Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантовая физика. Учебное пособие
.pdf
Формы электронного облака для различных состояний показаны на
s
x
p
рис. 4.3.
z
y
d
Рис. 4.3
С помощью квантовых чисел можно более подробно описать
спектр атома водорода. Количество возможных переходов электрона
между уровнями энергии ограничивается
правилами отбора:
орбитальное квантовое число может меняться по правилу
; (4.10)
1l
магнитное квантовое число может меняться по правилу
. (4.11)
0, 1m
61
l = 0 l = 1 l = 2 l = 3
s
p
Рис. 4.4
При переходе электрона с более высоких уровней на более низкие
испускается фотон, для перехода электрона на более высокий уровень
ему необходимо поглотить фотон. Примеры разрешенных переходов
для электронов показаны на рис. 4.4. К примеру, электрон может перейти из состояния
ного квантового числа
32
и
p
21
в состояние 3d, при этом изменение орбиталь-
4 p
. Аналогично разрешены переходы
1l
.
s
4.2. 1S-СОСТОЯНИЕ ЭЛЕКТРОНА
В АТОМЕ ВОДОРОДА
Рассмотрим волновую функцию электрона, находящегося в основ-
ном состоянии
. В основном состоянии волновая функция сфери-
ψ
100
чески симметрична, и ее значение определяется лишь расстоянием до
ядра
r :
r
a
где
ame
4πε
0
– первый Боровский радиус.
2
100
62
Сe
, (4.12)
Константу
В сферической системе координат элемент объема
можно определить из условия нормировки
C
2
ψ 1d
v
0
. (4.13)
2
4πdrdrv
Тогда уравнение (4.13) с учетом (4.12) перепишется:
2
0
После интегрирования можно вычислить константу
r
22
a
С erdr
4π 1
.
1
πСa
3
. Та-
ким образом, волновая функция электрона в основном состоянии имеет вид
r
ψ
100
1
π
a
. (4.14)
e
3
a
.
Вероятность
dW d r dr e r dr
Плотность вероятности
обнаружения электрона в объеме
dW
22
ψψ4π 4π
v
ω
dW
ω 4π
dr
22
1
3
a
π
1
3
π
a
2
r
er
2
a
d v
2
r
a
.
. (4.15)
Исследуем выражение (4.15) на максимум, чтобы найти наиболее
вероятное расстояние, на котором электрон находится от ядра.
22 2
rr r
ω 128π
drr
dr a a
aa a
8π 4π 10
ere r e
33
aa
ππ
2
63
,
откуда получаем точку экстремума
ra
. Таким образом, наиболее
вероятное расстояние, на котором можно обнаружить электрон в атоме
водорода, – это первый Боровский радиус. Однако в квантовомеханическом подходе существует ненулевая вероятность обнаружения электрона и на других расстояниях от ядра. График плотности вероятности
изображен на рис. 4.5.
ω
r
a
Рис. 4.5
Необходимо отметить, что хотя результаты, полученные Бором в
классической механике, совпадают с вычисленным наиболее вероятным расстоянием нахождения электрона в атоме, между ними существует принципиальное отличие. Согласно
классической теории
электрон может находиться только на первом Боровском радиусе.
Согласно
но вблизи Боровского радиуса
дет
квантовой теории электрон может находиться где угод-
, но наиболее вероятно его можно бу-
обнаружить на первом Боровском радиусе.
4.3 СПИН ЭЛЕКТРОНА
В 1922 году Штерн и Герлах провели серию опытов, в которых пытались измерить магнитные моменты атомов различных химических
элементов. Для элементов, у которых есть один валентный электрон,
магнитный момент атома равен магнитному моменту валентного электрона. Схема опыта показана на рис. 4.6. В печи в колбе с вакуумом
нагревался серебряный шарик до
температуры испарения. Атомы серебра пролетали через систему диафрагм и попадали в сильно неоднородное магнитное поле. Неоднородное магнитное поле создавалось
постоянным магнитом с узким наконечником. На зеркале можно было
наблюдать посеребренные участки.
64
B
s
s
Рис. 4.6
Согласно классическим представлениям магнитные моменты ато-
мов
ориентированы хаотично, и на них в неоднородном магнитном
p
m
поле действует сила
B
z
cosθ
,
где
Fp
zm
– градиент магнитного поля вдоль оси z; θ – угол между век-
z
тором магнитного момента и направлением магнитного поля. Поскольку магнитные моменты атомов ориентированы хаотично, то на
зеркале должна наблюдаться сплошная серебряная полоса. Однако в
эксперименте Штерна и Герлаха наблюдалось только две точки. Это
означало только одно: магнитный момент электрона принимает только
два дискретных значения.
Более того, в
щегося в
ки. Если атом находится в
опыте Штерна–Герлаха для атома водорода, находя-
-состоянии, на фотопластинке также наблюдались две точ-
-состоянии (
), то его орбитальный
0l
момент равен 0:
(1)0
.
65
0
Lm
lZ
,
и его проекция на ось
Lll
l
также равна 0:
z
Магнитный момент электрона
s
s
s
s
соотношением
pL
e
mlZ
m
2
e
0
связан с орбитальным моментом
p
m
(e – заряд электрона,
– масса
m
e
электрона), и также равен 0. В этом случае магнитное поле вообще не
должно влиять на движение атомов, что противоречило полученным
экспериментальным результатам.
В 1925 году студенты Геттингенского университета Гаудсмит и
Уленбек предположили, что электрон обладает собственным механическим моментом импульса, не связанным с движением электрона в
пространстве –
спином. Спин электрона
– это квантовая величина, у
L
электрона, как масса и заряд. Спин электрона квантуется по закону
где
спиновое квантовое число. Для электрона спиновое квантовое
число имеет значение
Lss
s
1
s
.
(1)
, (4.16)
2
Проекция спина на направление внешнего магнитного поля также
квантуется:
где
Lm
zs
магнитное спиновое квантовое число. Для электрона маг-
m
, (4.17)
нитное спиновое квантовое число имеет два значения:
m . (4.18)
1
s
2
Наличие у электрона спина объясняет результаты опыта Штерна –
Герлаха. Электроны, у которых спин направлен вверх, отклоняются
магнитным полем в одну сторону, а электроны со спином вниз – в другую (рис. 4.7).
Таким образом, состояние электрона описывается набором четырех
квантовых чисел:
n
– главное квантовое число
характеризует номер уровня энергии,
на котором расположен электрон;
– орбитальное квантовое число
характеризует форму электронно-
l
го облака;
66
s
Ожидаемый классический
результат
Рис. 4.7
Эксперимент
– магнитное квантовое число m указывает на ориентацию электронного облака в пространстве,
– магнитное спиновое квантовое число
указывает на ориентацию
m
в пространстве собственного момента импульса электрона – спина.
4.4. ПРИНЦИП НЕРАЗЛИЧИМОСТИ
ТОЖДЕСТВЕННЫХ ЧАСТИЦ
Рассмотрим квантово-механическую систему, состоящую из оди-
наковых частиц. Частицы, имеющие одинаковые физические свойства
(масса, заряд, спин, квантовые числа и др.), называются
. В квантовой механике выполняется фундаментальный прин-
ными
цип –
принцип неразличимости тождественных частиц: невоз-
тождествен-
можно экспериментально различить тождественные частицы.
2
2
ψ
1
2
1
2
ψ
ψ
2
2
Классическая механика Квантовая механика
Рис. 4.8
67
Когда имеем дело с одинаковыми классическими частицами, напри-
x
x
x
x
x
x
мер электронами (заряд и масса у всех электронов одинаковая), мы всегда их можем различить экспериментально, поскольку каждый электрон
движется по своей траектории. В классической механике в каждый момент времени можно сказать, где какой электрон находится, т. е. частицы обладают
индивидуальностью. В квантовой механике понятие траектории отсутствует, поведение частицы описывается волновой функцией,
определяющей только вероятность нахождения частицы в некоторой
области пространства. Если же волновые функции двух тождественных
частиц перекрываются, то сказать, какая из частиц находится в области
перекрытия, невозможно (рис. 4.8). В квантовой механике частицы теряют индивидуальность и различить их
невозможно.
4.5. ФЕРМИОНЫ И БОЗОНЫ
Рассмотрим квантово-механическую систему, состоящую из двух
частиц. Волновая функция системы их двух частиц имеет вид
где под
вых координат первой частицы, под
будем понимать совокупность пространственных и спино-
1
– совокупность простран-
2
ψ(, ),
x
12
ственных и спиновых координат второй частицы. Согласно принципу
неразличимости тождественных частиц
ψ (, ) ψ (,)
112 2 2 1
22
xxx
, (4.19)
т. е., если поменять частицы местами, квадрат волновой функции не
меняется.
Уравнение (4.19) может выполняться в двух случаях:
если при перестановке частиц волновая функция не меняет знак
то она называется
ψ (, ) ψ (,)
xxx
112 2 21
симметричной;
, (4.20)
если при перестановке частиц волновая функция меняет знак
то она называется
ψ (, ) ψ (,)
xxx
112 2 2 1
антисимметричной.
, (4.21)
Полученный результат справедлив для квантово-механических си-
стем, состоящих из любого количества частиц.
68
Частицы с симметричной волновой функцией называются
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
и подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна. К бозонам относятся
ми
частицы с нулевым или целым спином, например, фотоны,
бозона-
π
-мезоны
и др.
Частицы с антисимметричной волновой функцией называются
мионами
и подчиняются статистике Ферми–Дирака. К фермионам от-
фер-
носятся частицы с полуцелым спином: электроны, протоны, нейтроны.
Симметрия волновой функции сложных квантово-механических
систем, таких как, например, атом, определяется суммарным спином
всех входящих в систему частиц. Если суммарный спин атома – целый,
то атом является бозоном, если полуцелый – фермионом.
Необходимо также отметить,
что характер симметрии волновой
функции не меняется со временем.
4.6. ПРИНЦИП ПАУЛИ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ
В АТОМЕ ПО СОСТОЯНИЯМ
Рассмотрим две квантово-механические частицы, которые могут
находиться в двух состояниях с разным набором квантовых чисел
. Волновая функция первой частицы в двух состояниях
2
ψ ()
ψ ()
, соответственно для второй частицы волновые функции
12
21
и
ψ ()
. Из этих волновых функций можно составить две
22
ψ ()
11
1
и
и
волновых функции:
(, ) () ( )
xxx
112 11 1 2
и
.
Функции
ψ (, )
x
112
(, ) () ( )
xxx
212 21 2 2
и
ψ (, )
x
212
соответствуют одному и тому же
значению энергии, удовлетворяющему решению уравнения Шредингера, следовательно, их линейные комбинации также должны соответствовать тому же уровню энергии. Линейных комбинаций может быть
две:
– симметричная
ψψ(, ) ψ (, )
сим 11 2 2 1 2
xxx
69
и антисимметричная
x
x
s
s
ψψ(, ) ψ (, )
асим 112 21 2
xxx
.
Для тождественных частиц
ψ (, ) ψ (, )
xxx
112 21 2
,
и антисимметричная функция
ψ 0
асим
.
Следовательно, фермионы, которые обладают антисимметричной
волновой функцией,
вым
набором квантовых чисел. Это утверждение получило название
не могут находиться в состоянии с одинако-
принципа Паули: два фермиона не могут иметь одинаковый набор
квантовых чисел. Необходимо отметить, что количество бозонов,
имеющих одинаковый набор квантовых чисел, не ограничено.
Состояние электрона в атоме определяется набором четырех квантовых чисел:
число),
n
(главное квантовое число), l (орбитальное квантовое
m
(магнитное квантовое число) и
(магнитное спиновое
m
квантовое число). Применяя принцип Паули к атому, можно сказать,
что
в атоме не может быть двух электронов с одинаковым набо-
ром
квантовых чисел. Таким образом, два электрона в атоме должны
различаться хотя бы одним квантовым числом. Максимальное количество электронов, находящихся в атоме на уровне энергии с номером
2
. (4.22)
2Nn
n
,
Совокупность электронов в атоме, имеющих одно и то же главное
n
квантовое число
, называется оболочкой. Оболочки обозначаются
буквами K, L, M, N. В оболочке электроны распределяются по подоболочками, каждая из которых соответствует своему значению орбитального квантового числа
определяется магнитным
. Количество электронов в подоболочке
l
m
и магнитным спиновым числом
2( 1)
Nl
l
. (4.23)
m
N
l
:
В табл. 4.1 приведено распределение электронов по оболочкам и
подоболочкам в соответствии с принципом Паули.
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]