Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантовая физика. Учебное пособие
.pdf
и подставим в (2.14):
Z
Z
Z
1
Ze n
4πε
r
0
2
2
n
m
e
rmr
nen
После преобразований получим выражение для радиуса
2
.
n
ты электрона:
2
4πε
2
0
rn
n
mZe
. (2.16)
2
e
Самая близкая к ядру орбита находится на уровне энергии с
поэтому соответствующий ей радиус называется
первым боровским
радиусом и определяет размеры атома
2
4πε
r
1
0
mZe
e
528 10 м
2
10
. (2.17)
Радиусы последующих орбит увеличиваются пропорционально
Полная энергия электрона складывается из его кинетической энер-
2
mV
e
T
гии
и потенциальной энергии в электростатическом поле
2
2
U
e
:
r
4
0
n
mV
ETU
e
24
2
2
e
. (2.18)
r
0
n
Кинетическая энергия электрона выражается из формулы (2.14)
2
mV
e
224πε
11
2
e
.
r
0
n
После подстановки этой формулы в (2.18) получим
22
1
E
n
Ze Ze
24 4
rr
00
nn
-й орби-
1n
2
n
,
.
31
22
Z
E
Z
Ze Ze
11
rr
24 8
00
nn
24
me
e
222
nh
8
0
. (2.19)
При
получим выражение для энергии основного состояния
1n
электрона в атоме водорода:
24
Zme
8
e
22
0
13,6 эВ
Число
Eh
1
1,2,3,...n
называется главным квантовым числом.
При переходе электрона с уровня энергии с номером
с номером
n
()nm
испускается квант света с частотой
EZme
mn e
h
11
22 32
nm h
.
24
8
0
m
на уровень
. (2.20)
Уравнение (2.20) совпадает с формулой Бальмера (2.9), если обозначить
24
me
8
e
. (2.21)
32
0
Rh
Постоянная Ридберга, вычисленная по формуле (2.21), совпадает с
15 1
экспериментально подобранной Бальмером
Если подставить в формулу (2.20) значение
3,29 10 cR
, получим частоты,
1n
.
соответствующие переходу с более высоких уровней на основной –
серию Лаймана, при подстановке
ствующие серии Бальмера, при
получим частоты, соответ-
2n
получим соответственно се-
3, 4, 5n
рии Пашена, Брэкета, Пфунда (рис. 2.8).
Теория атома Бора прекрасно соответствовала существующим экспериментальным результатом, что свидетельствует о ее справедливости, однако уже следующий простейший атом, расположенный за водородом в периодической таблице элементов атом–гелия, теория Бора
объяснить не может. Кроме того, теория Бора обладает внутренними
противоречиями:
с одной стороны, используются законы классической
32
n
5
Серия Пашена
4
3
Серия Бальмера
2
Серия Лаймана
1
Рис. 2.8
,эВE
0,54
0,85
1, 5
3, 38
13,53
механики, с другой – вводятся дискретные энергетические состояния
электрона – квантование момента импульса электрона. Также из теории Бора нельзя определить интенсивность спектральных линий. Тем
не менее теория Бора стала важным этапом в развитии атомной физики
и послужила началом квантовой механики.
33
p
3. ЭЛЕМЕНТЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
3.1. КОРПУСКУЛЯРНО-ВОЛНОВОЙ ДУАЛИЗМ
Фотоэффект, эффект Комптона, тепловое излучение – все эти явления указывают на то, что электромагнитные волны имеют корпускулярную природу. В то же время интерференция, дифракция, поляризация указывают на волновую природу электромагнитных волн. Проявление корпускулярных и волновых свойств называется
волновым
дуализмом. В 1923 году французский ученый Луи де Бройль
выдвинул гипотезу о том, что не только фотоны, но и электроны и другие частицы материи обладают корпускулярно-волновым дуализмом.
Гипотеза де Бройля основывалась только на соображениях симметрии.
Согласно этой гипотезе любая частица с импульсом
λ
волны
h
. (3.1)
λ
p
корпускулярно-
имеет длину
Вычислим длину волны де Бройля для человека массой
идущего со скоростью
hh
λ 5,5 10 м
pmV
по формуле (3.1):
2 м/сV
60 2
6,63 10
34
36
.
,
60 кгm
Это очень маленькая величина, в настоящее время ее невозможно
измерить. Волновые свойства вещества проявляются тогда, когда размеры щелей или предметов сравнимы с длиной волны. Сегодня науке
неизвестны объекты с размерами порядка
10 м
, поэтому и изме-
30
рить длину волны де Бройля для макрообъектов пока нельзя.
Найдем длину волны де Бройля для электрона, который был ускорен разностью потенциалов
. Скорость электрона вычисля-
100 BU
ется из закона сохранения энергии
34
19
9,1 10
31
5,93 10 м/с
6
,
eU
mV
2
,
2
221,910100
V
eU
m
Длина волны де Бройля для электрона
34
hh
λ 1, 23 10 м
pmV
6,63 10
9,1 10 5,93 10
31 6
10
,
эту величину можно определить экспериментально, так как ее порядок
соответствует межатомным расстояниям в кристаллах, на которых
можно наблюдать дифракцию электронов.
Экспериментальное подтверждение гипотезы де Бройля было получено в 1927 году в опытах американских физиков К. Дэвиссона и
Л. Джермера по рассеянию моноэнергетического пучка электронов на
кристалле никеля (рис. 3.1).
Рис. 3.1
Пучок электронов из электронной пушки П падал на кристалл никеля Ni, который можно было поворачивать вокруг оси, перпендикулярной плоскости рисунка. Приемник электронов Э регистрировал поток электронов и также мог вращаться вокруг этой же оси. Экспериментальные результаты показали, что рассеяние электронов происходит в широком диапазоне углов, при этом
наблюдаются максимумы и
минимумы интенсивности, совпадающие с законом Вульфа–Брэггов
2sinθλdk
35
,
если длина волны
полученная дифракционная картина подтверждала волновые свойства
электронов.
Доказательства того, что и отдельный электрон обладает волновыми свойствами, были получены в опытах российского физика
В.А. Фабриканта в 1948 году. В этих опытах через тонкую пленку металла в каждый момент времени проходил только один
ток электронов регистрировался фотопластинкой. Электроны беспорядочно попадали в разные области фотопластинки (рис. 3.2, а). Однако
при длительной экспозиции появлялась характерная дифракционная
картина (рис. 3.2, б).
λ
– это длина волны де Бройля (3.1). Таким образом,
электрон. По-
а б
Рис. 3.2
Проведем мысленный эксперимент, поставив на пути электрона
две щели (рис. 3.3). При открытой нижней щели получим дифракционную картину, изображенную на рис. 3.3, а, при открытой верхней щели
– на рис. 3.3, б, а при открытых обеих щелях – на рис. 3.3, в.
-
e
-
e
а б в
Рис. 3.3
В случае, когда открыта одна из щелей, на фотопластинке напротив
этой щели можно увидеть затемнение. Если открыты две щели, мы видим типичную для опыта Юнга дифракционную картину, т. е. получа-
36
-
e
ется, что электрон пролетел через две щели одновременно. Но элек-
x
x
x
E
трон – это неделимая частица. Возникает парадокс, который требует
введения нового математического аппарата квантовой механики и вероятностного подхода к описанию поведения микрочастиц.
3.2. СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
В классической физике поведение частицы точно описывается с
помощью импульса, координаты, энергии и т. д. Однако в квантовой
механике существует принципиальное ограничение по точности измерения указанных величин. В 1927 году Гейзенберг пришел к выводу о
том, что существуют ограничения по одновременному точному измерению двух величин. Это утверждение получило название –
шения
неопределенностей. Выделяют два наиболее важных соотно-
соотно-
шения неопределенностей:
– для координаты
и соответствующей проекции импульса
p
h
;
где
1, 05 10 Дж/с
xp
34
, (3.2)
x
2
2π
– для энергии
за промежуток времени
Et
. (3.3)
t
E
Поясним смысл соотношений неопределенностей. Соотношение
неопределенностей для координаты и проекции импульса утверждает,
что в природе не существует состояний с точно измеренными координатой и проекцией импульса. Если, например, координату частицы измерили с точностью
новременно измерить с точностью
ничения не касаются проекций импульса на оси
, то проекцию импульса на ось X можно од-
px
x
. Отметим, что эти огра-
Y
и Z.
Уравнение (3.3) показывает, что для измерения энергии с точно-
стью
E
необходим промежуток времени t
(время жизни).
Примером применения этого соотношения является «размытие» воз-
37
бужденных состояний водородоподобных систем. Время жизни атома
Eh
x
в возбужденном состоянии порядка
34
10
8
ность энергии
t
1, 05 10
E
уширение частоты спектральных линий порядка
26
1, 05 10
6,63 10
34
1, 5 8 10 Гц
7
действительно наблюдается в экспери-
8
10 ct
1, 0 5 10 Дж
. Тогда неопределен-
26
. Естественное
ν
ментальных результатах.
Рассмотрим, как соотношение неопределенностей влияет на движение макроскопического тела, например шарика массой
3
10 кг
можем измерить линейкой с точностью
неопределенность проекции скорости шарика
, движущегося в направлении оси X. Координату шарика мы
28
3
.
1 мм 10 мx
V
34
33
0,53 10 м
1, 05 10
210 10
V
x
2
mx
на ось X:
1 гm
. Найдем
Очевидно, что такая погрешность в скорости не оказывает никакого влияния на движение шарика, и для макрообъектов можно говорить
о
траектории движении шарика, т. е. в каждый момент времени
положение макрообъекта точно определено в пространстве.
Совсем иначе обстоит дело с движением микрочастицы, например,
электрона в атоме. При самой грубой оценке, неопределенность скорости движения электрона по орбите
и для круговой орбиты радиуса
,VV
6
2,3 10 м/сVV
. Найдем неопределенность координаты
сравнима с самой скоростью
V
10
0,5 10 мr
составляет
r
:
34
r
mV
2
1, 05 10
29,110 2,310
31 6
10
0,25 10 м
.
Неопределенность координаты электрона сравнима с размерами
атома, и понятие траектории в этом случае вообще теряет физический
смысл.
38
Пример. Прохождение электрона через щель.
x
x
x
x
Рассмотрим поток электронов, проходящий через узкую щель шириной
(рис. 3.4). Если размеры щели соизмеримы с дебройлевской
b
длиной волны электрона, то на экране, расположенном за щелью,
должна наблюдаться дифракционная картина.
X
p
b
Рис. 3.4
p
x
Ограничимся рассмотрением только главного максимума дифракционной картины.
X
До щели электроны двигались перпендикулярно оси
и
0
p
ната
в этом случае совершенно не определена, т. е. электрон может
находиться в любом месте на оси
. Согласно соотношению неопределенностей коорди-
0
p
X
.
, поэтому
В момент прохождения электрона через щель положение электрона
ограничивается размером щели
. Поэтому
b
. Вследствие ди-
b
фракции электрона наиболее вероятная область его движения в пределах угла
, определяемого границами главного максимума, располо-
2θ
женного между двумя первыми минимумами (для первого минимума
разность хода от краев щели должна равняться длине волны)
sin θλb
.
Тогда неопределенность координаты
λ
xb
. (3.4)
sin θ
Неопределенность составляющей проекции импульса на ось
X
по-
нятна из рис. 3.4:
39
x
x
x
sin sin sinθ
pp
x
h
λλ
2
. (3.5)
Перемножим соотношения (3.5) и (3.4)
λ 2
ph
x
sin θλ
sin 2
,
что согласуется по порядку величины с соотношением (3.2), и при
определении координаты с некоторой точностью мы сразу получили
неопределенность значений импульса частицы.
3.3. ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ
И ЕЕ СТАТИСТИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
В разделе 3.1 при рассмотрении дифракции электрона на двух щелях было отмечено, что положение максимумов и минимумов интенсивности определяется вероятностью попадания электрона в ту или
иную точку экрана. Вероятностный подход к описанию поведения
микрочастиц – отличительная особенность квантовой механики.
Математический аппарат квантовой механики основан на введении
пси-функции (
волновой функции)
(, ,,)
, которая является ком-
yzt
плексной величиной и формально обладает волновыми свойствами. Физический смысл имеет не сама волновая функция, а квадрат ее модуля
который называется
2
плотностью вероятности и может эксперимен-
dW
*
, (3.6)
v
d
тально регистрироваться. Плотность вероятности показывает вероят-
t
ность обнаружения микрочастицы в момент времени
точки с координатами
новным
ствах
носителем информации о корпускулярных и волновых свой-
микрочастицы.
(, ,)
. Итак, волновая функция является ос-
yz
Вероятность обнаружить частицу в момент времени
объеме
v
Wd
v
40
2
v
. (3.7)
в окрестностях
t
в некотором
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]