Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантовая механика. Сборник задач и примеры их решения. Учебно-методическое пособие
.pdf
Далее 4-вектор энергии-импульса до рассеяния (покоящегося) элек-
p
p
p
M
M
M
1/ 2
– его ре-
, где
2
трона равен
v
– скорость электрона после рассеяния и
(,0,0,0)pmc
, а после рассеяния
(/,γ )
γ 1(/)vc
Ec mv
2
лятивистский фактор. Записывая закон сохранения энергии-импульса
pkk
в 4-мерном виде как
222 2
()2 2()2 (1cosθ),pp mc mE k k
где использовано, что
Подставив
E
из закона сохранения энергии
2222
шая получившееся уравнение относительно
2
1.6. Для круговой орбиты электрона момент импульса равен
, где r – радиус орбиты, mv – его импульс. Из баланса центро-
mvr
бежной силы и силы притяжения электрона к ядру
разим радиус орбиты через момент импульса электрона:
Подставляя для момента импульса дискретные значения
чим для радиуса орбиты
rnme
n
и возведя обе части в квадрат, имеем
2
ωω
2
c
ωωmc E
(')cosθ.nn
pmc
,()
22
() 0,kk
2
ω ,
приходим к ответу
.()ωω/1 ω/(1cosθ)mc
2322
//
mr e r вы-
22 2
, и формула для дискретного
/
и ре-
22
/rM me .
n
, полу-
спектра уровней атома водорода примет вид
22 4
Me me
E
n
2222
2
mr n n
n
1Ry
2
r
n
.
Отметим, что в рамках такой модели
1, 2 , 3, n
, так как при
0n
электрон падает на ядро. Соответственно, во всех состояниях магнитный момент атома оказывается отличным от нуля, что противоречит
эксперименту.
51
2. Волны де Бройля. Принцип суперпозиции.
p
x
p
x
Волновые пакеты. Соотношение неопределенностей
Гейзенберга
2.1. Длина волны частицы с энергией
λ 2π /2π /1,24 ; 10 1м ,24 мкмkcE
(а) фотона
(б) электрона
(в) нейтрона
2.2. Длина волны де Бройля
импульс атома гелия,
λ 2π /2 1,231 ; м0 1, 23 нмmE
λ 2π /2 2,810 м 0,028 нм.mE
m
‒ его масса, T ‒ температура,
λ 2/
1 эВ
11
, где
6
9
:
~2pmk T
‒ тепловой
B
k
‒ постоянная
B
Больцмана. Приравнивая длину волны к среднему расстоянию между
атомами
(/)am
2.3. (а) Разлагая
(1 / 2 π )e
1/ 2 i/
1/3
, получим
(, 0)xt
x
, получим амплитуду вероятности распределения по
~ ρ 16 К.2π /Tmk
по плоским волнам ψ ()
22/3 532/
B
p
импульсам:
2
()
xx
0
i
() dψ () (, 0) d e e
ap x x xt x
. e
*
p
1/04
2
2
a
0
2
π
i
( λ )(λ )
px p
2
a
0
2
1
2π
2
px
π12
a
1/4
2
0
iλ
2
4
a
0
Распределение вероятности по импульсам
1/ 2
2
2
a
() |()| e
wp ap
2
1
2
a
2
0
2
π
0
2
π
2
/2
a
2
0
pp
()
2
e λ
52
2
a
2
0
p
2
0
2
( λ)
2
p
)(при
0
от времени не зависит, так как в случае свободного движения частицы
x
E
x
x
ее импульс сохраняется. Средний импульс
d()λpppwp отве-
чает максимуму распределения
()wp
при
pp
0
, ширина распре-
деления
(б) При
множитель
()d(λ .)()(/2)pp pp wp a
0t
i()/ i /2
22 2
каждая из волн ψ ()
2
pt p m
t
домножается на свой фазовый
p
.ee
Собирая волновой пакет с учетом
0
этого множителя, получим волновую функцию в последующие моменты времени:
2
i/2
pt m
(,) d ( )ψ ()e
xt pap x
2
a
2
0
p
de e
(2π)i/2
exp 1 .
2
a
1/ 4 2
atm
0
(/) ii
22224
at ma
41 /4
00
p
1/4
i
() ()
1/ 2
0
xtpm px pt
00 0 0
22
ii
a
pp x pp
0
00 0
2
1/ 2
22
2
1
2π
i
t
8
ma
2
0
pt
px
m
2
m
2
(в) Из распределения вероятности
2
(|,)(,)|wxxtt
1/ 2 2 2 2
(2π)1 /4
видно, что центр пакета, находящийся в точке
жется с постоянной скоростью
xx tp m
1
atma
00
53
exp
1/ 2
4
/vpm
.
0
(/)
21 /4
c
00
22224
at ma
0
() /()
tx pmt
00
2
0
, дви-
(г) Из распределения вероятности также легко найти, что средне-
x
p
x
p
E
квадратичная ширина пакета равна
() 1 /4xxx a tma .
2222
0
1/ 2
4
0
/tE
При
на размере
, где
лок
a
, ширина растет линейно со временем:
0
2.4. Энергия гармонического осциллятора:
22
ок 0л
/2Ema
– энергия локализации частицы
.
t
222
ω
Em
mx
22
()
x
Из симметрии системы по отношению к отражению
что
0x
и
0p
.
Оценивая неопределенность координаты частицы
следует,
~xl
, где l – ха-
рактерный размер квантового состояния, и в силу соотношения Гейзен-
//
берга неопределенность импульса частицы
оценку снизу для энергии как функции параметра
2222 22
() ω () ω
pm x ml
El
()~
22 2
m
2
2
ml
xl
:
l
, получим
. (2.2.1)
Энергия наинизшего – основного квантового состояния находится
d
():El
из условия минимума
и энергия основного состояния
El
() 0
l
d
ll
min
~( ) ωEEl
0min
, откуда
. (Отметим, что точное
решение задачи содержит дополнительный множитель
1/ 2
min
.)
1/ 2
ωlm
2.5. Методом, аналогичным использованному в задаче 2.4, получим
2/3
3( )
~2E
0
.
1/3
m
.
2.6. Полная энергия квантовой частицы есть сумма средней кинети-
ческой и потенциальной энергии:
KUx
оценим среднюю кинетическую энергию исходя из размера
22
вого состояния:
~/2Kml
.
54
()
. Как и в задаче 2.4,
l
кванто-
Оценка же средней потенциальной энергии зависит от глубины ямы:
K
E
p
p
p
p
x
(а) в глубокой яме
()
U
естественно ожидать, что волновая
0
функция практически полностью локализована внутри ямы:
и в этом случае
()Ux U
0
. Вместе с оценкой для кинетической энер-
гии это дает для энергии состояния
22
~/2Ema U
; (2.2.2)
0
~,la
(б) в мелкой яме размер квантового состояния
тельно превышать размер ямы
0~ (/),wUal
00
wal
где
.a В этом случае
~( / )
U
ww
и
0
(1 )
может значи-
l
()
Ux U w
– вероятность
U
0
U
застать частицу соответственно внутри и вне ямы. Полная энергия в таком случае
2
/lmUa
0
22
()~ /2 ( / ),
lmlUal
, откуда
~( )/2EmUa
0
22
0
и минимизация
. Отсюда следует, что в одно-
()El
дает
мерном случае связанное состояние возникает в любой сколь угодно
мелкой яме.
3. Операторы, коммутаторы операторов. Общая теория
представлений и матричный подход Гейзенберга
ˆ
ˆ ˆˆ ˆˆˆ ˆˆˆ
[, ] [, ] [, ] [, ]
3.1. (а)
xK xp pxp xpp
зовано тождество
11 i
22
mm m
ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ
[, ] [, ] [, ]ABC BAC ABC.
2
ˆˆ ˆ
(б) Представляя в виде ряда Тейлора
искомый коммутатор в виде ряда:
n
ˆˆ
[, ]
x
лим коммутатор
nnn
ˆˆ ˆˆ ˆˆ
[, ]
xpxxp
довательно с n операторами
, представив его в виде суммы двух слагаемых:
. В первом слагаемом переставим оператор
ˆ
,
стоящими справа от него. На каждом
ˆ
Ux
()
0
n
()
ˆ
ˆˆ ˆˆ
Ux px
[, ()] [, ]
U
n
0
ˆ
p
, где исполь-
()
nn
(0)
(0)
n
!
ˆ
, запишем
n
. Вычис-
Ux
n
n
!
ˆ
после-
55
шаге, при смещении оператора
p
p
x
L
x
L
p
становочного соотношения
1
nx
ˆ
слагаемое
nn n
ˆˆ ˆ ˆ ˆ
xxpnx
i
i
, и в результате n шагов мы фактически получим
1
, откуда
ˆ
на одну позицию вправо, ввиду пере-
ˆˆ ˆˆ
ipx xp
возникнет дополнительное
nnnn
ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ
[, ]
px px xp xp
1
nn
ˆˆˆ
i
nx x p
i
Подставляя этот результат в полученный выше ряд, имеем
() ()
nn
ˆ
ˆˆ ˆˆ ˆ
pU x px x
[, ()] [, ] i
ˆ
(в)
ˆ
ˆˆ ˆ ˆ
ˆˆ ˆ ˆ
LK p Lp Lp p
(г)
ˆ
LUr r p Ur r Ur
i ijk j k ijk j
nn
, ε , ε (i δ i ε)
rrprr r
i j iklk l j iklk lj ijkk
ˆˆˆ
ij likl k j l ik llkjijl
,, iii
L L rp rp rp rp L
yxzxxzyxxyz
,,,
i jij ij j
,() ε ,() ε i()
так как свертка антисимметричного тензора ε
тензорами
ˆˆ
и
prr равна нулю.
jl jk
(0) (0)
UU
nn
!(1)!
00
(1)
U
ii().
k
0
11
11
1
1
ˆˆ ˆˆ
2
2
m
1
i( )0;
ε
m
1
iε () 0
ijk j k
nn
k
(0)
k
ˆˆ
k
!
ˆ
,, εε(i δ i ε
(1)
ˆ
Ux
ˆˆ
pLrpp pp
ˆˆ ˆ ˆ
ˆˆ ˆˆ
pp pp
jl l jijl
ˆ
1
rr U r
,
r
1
(2.3.1)
)
r
k
с симметричными
ijk
nx
.
1
n
ˆ
.
;
;
56
3.2. Представляя
x
x
p
B
A
B
A
ˆ
exp(i / )pa
в виде ряда Тейлора, запишем
nnn n
ˆˆ
pa p a a
expi () () i ()
iid
n
n
n
00
n
a
= ψ () ψ(),
!
n
n
0
xx
!
n
()
nx
n
xa
n
!d
n
что и требовалось доказать.
3.3. Докажем, что матрица
митово сопряженную матрицу
UU p x x p p p
|| | δ ,
x
где использовано условие полноты базиса
нормированности состояний
ˆ
ˆ
a
b
3.4. Пусть
– эрмитовы операторы пары наблюдаемых физи-
и
|p
ческих величин, причем их коммутатор отличен от нуля:
|Upx
унитарна, умножая ее на эр-
(|) |Upx xp
{| }x
p
:
x
.
:
||1
xx
и орто-
ˆ
ˆ
[, ] i 0ab C.
Докажем, что при усреднении по любому квантовому состоянию
выполняется неравенство
222
ˆˆ
()()
aa bb C
ˆˆ
1
ˆ
.
4
ˆ
|
ˆ
Доказательство. Введем
ˆ
0.B Далее построим вектор
ˆˆ
Aa a и
|(i)|AB , где
ˆ
ственное число. Используя очевидное неравенство
ˆ
ˆ
и
эрмитовости операторов
ˆˆ ˆ ˆˆ
0|(i)(i)| | i( )|ABAB A B ABBA
222 222
ˆˆˆˆ
|| || || .
ˆˆ ˆ ˆˆ
ˆˆ
BCABC
запишем
222
57
ˆˆ
ˆ
bb, так что ˆA
ˆ
|0
– веще-
, с учетом
Квадратичная форма по положительно определена при условии,
p
p
22 2
ˆˆ
что ее дискриминант
40AB C
ˆ
, откуда и следует требуемое
неравенство.
3.5. (а)
ˆ
aK
и
(б)
ˆˆ
ap
ˆ
ˆ
bx
и
. Тогда
() () /4px
2
ˆ
ˆ
2
i[,] [,] ( )
ˆ
ˆ
bU . Вычислим коммутатор
m
ˆ
ˆˆ
CKU px pxxp
ˆ
ˆˆ
i[,]iCpx , откуда
222
22
ˆ
ω
mx
.
2
22
ω i ω
22
ˆˆ ˆˆˆˆ
42
24
откуда
22 2
()( )
KU pxxp .
ω
ˆˆ ˆˆ
16
4. Квантовая динамика, уравнение Шредингера
4.1. Для свободной частицы
гера имеет вид
2
2
UE kk EU
m
00
ψψ, ψψ,()
( ( ) const)Ux U
0
2
уравнение Шредин-
2
m
2
,
,
откуда общее решение
kx kx Et
ψ eee
сс
12
.
iii/
4.2. Используя определение плотности потока вероятности (1.4.3),
1
i( )/
xEtxt
ψ(,) e
для
(2π )
1/2
j
получим
i1
22π
**
ψψ( ψ )ψ
mm
58
p
.
4.3. Для волнового пакета
x
x
p
A
(, 0) exp
xt
1
1/4 2
2
2π
a
0
поток плотности вероятности равен
()i
j
π12
2
xpx
00
4
a
0
exp
1/2 2
2
a
0
()
2
xp
00
2
a
m
0
.
4.4. Для оператора скорости имеем
2
di i i
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ
vxHx Uxx ppxpxp
tmm m
d22
ˆ
[,] (), [,][,]
ˆˆ
p
,
для оператора ускорения, используя результат (2.3.1) задачи 3.1 (б), получим
2
ddd i i 1
ˆˆˆ ˆ ˆˆ ˆ
axv Hp Uxp Ux
2
dd
d
t
ttmm m m
ˆ
p
ˆ
[,] [(),] ()
.
4.5. Для оператора скорости имеем
di 1
ˆˆ
vrHr pArt
d
tmc
Для оператора ускорения
ˆ
[,] (,)
ˆ
в соответствии с формулой (1.4.4) воз-
a
e
.
никают два слагаемых:
2
dd1 i
ˆˆˆ ˆ
arv pArt HpArt
2
tmt c m c
d
t
d
ee
(,) , (,)
ˆ
.
В первом слагаемом явным образом от времени
тор-потенциал
(,)
rt
, откуда
11
mt c mct
ee
ˆ
pArt Art
(,) (,)
59
t
зависит лишь век-
.
Для второго слагаемого имеем
A
ii
ˆ
Hp Art
mc m
e
ˆ
,(,)
i
1
Вычисление коммутатора компонент скорости дает
откуда
В итоге получим
2
m сс с
i
me
2
mm
ˆˆ ˆ ˆ
,,,()()
vv pA Ap A A
ij i j i j ij ji
ˆˆˆ ˆˆˆ ˆ ˆ
,, ε () ε ()
k k i k i k k kij j kij j k
ee e
ˆˆ ˆ
pArt pArt ertpArt
ˆˆ ˆ ˆˆˆ
[,][,] φ(,).
vv v vvv rt
kk i kik i
1i
22
mmc
ii
ee
ε (rot ) ε (),
22
mc mc
2
(,) (,) φ(,), (,),
ee
c
ijk k ijk k
i
e
2
mc
i
e
mc
ˆˆ
vB Bv
2
B
.
i
ˆ
aBv
ee e
1
mc t mc
ev v
mc c
1
EBB
2
φ
Art vB
(,)
m
ˆˆ
60
ˆˆ
2
.
(2.4.1)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]