Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантовая физика. Учебное пособие
.pdf
Значение максимума функции спектральной испускательной спо-
ν
собности черного тела
*
r
max λ,T
определяется выражением
где
1, 3 1 0
C
5
Вт
35
мК
.
*5
rCT
max λ,T
, (1.18)
1.3. ФОРМУЛЫ РЭЛЕЯ–ДЖИНСА И ПЛАНКА
*
Попытка определить вид функции
была предпринята англий-
r
λ,T
скими физиками Джоном Уильямом Рэлеем и Джеймсом Джинсом,
применившими законы классической статистики к тепловому излучению. Они рассматривали равновесное излучение в замкнутой полости
с зеркальными стенками как суперпозицию стоячих электромагнитных
волн. Из закона равномерного распределения энергии по степеням
свободы известно, что на каждую колебательную степень свободы
приходится
энергия
ε kT
, где k – постоянная Больцмана; T –
температура. Формула Рэлея – Джинса для спектральной плотности
энергетической светимости абсолютно черного тела выглядит следующим образом:
2
*
rkT
Однако в формуле Рэлея–Джинса
стом частоты
, что противоречит экспериментальной кривой, имею-
2πν
T
,
c
. (1.19)
2
*
монотонно возрастает с ро-
r
ν,T
щей четко выраженный максимум. Формула Рэлея–Джинса совпадает
с экспериментальной кривой зависимости спектральной плотности
энергетической светимости черного тела
*
от частоты ν только
r
ν,T
при малых частотах (рис. 1.5).
Кроме того, площадь под кривой, изображенной на рис. 1.5, должна давать энергетическую светимость черного тела согласно закону
Стефана–Больцмана. Если проинтегрировать (1.19), получим абсурдный результат:
11
ν
ν
*
r
ν,T
По формуле Рэлея–Джинса
Экспериментальная кривая
Рис. 1.5
ν
** 2 3
Rrd kTd d
00 0
νν= νν= ν |
T
ν,
2
2 ν 22
22 2
cc c
kT kT
3
0
.
Это противоречие получило название «ультрафиолетовой катастрофы», поскольку классическая физика не могла объяснить спектр
излучения абсолютно черного тела.
В начале ХХ века Макс Планк предположил, что поглощение и излучение электромагнитной энергии нагретым телом происходит не
непрерывно, как считалось в классической физике, а отдельными порциями энергии квантами. Квант – это
минимальная порция энергии,
которая поглощается (излучается) нагретым телом. Энергия одного
кванта
где
6,63 10 Дж сh
34
– постоянная Планка.
Eh
, (1.20)
С помощью своей гипотезы Планк вывел формулу для средней
энергии гармонического осциллятора:
h
ε
e
. (1.21)
ν
h
kT
1
(Напомним, что в рамках классической теории средняя энергия гармо-
нического осциллятора
ε kT
.)
Тогда спектральная плотность энергетической светимости абсо-
лютно черного тела
12
3
ν
ν
ν
R
ν
ν
2πν 1
r
ν,
T
h
2 ν
c
h
kT
e
. (1.22)
1
Формула Планка (1.22) совпадает с экспериментальной зависимостью спектральной плотности энергетической светимости во всем
диапазоне частот, а при малых частотах, когда энергия кванта много
меньше энергии теплового движения (
νhkT
), переходит в формулу
Рэлея–Джинса. В этом случае при разложении экспоненциальной
функции в ряд и, ограничившись только двумя членами ряда, получим
ν
h
kT
ekT
ν
h
kT
ekT
h
1
1
,
h
. (1.23)
При подстановке (1.23) в (1.22) получим выражение, совпадающее
с формулой Рэлея–Джинса (1.19):
32
2πν 12πν
rkT
ν,
T
h
22
ν
h
cc
.
kT
Проверим, получается ли закон Стефана–Больцмана при интегрировании спектральной плотности энергетической светимости по формуле Планка:
**
rd d
ν,
T
00
Введем безразмерную переменную
3
2πν 1
h
2 ν
h
c
kT
e
xkT
. (1.24)
ν
1
h
. Тогда
h
dx d
и
kT
νkTddx
. Формула (1.24) перепишется в виде
h
13
*4
R
R
R
Tdx
23
ch e
x
1
0
43
2π
kx
.
Значение интеграла
54
2π
σ
Обозначив
15kch
23
34
x
x
e
0
2ππ 2π
kk
*44
23 23
ch ch
, получим закон Стефана–Больцмана (1.12)
π
dx
. После подстановки получим
15
1
44 54
TT
15
*4
15
.
T
.
Посчитаем значение коэффициента
545234
2π 2π (1, 38 1 0 ) Вт
σ 5,67 10
k
23 82 343 2 4
15 15(3 10 ) (6,63 10 ) мК
ch
8
,
что совпадает по значению с постоянной Стефана–Больцмана.
Таким образом, гипотеза Планка не только хорошо согласуется с
экспериментальными результатами во всем диапазоне частот, но и содержит в себе выведенные ранее законы теплового излучения. Гипотеза Планка о квантовой природе излучения дала толчок к развитию новой науки –
квантовой физики.
1.4. ФОТОЭФФЕКТ
Гипотеза Планка, разрешившая «ультрафиолетовую» катастрофу,
нашла свое подтверждение в дальнейших исследованиях, в частности,
в фотоэффекте.
Фотоэффект – это появление электронов вблизи по-
верхности вещества (внешний фотоэффект) или появление свободных
электронов внутри вещества (внутренний фотоэффект) под воздействием электромагнитного излучения (рис. 1.6).
Внешний фотоэффект впервые был обнаружен Г. Герцем в 1887 году. Схема экспериментальной установки для исследования фотоэффекта показана на рис. 1.7. В стеклянном баллоне в вакууме расположены
14
два электрода–катод (К) и анод (А), напряжение между которыми
I
можно изменять. Катод освещается монохроматическим светом дли-
λ
ной
через прозрачное кварцевое окошко.
Рис. 1.6 Рис. 1.7
Снималась зависимость тока в цепи при изменении напряжения
между электродами, световой поток при этом не менялся. Типичные
вольт-амперные характеристики при двух интенсивностях падающего
светового потока изображены на рис. 1.8. Из анализа этих кривых видно,
что фототок
I
достигает насыщения при достаточно больших напряжениях на аноде, так как все электроны, вырванные из катода, достигают
анода. Значение тока насыщения
падающего света. При
фототок отличен от 0, это означает, что
0U
пропорционально интенсивности
н
вырванные светом из катода фотоэлектроны обладают кинетической
энергией и могут достичь анода и без ускоряющего электрического
поля.
Чтобы фототок исчез, надо приложить задерживающее напряжение
противоположного знака. При отрицательном напряжении на
0U
з
аноде электрическое поле тормозит фотоэлектроны, и анода могут достичь только те из них, у которых кинетическая энергия больше величины задерживающего напряжения. Зная задерживающее напряжение
тронов
, можно вычислить максимальную кинетическую энергию элек-
U
з
:
T
max
15
I
I
где
1, 6 10 Клe
электрона.
19
mV
eU T
з max
max
2
– заряд электрона;
I
н1
н2
2
, (1.25)
31
9,1 10 кгm
– масса
U
з
Рис. 1.8
На основе многочисленных экспериментов русским ученым Александром Григорьевичем Столетовым были выведены законы фотоэффекта.
1. Максимальная кинетическая энергия электронов линейно воз-
растает с частотой падающего света и не зависит от его интенсивности.
U
Для каждого вещества существует красная граница фотоэф-
2.
фекта
, т. е. наименьшая частота, при которой еще возможен фотоэф-
фект.
Число электронов, вырываемых из катода в единицу времени,
3.
прямо пропорционально интенсивности света.
Кроме того, фототок практически безынерционен и возникает сразу
же после освещения катода при условии, что частота падающего излучения больше частоты, соответствующей красной границе фотоэффекта.
Фотоэффект невозможно объяснить с точки зрения классической
теории взаимодействия света с веществом. Согласно классической
теории, при взаимодействии с электромагнитной волной электрон постепенно накапливает энергию, и должно пройти некоторое время,
чтобы электрон смог накопить энергию, достаточную для вылета из
катода. Однако из опыта известно, что фотоэлектроны появляются сразу же после освещения катода. Кроме того, существование красной
16
границы фотоэффекта также невозможно объяснить с классической
ν
ν
точки зрения.
Фотоэффект был объяснен Эйнштейном в 1905 году на основе
квантовых представлений о теории света. Эйнштейн предположил, что
свет не только испускается отдельными квантами (как предполагал
Планк), но также поглощается и распространяется отдельными квантами с энергией
чили название
фотонов.
Eh
. Кванты электромагнитного излучения полу-
Согласно Эйнштейну, каждый квант света может поглотиться
только одним электроном, поэтому количество вырванных электронов
пропорционально интенсивности света (3-й закон фотоэффекта). Безынерционность фотоэффекта объясняется мгновенной передачей энергии фотона электрону.
Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта выражает закон сохра-
нения энергии: наибольшая кинетическая энергия вылетевшего из катода электрона равна разности энергии падающего фотона
ты выхода электрона из вещества
2
mV
max
2
А
вых
h А
:
,
вых
и рабо-
h
h А
mV
вых
2
max
. (1.26)
2
Уравнение Эйнштейна объясняет и существование красной границы фотоэффекта. Работа выхода для вещества всегда отлична от 0, и
при уменьшении частоты падающего света уменьшается и кинетическая энергия фотоэлектронов. При некоторой частоте падающего све-
кинетическая энергия станет равной 0. Частота, соответствую-
та
0
щая красной границе фотоэффекта, определяется уравнением
А
Работу выхода принято выражать в
1 эВ 1, 6 1 0 Дж
вых
0
h
. (1.27)
электрон-вольтах (эВ):
19
.
Значения работы выхода для некоторых металлов приведены в
табл. 1.1.
17
Таблица 1.1.
А
E
E
Металл Калий Литий Платина Рубидий Серебро Цезий Цинк
вых
, эВ
2,2 2,3 6,3 2,1 4,7 2,0 4,0
Итак, явление фотоэффекта подтверждает гипотезу о том, что
свет – это поток частиц, которые называются
фотонами. Энергия фо-
тона определяется формулой Планка (1.20). Фотоны могут существовать только в состоянии движения со скоростью света, так как у них
нулевая масса покоя (
). Импульс фотона можно найти из из-
0m
0
вестного в релятивистской теории соотношения энергии и импульса
(
):
0m
0
2
22
mc pc pc
0
()
p
. (1.28)
,
c
Итак, из теории фотоэффекта следует, что свет – это не только волна, но и поток частиц (квантов света), а фотон – это частица, обладающая волновыми свойствами (длина волны, частота) и корпускулярными (импульс).
1.5. ЭФФЕКТ КОМПТОНА
При изучении фотоэффекта возник вопрос об импульсе фотона, который выражается формулой (1.28). Экспериментальное подтверждение существования импульса у фотона было проведено американским
физиком Артуром Комптоном в 1920 году. Импульс частиц проще всего найти при столкновении частиц, поэтому Комптон исследовал процесс столкновения фотонов с электронами. Если у фотона есть им-
, то этот импульс должен проявиться в законе сохранения им-
пульс
пульса при столкновении фотона с электроном.
Комптон поставил опыт по рассеянию рентгеновского излучения
на графите. Рентгеновское излучение – это электромагнитные волны с
энергией от 10 эВ до 1 МэВ, обладающее высокой проникающей способностью. Из курса оптики известно, что видимый свет рассеивается
(отклоняется от
первоначального направления движения) на мелких
18
частях вещества, например, на мелких капельках воды или частичках
пыли. Длина волны рентгеновского излучения меньше длины волны
видимого света, поэтому рассеяние рентгеновского излучения должно
наблюдаться на еще более мелких объектах – на атомах и отдельных
электронах.
Рис. 1.9
Схема опыта Комптона изображена на рис. 1.9. В рентгеновской
трубке (РТ) электроны ускоряются электрическим полем между катодом (К) и анодом (А) и создают поток тормозного рентгеновского излучения с длиной волны
. Рентгеновское излучение проходит через
λ
0
свинцовые диафрагмы (Д1 и Д2) и направляется на графитовый или
алюминиевый образец. Рентгеновские лучи, рассеянные под различными углами
ну Вульфа–Брэггов
, попадали на кристалл, отражались от него согласно зако-
2sindm
и регистрировались счетчиком.
Согласно классическим представлениям под действием рентгеновского излучения электроны в веществе совершают вынужденные колебания с частотой (длиной волны) вынуждающей силы, т. е. с частотой
(длиной волны) падающего рентгеновского излучения. Однако в опыте
в рассеянном излучении регистрировались электроны не только с длиной волны падающего излучения
, причем величина
λ >λ
0
зависела от угла рассеяния . Результаты
λ
λ 0,71 пм
0
, но и с длиной волны
эксперимента показаны на рис. 1.10, а–в.
Итак,
эффектом Комптона называется изменение длины волны
рассеянного рентгеновского излучения при рассеянии на свободных
или слабо связанных электронах вещества. Причем изменение длины
волны зависит от угла рассеяния излучения.
19
γ
P
γP
γ
P
γ
γP
Исходное излучение
λ 0, 71 пм
0
а б в
Рассеянное излучение
90
Рис. 1.10
Рассеянное излучение
135
Рассмотрим фотон, падающий на свободный или слабо связанный
электрон (рис. 1.11). Импульс падающего фотона обозначим
пульс рассеянного фотона –
, импульс электрона –
P
P
e
Рис. 1.11
P
.
e
P
, им-
Задачу удобно решать в той системе отсчета, где первоначально
электрон покоился, чтобы его первоначальный импульс был нулевым.
При рассеянии фотона на свободном или слабо связанном электроне
выполняются законы сохранения импульса и энергии. Закон сохранения импульса
PP P
γγe
.
Импульсы падающего фотона
P
трона отдачи
связаны между собой теоремой косинусов
e
P
, рассеянного фотона
20
и элек-
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]