Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантовая механика. Сборник задач и примеры их решения. Учебно-методическое пособие
.pdf
11.8. Оператор магнитного взаимодействия спина атомного элек-
j
E
R
E
j
E
трона с электрическим полем ядра, движущегося в атоме водорода от-
ˆˆ
/vpm
носительно ядра со скоростью
(за счет релятивистских эф-
фектов), равен:
ˆ
VsBsEspr sl
LS
ˆˆ ˆˆ ˆ
2μ 2μ 2μ 4(μ )
BB B B
ˆ
ve
c
33
mcr r
1
ˆ
2
.
Учет томасовской прецессии (Л. Томас, 1926) уменьшает этот
2
эффект вдвое. Используя операторное соотношение
ˆˆ
22
ˆˆ
2,ls sl
имеем поправку к энергии, зависящую от полного мо-
мента
(известную как тонкая структура атомного спектра):
1
ˆ
2222
LS
n jml s j l s n jml s
,, ,, (μ ),,,,
222
(μ )(1)(1)(1) d ().
jj ll ss r rR r
B
B
3
r
ˆ
ˆ
ˆ
2
jls
nl
ˆ
ˆ
1
3
r
Для
,
2n
, подставляя
1l
() exp( / )
rra
21 B
1
, приходим
26
5
a
B
к ответу
13
Ejj
LS
(1)2(μ )
24 4
11.9. В пределе слабых полей (эффект Зеемана)
.
где
jj
z
При
1/ 2 и 3/2j
имеем
2
.
B
μ ,
gjB
2/3 и 4/3g
(см. за-
B
z
дачу 11.7).
В пределе сильных полей (эффект Пашена – Бака)
ls
B
zz
μ (2).
91
11.2. Возмущение, зависящее от времени
x
x
11.10.
В начальный момент волновая функция электрона в основ-
ном состоянии трития
ψπ exp( / ).
S
1B B
1/ 2
3
ara
В результате
β-рас-
пада ядра трития заряд ядра мгновенно удваивается, и волновая функция нового основного состояния электрона для иона гелия имеет вид
31/2
ψ (π )exp(/),
1
S
ara
где
/2.aa
Вероятность, что электрон
B
останется в новом основном состоянии для иона гелия, равна
9
2
*
wV
d ψψ 0,7.
11
SS
2
6
3
11.11. Начальная волновая функция связанного состояния:
ψκexp ( κ ||),
конечная: 2ψ 2κ exp ( 2κ ||),
1
где
κ /mG .
2
Вероятность «ионизации» равна
2
1d(ψ ) ψ 1
wx
11.12. Предполагая, что
состояния
ad td
fi z fi z fi
1iS в состояние 2, 0
i π
() e d ()e
3π
B0
1(/τ)
3Ry τ/4
eea
0
t
,
*
21
()tz
, запишем амплитуду перехода из
fPl как
iωωτ
t
fi fi
2
где матричный элемент дипольного момента
3
ω Ry /
дачу 11.5),
fi
11.13. Поскольку при
. Вероятность перехода
4
223Ryτ/2
||9( /)e
wa ea
fi fi
t
возмущение остается конечным, веро-
B0
z
0
81
.
99
() 3
dea (см. за-
zfi
.
ятность перехода определяется производной возмущения
мени (см. формулу (1.11.12)):
92
B
V по вре-
1,nn
f
d()
22
ω
nn
1,
1e
22 2
ωτ(1 ( τ))
nn
10,
1
wt
nn
1,
Vt
nn
x
2
d
iω
1,
nn
ed
t
ˆˆ
naan
2
t
1,
2
t
iω
1,
nn
t
.1( )
t
d
/
Выполнив интегрирование по времени, с учетом соотношений (1.5.19)
получим
2|ωτ 2|ωτ
22
2
22
xx
wnw n
nn nn
1, 1,
00
22
2πω 2 ω
1, | 1, |
nn nn
ee
nn nn
1,
,(1)
2
π
22
1,
.
11.3. Переходы под воздействием периодического возмущения
В соответствии с золотым правилом Ферми (1.11.13) вероят-
11.14.
ность радиационного перехода осциллятора из начального состояния
|| |0in в конечное состояние
и
осц ф
– волновой вектор и частота испускаемого фотона соответственно)
ω
||1|1
fn
осц ф
,ω
k
(где k
записывается как
2π d
wVE E
d||δ( ω )
fi fi n n
02
1
3
Vk
, (2.11.1)
3
(2π)
0
где
‒ матричный элемент оператора дипольного взаимодействия ос-
V
i
циллятора с излучаемым фотоном, который с учетом формул (1.11.14)
для квантованного электромагнитного поля равен
0
Vndn ne
fi z
110 (e)
ω
n
e
mV
2 ω
0
ˆ
осц ф
sin θ.
ω,,λ
93
2 ω
mV
0
ω
λ
Здесь ось z выбрана вдоль направления дипольного момента
f
f
f
f
d
электрона в осцилляторе,
(e )
– проекция вектора поляризации фотона
λ
z
d
момент
элемент
с вектором
рой поляризации с
ляя
V
. Из двух возможных поляризаций
0
ненулевой вклад
V
i
e
, лежащим в плоскости векторов
1
0
в (2.11.1) и интегрируя результат по частоте и углам вылета
i
ee
21
– угол между осью z и вектором ,k
θ
esinθ
λ
z
дает лишь одна из них –
равен нулю, так как
e
на дипольный
λ
λ 1, 2
в матричный
d
и k. Вклад вто-
e d
2
. Подстав-
фотона, для вероятности перехода в единицу времени получим
22
ω
ne
3π
0
.
3
wmc
fi
11.15. Оператор дипольного взаимодействия атома с электрическим
ˆ
полем излучаемого фотона равен
ˆ
Vd
ˆ
. Вероятность радиационного
перехода атома, проинтегрированная по всем направлениям вылета
фотона, не зависит от начального направления орбитального мо-
мента
атома
l
. Для определенности положим, что начальное состояние
|2 | 2, 1, 0.
Pn l l
z
Матричный элемент
0
для электри-
V
i
ческого дипольного (Е1) перехода атома водорода из начального состояния
||2|0iP в конечное состояние
ат ф
||1|1
fS
ат ф
,ω
k
в таком
случае равен
0
VSdP ea ea
fi z
12 1 0 3(e) 3 sinθ
Подставив матричный элемент атома водорода
ˆ
ат ф
ω,
k
ωω
BB
VV
0
V
в фор-
i
.
мулу (2.11.1), полученную ранее для осциллятора, и проинтегрировав результат по частотам и углам вылета фотона, получим искомую
вероятность перехода
94
410 42 4434
x
x
33 3
w
fi
835 8 3 8 3
2 π 2 π 2 π
где комбинация
me e me me
c
2
/ 1 / 137ec известна как постоянная тонкой
3
c
структуры.
11.16. Взаимодействие магнитного момента спина
ˆ
тованным магнитным полем фотона
в (1.11.14)) описывается оператором
ˆ
ный элемент оператора
V
между начальным состоянием ф|||0i
(см. определение, данное
ω,,λ
k
μσ
B
ˆ
V
91
3, 9 10 с
ˆ
. Найдем матрич-
k
ω,,λ
,
μμσ
B
с кван-
с
1
s
z
и конечным состоянием
2
|||1i (с
ф
s
z
1
и излучен-
2
ным фотоном):
1
0
V
fi
2
1 ω
2
μσ 10
B
μσ10
B
спин
V
ˆ
ω,,λ
ba
спин
ф
k
ˆ
k
,λ
ф
1
μσ+ σ + σ
B λλλ
2
1 ω
μ .
Единичный вектор /nkk
тона, а векторы
B λ
2
λλ
ω 1
V
b
V
[e]bn
***
bbb
z
z
2
определяет направление вылета фо-
λ 1, 2,
, где
задают поляризацию магнит-
спин
ного поля фотона. При вычислении в матричном элементе скалярного
произведения
ведения векторов в так называемом циркулярном базисе
1
(σσ)
bb
2
было использовано определение скалярного произ-
σb
, где σσiσ
и i
bb b
y
.
y
σσ
bb
zz
95
Для вычисления
f
f
V выберем в плоскости, перпендикулярной
вектору
(sin θcos φ,sinθsin φ, cosθ),k
(sin φ,cosφ,0)b
1
и
поляризациям, получим
2
0
i
векторы поляризации фотона:
(cosθcosφ,cosθ sinφ,sinθ).b
2
Суммируя по
2
1 ω 1 ω
02 2
Vbb bb
fi
μ ()() μ
44
λ 1, 2 λ 1,2
ω
22
(1 c os θ).
B
V
4
B λλ B λλ
VV
22
xy
Подстановка в (2.11.1) и интегрирование по частоте и по углам вы-
лета фотона приводит к вероятности радиационного перехода
23
wB
iz
3π
ω 2μ /zB
где
B
нитного поля
μω
B
mc
– частота испущенного фотона. В частности, для маг-
B
z
11
3
10
4
333 3
48π Ry 48π Ry
Гс (
а вероятность радиационного перехода составляет
что дает «время жизни» τ 1 / 350
22
ω (2μ )
B
1
Тл) частота фотона
wсут.
fi
ω 1, 7 6 1 0 рад/с,
3,25 10 с
w
fi
,
11
81
11.4. Рассеяние частиц на потенциале: приближение Борна
Согласно формуле Борна (1.11.19) амплитуда упругого рассе-
11.17.
яния на точечном потенциале
() δ()Ur G r
равна
,
mmG
3
fq r G r
() d e δ()
Примечательно, что она не зависит от переданного импульса
qk k
и связанного с ним угла рассеяния θ:
22
2π 2π
i
96
qr
.
||2sin(/2).qk
Дифференциальное сечение рассеяния
mG
1
тропно, а полное сечение равно
σ
π
11.18. Амплитуда рассеяния на потенциале
δ()ra
в приближении Борна (1.11.19) равна сумме амплитуд
на каждом из рассеивающих центров:
dσ
d
2
.
2
fq
()
2
() δ ()Ur G r a
2π
изо-
2
2
mG
fqa fqa r G r a r a
Дифференциальное сечение, усредненное по направлениям век-
a
тора
, равно:
(1)
dσ
где
d
(, ) ( ) d e δ()δ()
dσ 1
d4π
mG
2π
mG
π
mG
π
1
22 2d
2
– сечение рассеяния на одиночном центре (см. за-
2
m
2
2π
mG
2
2
mG
π
2
cos ( ).
2
π
2
dφsinθdθ cos ( cos θ)
2
1
1
dξ(1 cos ( 2 ξ))
4
1
2
121 ,
3
i
qr
qa
2
qa
qa
sin (2 ) sin (2 )
qa qa
qa qa
dσ
дачу 11.17).
1qa
В пределе
ются когерентно и сечение
амплитуды рассеяния на двух центрах складыва-
mG
π
2
2
dσ dσ
dd
(1)
4
. В противоположном
(1)
97
mG
π
1qa
относительная фаза амплитуд случайна и сечение
2
2
(1)
2
.
пределе
dσ dσ
d2 d
1
11.19. Представим потенциал взаимодействия электрона с протоном
2
μ
r
в виде
Ur
() e
lim
μ 0
e
. Используя формулу Борна (1.11.19), вычис-
r
лим амплитуду
22
fq r r r qr
Подставляя
22
2π
22
22
me me
Im d e .
2222
qq
0
() (,μ 0)
fq fq
meme
(,μ)dφ sinθ dθ de dsine
2 μ icosθμ
rqr
μ i
r
rqr r
r
( μ )
2
2
me
в формулу (1.11.20), полу-
22
q
чим дифференциальное сечение рассеяния, известное как
зерфорда
:
22
22
2
dσ
fq
()
d
me me
22 2 4
qp
2sin(θ /2)
2
q
0
формула Ре-
1
.
11.20. Согласно формуле Борна (1.11.19) амплитуда рассеяния про-
порциональна фурье-образу потенциальной энергии взаимодействия
электрона с атомом
где φ
– фурье-образ
q
() d e ( φ()) φ
fq r e r
() φ()Ur e r
mme
22
2π 2π
φ()r
атома. Уравнением Пуассона
ностью заряда внутри атома
:
3
i
qr
, (2.11.2)
q
электростатического потенциала внутри
φ 4πρ
ρ() δ() (),rernr складывающейся
потенциал
φ()r
связан с плот-
98
из точечного заряда ядра и средней плотности заряда электронной
f
F
оболочки, равной
() |ψ()| .en r e r
2
Перейдя в уравнении Пуассона
к фурье-представлению
ii
φ() φ e,ρ() ρ e
rr
qr qr
qq
qq
,
получим алгебраическое уравнение
дим искомый фурье-образ
φ 4πρ /
qq
2
φ 4πρ
q
qq
2
, требуемый для подстановки
q
, откуда сразу нахо-
в формулу (2.11.2):
2
2
q
q
,
где
() d e ()
qrnr
3i
qr
me me
() φ 1()
qFq
222
2π
– формфактор, характеризующий распреде-
ление электронного заряда внутри атома. В основном состоянии атома
водорода волновая функция электрона
ψ() e /π
ra
/
ra
B
3
B
, и соответ-
ствующий формфактор равен
qr qr
3i 3i 22
Fq r r r aq
() d e ψ() d e e 1 /4
2
1
ra
2/
3
a
π
B
B
B
2
.
Дифференциальное сечение рассеяния электрона на атоме водорода
dσ
d
22
() 1 () 1 1 /4
fq Fq aq
me me
22 22
qq
22
22
22
B
2
2
.
99
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Давыдов А. С. Квантовая механика : учебное пособие для университе-
тов / А. С. Давыдов. – 2-е изд., испр. и перераб. ‒ Москва : Наука, 1973. – 703 с.
2. Левич В. Г. Курс теоретической физики : [для физ.-техн. вузов и фак.].
В 2 т. Т. 2: Квантовая механика. Квантовая статистика и физическая кинетика /
В. Г.
Левич, Ю. А. Вдовин, В. А. Мямлин. – 2-е изд., перераб. – Москва : Наука,
1971. – 936 с.
3. Вихман Э. Х. Квантовая физика / Э. Х. Вихман. – Москва : Наука, 1974. –
388 с. ‒ (Берклеевский курс физики. Т. 4).
4. Сивухин Д. В. Общий курс физики : учебное пособие для вузов : в 5 т.
Т. 5, ч. 1: Атомная физика / Д
5. Иванов М. Г. Размерность и подобие / М. Г. Иванов. – Долгопрудный :
Долгопрудн. авиац. техн., 2013. – 68 с.
6. Дубровский В. Г. Механика, термодинамика и статистическая физика :
сборник задач и примеры их решения : учебное пособие / В. Г. Дубровский,
Г. В. Харламов. – Новосибирск
7. Ландау Л. Д. Квантовая механика (нерелятивистская теория) / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. ‒ Изд. 6-е, испр. – Москва : Физматлит, 2004. – 800 с. ‒
(Курс теоретической физики. Т. III).
8. Ландау Л. Д. Краткий курс теоретической физики : в 2 т. Т. 2: Квантовая
механика / Л. Д. Ландау
9. Зелевинский В. Г. Квантовая физика : учебное пособие : в 3 т. Т. 1:
Основные понятия квантовой механики. Симметрии / В. Г. Зелевинский. – Новосибирск : РИЦ НГУ, 2014. – 502 с.
10. Савельев И. В. Основы теоретической физики : в 2 т. Т. 2: Квантовая
механика / И. В. Савельев. – 2-
11. Сербо В. Г. Конспект лекций по квантовой механике : учебное пособие / В. Г. Сербо, И. Б. Хриплович. ‒ Новосибирск : Изд-во НГУ, 1999. – 138 с.
12. Дубровский В. Г. Введение в квантовую и статистическую физику :
учебник / В. Г. Дубровский. – Новосибирск : Изд
(Учебник НГТУ).
. В. Сивухин. – Москва : Наука, 1986. – 426 с.
: Изд-во НГТУ, 2010. – 176 с.
, Е. М. Лифшиц. – Москва : Наука, 1972. – 368 с.
е изд., испр. – Москва : Наука, 1996. – 432 с.
-во НГТУ, 2005. – 488 с. ‒
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]