
2
π 1
Na
и для антисим-
2
. С учетом зависимости
5.3. Гармонический осциллятор
Интегрирование уравнения (1.5.25) дает
5.10.
Из условия нормировки имеем
1/4
2
πс x
.
0
d| ()| | | π 1,xxcx
222
00
() e
xc
.
0
.
22
/2
x
0
откуда
5.11. Вычислить коммутаторы:
n
ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ
aa aa a a aa
[,( )]
(а)
мом пошагово
После
ˆˆ ˆ
[,( )] ( )
aa na
n
nn
nn
ˆ
a
вправо, на каждом шаге используем
шагов получим
1
;
. Переставляя в первом слагае-
ˆˆ ˆ ˆ
ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
aa a na a a a a
nnn
68
1
,
1.aa a a
откуда
x
p
ˆ
(б)
[, ] ω(1/2), ωHa aa a a
ˆ
Ha aa a n a
,( ) ω(1/2),() ω
ˆˆˆˆˆ
nn
ˆˆˆˆˆ
, откуда
5.12. Используя результат предыдущей задачи, получим
n
ˆ
() 1
a
ˆˆˆ
HHaaH
0 ,() () 0
!!
nn
nn
ω 0 ω 0
nn
ˆˆ
nn
ˆˆ
aa
ω () 1()
22
nn
!!
.
.
5.13. Для состояния
(а)
xnxn naan
ˆˆˆ
| n
средние равны:
x
0
()0,
2
2
22 2
ˆˆˆ
nx n n a a n
x
0
()
2
2
x
0
ˆˆˆˆˆˆ
na aa a a a n x n
222
()
22
p
(б)
pnpn naan
ˆˆˆ
0
()0
i2
2
22 2
ˆˆˆ
np n n a a n
p
0
()
2
2
p
0
ˆˆˆˆˆˆ
na aa a a a n p n
222
() ;
22
(в) произведение неопределенностей
()( )
xx pp n
222
0
,
0
1
2
1
;
1
2
,
где использовано
px
00
.
69
1
2
||
5.14. Действуя на состояние
получим
ˆ
ee 1e ,
an nn nn
11 1
22 2
|| || ||
22 2
nn n
nn n
01 0
!! !
nn n
2
e
n
n
n
оператором
!
n
0
ˆ
a
,
т. е. когерентное состояние
ˆ
нием оператора
a
с собственным значением, равным .
5.15. Распределение вероятности по
ния
среднее
(1.5.23)
nnwn
wn wE
() e ( )
() | |
1
n
Средняя энергия для когерентного состояния
En
(1.5.23) является собственным состоя-
n
для когерентного состоя-
2
n
2
||
||
2
n
!
.
n
, где
En
n
:
11
ωω||
22
2
.
ω
5.16. Для когерентного состояния (1.5.23), используя определе-
ˆ
a и эрмитово сопряженное ему уравнение
ние
получим:
xx
(а)
00
xaa x
ˆˆ
()2Re.
22
0
Аналогично вы-
ˆ
числяется
22
xx
2222
xaa aaaa
00
ˆˆ ˆ ˆ ˆˆ
() ()21
22
1
, а
2
*
,a
22
2(Re)
x
0
1
;
4
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]