Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантовая механика. Сборник задач и примеры их решения. Учебно-методическое пособие
.pdf
соответственно буквенные обозначения S, P, D, F, … . В частности, ос-
B
A
новное состояние атома водорода обозначается как 1S, состояния
2n
с
и
1l
обозначаются как 2P и т. д.
Литература: [7, § 36; 1, § 38; 2, с. 140–148; 11, § 16; 10, § 24].
Задача 7.4. Исходя из соотношения неопределенностей, оценить
энергию основного состояния атома водорода.
Задача 7.5. Найти степень вырождения уровня атома водорода как
функцию главного квантового числа
n.
Задача 7.6. Оценить размер атома водорода как функцию главного
квантового числа
n
.
Задача 7.7. Для суперпозиции квантовых состояний атома водорода
2S и 2P
вычислить дипольный момент
ентов
c
1
(,θ, φ)()(θ, φ)()(θ, φ)r с RrY cRrY
c
и
, при которых величина дипольного момента будет макси-
2
120 00 221 10
ˆ
der
ˆ
и найти значения коэффици-
(1.7.10)
мальна.
Задача 7.8. Могут ли уровни атома водорода иметь степень вырож-
дения 2, 4, 7, 9, 15, 16, 25? Какие из этих значений возможны в произвольном (не кулоновском!) потенциале?
8. Движение частицы в магнитном поле. Спин
8.1. Электрон в однородном магнитном поле
Гамильтониан электрона в электромагнитном поле
1
ˆ
HpArtert
ˆ
2
m
В однородном магнитном поле
1
Br
()
2
, имеем
e
c
2
(,) φ(,)
выбрав вектор-потенциал
,
. (1.8.1)
31
B
B
HrpBB
2
ˆ
pe e
ˆ
22
mmc
22
ˆ
pe
2
m
ˆ
pe
=
2
m
ˆ
BB
-m
2
μ (
LB B
B
ˆ
() )(
(
2
8
mc
ˆ
2
8
crm
2
8
m
c
2
)
re
2
re
2
φ
2
) φ,
e
(1.8.2)
2
φ
где
m
ˆ
магнитный дипольный момент электрона
ˆ
μ
ным моментом импульса
нетон
ное
полю
Бора). Линейное по полю
взаимодействие электрона с внешним полем, квадратичное по
слагаемое отвечает за диамагнитные свойства атома.
;L
B
ˆ
(1.8.3)
μ
L
B
3
, связанный с орбиталь-
||
– гиромагнитный фактор (маг-
2emc
слагаемое описывает парамагнит-
Литература: [7, § 111, 112; 11, § 33].
Задача 8.1. Исходя из гамильтониана (1.8.1) и полагая магнитное
поле однородным и направленным вдоль оси
ˆ
(а) найти оператор скорости электрона
[, ]
для компонент скоростей
vv
; (в) найти спектр энергетических
ij
; (б) вычислить коммутатор
v
z
B
(||e),
z
а также
φ 0
:
уровней.
Задача 8.2. Оценить минимальный размер квантового состояния
электрона в магнитном поле.
Задача 8.3. Оценить диамагнитную восприимчивость атома водо-
рода в основном состоянии.
3
В формуле (1.8.3) явным образом учтено, что заряд электрона отрицате-
||.ee
лен:
32
8.2. Ñïèí электрона
s
A
s
Квантовое состояние спина ( внутреннего момента импульса элек-
трона) описывается
ψ
1
ψ ,
где компоненты
ψ
2
сти обнаружить электрон в состояниях с проекциями спина
бранную ось квантования. Оператор спина
рицы
Паули
σ
:
ˆ
s
где σ , σ , σ ,
спинором – двухкомпонентной амплитудой
ψ и ψ
12
1
σ; σ (σ , σ , σ ),
2
xy z
xyz
01 0 i 1 0
10 i 0 0 1
являются амплитудами вероятно-
ˆ
выражается через мат-
(1.8.4)
1
на вы-
2
которые вместе с единичной матрицей
риц размера
представлена как
22
. В частности, произвольная матрица
3
cI c c A c A
00
σ , где Tr , Tr σ
ii i i
1
i
I
образуют полный базис мат-
22
может быть
. (1.8.5)
Свойства матриц Паули:
(а) эрмитовость:
антикоммутатора матриц Паули имеем
Для
откуда следует, что
σσ
ii
{σ , σ } σσ σ σ 2 δ ,
ij ij ji ij
2
σiI
и (б) «бесследовость»
I
для любого i. В свою очередь, коммутатор
Tr σ 0i
.
(1.8.6)
матриц Паули равен
[σ , σ ] σσ σ σ 2iεσ
ij ij ji ijkk
, (1.8.7)
что согласуется с коммутационными свойствами оператора спина
ˆˆ ˆ
ss
[, ] iε
i j ijk k
.
33
При повороте системы пространственных координат вокруг про-
f
f
x
извольной оси
ром
конечного поворота – унитарной матрицей размерности
n
на угол φ преобразование спинора дается операто-
i σφφ
n
ψ exp φψ =cos i(σ)sin ψ
222
In
. (1.8.8)
22
Литература: [7, § 54, 55; 2, с. 234–247; 11, § 25; 10, § 41–44].
Задача 8.4. Используя свойства матриц Паули (1.8.6), доказать тож-
дество
Здесь
, ab
– произвольные числовые векторы.
( σ)( σ)( ) i ( )σab abI ab
. (1.8.9)
Задача 8.5. Используя результат (1.8.9) задачи 8.4, показать, что для
любой аналитической функции
:
– числовая переменная,
где
Указание: использовать для функции f разложение в ряд Тейлора.
nx fx f x I f x f x n
( σ )()() ()()(σ)
11
22
n
– произвольный единичный вектор.
Задача 8.6. Пусть спиновое состояние имеет вид
22
|| || 1
нат вокруг оси
Задача 8.7. Пусть спиновое состояние имеет вид
менится спинор
(а) на угол
. Как изменится спинор ψ при повороте системы коорди-
на угол φ?
z
ψ
ψ
при повороте системы координат вокруг оси x:
π /2
; (б) на угол π ?
Задача 8.8. Пусть спиновое состояние имеет вид
22
|| || 1
. Найти преобразование поворота (ось
зультате которого спинор примет вид
34
1
ψ
0
.
n
и угол φ), в ре-
, (1.8.10)
ψ ,
1
0
ψ ,
где
β
. Как из-
где
β
8.3. Уравнение Паули, спин в магнитном поле
s
B
j
j
С учетом спина уравнение Шредингера в электрическом и магнит-
ном поле для электрона принимает вид (
ψ 1|| ||
где
i||φ (σ ) ψ
tm c mc
и ABA
– вектор-потенциал и вектор индукции магнитного
pAIe B
22
ee
уравнение Паули)
2
4
, (1.8.11)
поля.
Отметим, что гиромагнитный фактор спина электрона
|| ||
ee
mc mc
2
(σ )()2μ ()
ромагнитного фактора
мента импульса
ˆˆ
sB sB
ˆ
L
в уравнении (1.8.2).
B
μ
, стоящего при операторе орбитального мо-
B
, т. е. оказывается в 2 раза больше ги-
ˆ
равен
2μ
B
Литература: [7, § 113; 11, § 25].
Задача 8.9. Покоящийся электрон находится в постоянном магнит-
ном поле
мени. Рассмотреть также случай, когда магнитное поле зависит от времени:
Задача 8.10. Покоящийся электрон находится в переменном магнит-
ном поле
(0, 0, ( ))
BBt
||Bz
. Найти зависимость волновой функции спина от вре-
.
z
(cosω ,sinω ,).B B tB tB
Найти зависимость волновой
0
функции спина от времени.
:
9. Сложение моментов, волновые функции
Рассмотрим изолированную квантовую систему, состоящую из двух
слабо взаимодействующих подсистем с моментами импульса
соответственно. При отсутствии внешних моментов сил полный момент
4
Так же, как и в формуле (1.8.2), здесь явным образом учтен отрицатель-
ный знак заряда электрона.
35
ˆ
ˆ
и
1
2
j
j
j
j
j
системы
Тогда коммутатор
ˆˆ ˆ
jj
12
сохраняется, т. е. он является интегралом движения.
ˆ
ˆ
,0
jH
, и собственное состояние гамильтониана
системы может быть выбрано как собственное состояние оператора
и оператора проекции суммарного момента
ˆ
2
jjm jj jm jjm mjm , (1.9.1)
,(1),, , ,
ˆ
j на ось квантования z :
z
ˆ
z
ˆ
2
где
, … , 0, … ,mj j
.
Перечислим основные правила сложения моментов, известные как
векторная модель.
1. Абсолютное значение полного момента принимает одно из значе-
ний:
(),( 1),,| |
jj jj jj
12 12 12
. (1.9.2)
2. Проекция полного момента есть сумма проекций каждой из двух
подсистем
mm m
. (1.9.3)
12
В общем случае взаимодействие подсистем приводит к тому, что
проекции
12
полной системы
ний векторов состояний
екцией
mm m
jm
где
C – коэффициенты Клебша – Гордана.
jm j m
112 2
Опишем
возможных состояний
по отдельности не сохраняются и вектор состояния
и mm
,jm
есть суперпозиция всех тензорных произведе-
,jm
11
:
12
,,,
mCjmjm
mm m
12
и
jm
jm j m
112 2
,jm
подсистем с суммарной про-
22
11 2 2
, (1.9.4)
стандартный алгоритм их вычисления и построение всех
,jm
.
1. Начнем с построения мультиплета состояний с максимальным
полным моментом
.
jj
12
36
Состояние с максимальной проекцией момента
j
x
j
j
mjj j
12
видно и единственно:
,,,
jjjjj
11 2 2
. (1.9.5)
Для нахождения остальных состояний мультиплета можно восполь-
ˆˆ ˆ
jj
i
зоваться понижающим оператором
состояние
,jm
переводит его в состояние
ˆ
,(1)(),1.jjm jm jmjm
, действие которого на
y
,1jm
:
(1.9.6)
оче-
Подействуем на левую часть оператором
ˆˆ
каждый из которых дей-
лентной суммой операторов
() ( ),jj
12
ˆ
, а на правую – эквива-
ствует только на вектор состояния «своей» подсистемы:
2,1 2 , 1, 2 , , 1jjj j j j j j j j j j j
111 2 2 211 2 2
Поделив на коэффициент, возникший в левой части уравне-
ния (1.9.5), получаем нормированный вектор состояния с
jj
,1 , 1, , , 1
jj jj jj jj j j
Повторяя данную операцию
12
11 22 11 2 2
jj
(2 1)j
раз, построим последова-
. (1.9.7)
тельно все остальные векторы состояния для мультиплета
с
2, …, mj j
2. Состояние следующего мультиплета
ной проекцией
.
1,jm
с его максималь-
1mj
содержит согласно уравнению (1.9.4) два сла-
гаемых:
Для определения неизвестных
тогональности состояния
1, 1 , 1 , , , 1jj а jj j j а jj j j
11 1 2 2 21 1 2 2
воспользуемся условием ор-
и aa
12
1, 1jj
к состоянию
,1jj
из предыду-
.
щего мультиплета:
.
1mj
:
,jm
37
jj
,11,1 0
jj j j a a
12
12
jj
,
и условием нормировки
21
/,ajj что дает
jj
1, 1 , 1 , , , 1
j j jj jj jj jj
21
11 2 2 11 2 2
jj
22
12
1aa
, откуда
12
/ajj
. (1.9.8)
и
Далее, повторяя действие понижающим оператором на полученный
вектор состояния, строим остальные состояния и для этого мультиплета.
Аналогичным образом вычисляются все остальные мультиплеты:
сначала строится состояние с максимальной для данного мультиплета
m
проекцией
же проекцией
(с использованием его ортогональности состояниям с той
m
для ранее построенных мультиплетов), а затем с помощью понижающего оператора – все остальные состояния текущего
мультиплета.
Литература: [13, с. 164–172; 11, § 26].
Задача 9.1. Найти все возможные значения полного момента им-
пульса и построить соответствующие мультиплеты квантовых состоя-
1
s
ний для системы из двух спинов с
.
2
Задача 9.2. Найти все возможные значения полного момента им-
пульса и построить соответствующие мультиплеты квантовых состояний для электрона с орбитальным моментом импульса
1
s
.
и спином
l
2
Задача 9.3. Система состоит из двух подсистем с моментами им-
пульса
12
. Найти возможные значения полного момента и по-
1jj
строить соответствующие мультиплеты квантовых состояний.
38
10. Тождественные частицы
E
В квантовой механике все частицы одного сорта ‒ электроны, протоны, нейтроны, фотоны и прочие ‒ являются
дественные частицы делятся на два класса:
известные бозоны имеют целый спин, фермионы – полуцелый. При перестановке двух тождественных бозонов волновая функция остается
неизменной, при перестановке двух тождественных фермионов волновая функция меняет знак. Соответственно, для фермионов возникает
принцип Паули:
диться
два и более тождественных фермиона. Для бозонов такого
в одном квантовом состоянии не может нахо-
ограничения нет.
Литература: [4, § 46; 7, § 61–63; 11, § 29; 13, с. 427–435].
Задача 10.1. В состояниях с каким орбитальным моментом могут
находиться два тождественных бозона со спином 0?
Задача 10.2. Два тождественных бозона со спином 1 находятся в со-
стоянии с орбитальным моментом
l . Какие значения полного спина до-
пустимы для этой системы?
Задача 10.3. В состояниях с каким орбитальным моментом могут
находиться два электрона?
тождественными. Тож-
бозоны и фермионы. Все
11. Теория возмущений
11.1. Стационарное возмущение
ˆ
Пусть гамильтониан
зом от времени и может быть представлен в виде суммы двух слагаемых:
ˆ
где
– малая добавка к гамильтониану
V
полный набор собственных значений
H
квантовой системы не зависит явным обра-
(0)
ˆˆ ˆ
HH V
39
, (1.11.1)
(0)
ˆ
для которого известны
,H
(0)
и образующий полный базис
n
набор собственных векторов
E
уравнению Шредингера
(0)
| ψn
, удовлетворяющих стационарному
(0) (0) (0) (0)
EH
| ψ | ψ .
nn n
Тогда, представляя собственные значения
торы
нию
полного гамильтониана
| ψn
ˆ
:
V
()
k
EE
nn
k
;
0
коэффициенты разложения
невозмущенного гамильтониана
двух порядках по возмущению
EE E E
nn n n
(1) (0) (0) (2)
EVE
nn nn
ˆ
ψ ||ψ ,.
Для коэффициентов разложения
порядком
:
1k
(0) (1)
сс
δ ,(1δ );
mn mn mn mn
(0) (0)
| ψ | ψ | ψ .
nn m
mn
ˆ
ˆ
H
в виде ряда по малому возмуще-
по базису собственных векторов
| ψn
(0)
ˆ
:
H
ˆ
имеем [7, § 38]:
V
(0) (1) (2)
mn
()k
с
mn
(0) (0)
ˆ
V
ψ ||ψ
mn
(0) (0)
EE
nm
(1.11.2)
и собственные век-
n
(0) ( )
ψ | ψ ,
mn mn
;
(0) (0) 2
| ψ ||ψ |
ˆ
V
mn
(0) (0)
EE
nm
также ограничимся первым
(0) (0)
ˆ
V
ψ ||ψ
mn
(0) (0)
EE
nm
k
c
k
в первых
0
(1.11.3)
(1.11.4)
Условие применимости (1.11.3) и (1.11.4) подразумевает, что полученные поправки остаются малыми, т. е.
(0) (0) (0) (0)
EE V
|||ψ ||ψ |
nm m n
40
ˆ
. (1.11.5)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]