Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантовая физика. Учебное пособие
.pdf
γ
где
Pc
γ
P
γ
PmV
e
PP PP P
νλh
h
0
νλhh
c
– импульс падающего фотона;
0
– импульс рассеянного фотона;
mc
0
1
2
e
2
2
V
2
c
22
2cos
γγ γ
– импульс электрона отдачи.
Тогда теорема косинусов (1.28) перепишется в виде
, (1.29)
22
hhh
2
() cos
mV
λλλλ
2
2
. (1.30)
Закон сохранения энергии с учетом того, что первоначально электрон покоился, имеет вид
где
εν
γ 0
εν
γ
Emc
e
Emc
00
hc hc
λλ
hc
h
h
– энергия падающего фотона;
λ
0
hc
– энергия рассеянного фотона;
λ
2
– энергия электрона отдачи;
2
– энергия покоя электрона.
22
mc mc
0
, (1.31)
Решая совместно выражения (1.30) и (1.31), получим изменение
λ
длины волны при комптоновском рассеянии
λλ λ (1 cos ) λ (1 c os )
h
0
mc
0
:
C
, (1.32)
21
34 8
E
где
C
m
0
6,63 10 3 10
hc
λ 2, 43 пм
31
9,1 10
– комптоновская длина
волны.
Из выражения (1.32) следует, что при нулевом угле рассеяния
0, cos 1, λ 0
изменения длины волны не происходит. При угле рассеяния
90 , cos 0, λλ 2, 43 пм
C
.
Максимальное изменение длины волны происходит при рассеянии
под углом
C
.
180 , cos 1, λ 2λ 4, 86 пм
Оценим минимальную энергию налетающего фотона, при которой
становится возможен эффект Комптона. Фотон должен передать электрону часть своей энергии, превышающую энергию ионизации атома
19 19
13,6 эВ 13,6 1,6 10 Дж 21,76 10 Дж
E
i
ε 21,76 10 Дж
γ min
λ
hc
max
19
,
,
откуда максимальная длина волны фотона
34 8
λ 910 м
max
hc
ε
γ min
6,63 10 3 10
21,76 10
-19
-8
.
Из уравнения (1.32) можно найти энергию рассеянного электрона
e
hc hc
λλ
а кинетическая энергия электрона отдачи
2
mc
, (1.33)
0
T
– это разность энергий
падающего и рассеянного фотонов
hc hc
TE mc
e
2
0
λλ
22
. (1.34)
2. ТЕОРИЯ АТОМА ВОДОРОДА ПО БОРУ
2.1. МОДЕЛИ АТОМА
Строение вещества привлекало внимание ученых еще с античных
времен. Первое представление об атомах как неделимых частицах было предложено греческим ученым Демокритом (460–370 до н.э.).
«Атомос» в переводе с греческого означает «неделимое». Согласно Демокриту, атомы отличаются друг от друга формой и размерами и, соединяясь между собой, образуют вещество.
подвижных и шарообразных Демокрит также объяснял духовные явления. Заслуга Демокрита состоит в том, что он объяснил, из чего происходит вещество, но почему это происходит, понятно не было.
К началу ХХ века в физике накопился ряд экспериментальных фактов:
– в 1833 году при исследовании электролиза Фарадеем было
ружено упорядоченное движение заряженных частиц и определен ми-
нимальный электрический заряд иона
дований Фарадея можно было сделать вывод о существовании внутри
атома электрических зарядов;
– в 1869 году русским ученым Дмитрием Ивановичем Менделеевым была разработана периодическая система элементов, в основе которой лежало представление о единой природе атома;
– спектроскопические исследования показали, что спектр излучения атома является линейчатым (т.
е. излучение или поглощение света
в видимой части спектра происходит только при некоторых, строго
определенных частотах). Математическая формула для этих частот
была предложена Бальмером в 1885 году;
– в 1896 голу Беккерелем было обнаружено, что атомы некоторых
веществ испускают невидимые лучи, обладающие высокой проникающей способностью. Это явление было названо
– в 1897 году Томсоном было измерен удельный заряд электрона –
отношение его электрического заряда к массе.
23
Наличием атомов наиболее
19
1, 6 10 Кл
. На основе иссле-
радиоактивностью;
обна-
Из накопленных экспериментальных фактов можно было сделать
вывод о том, что атомы вещества имеют сложное внутреннее строение.
Атом – электронейтрален, носители отрицательного заряда – электроны, обладают незначительной массой, а основная масса атома определяется его положительным зарядом. Перед наукой встал вопрос о
внутреннем строении атома.
Первая попытка создания модели ато-
ма
была предпринята в 1903 году Томсоном. Он предположил, что атом – это положительно заряженный шарик размерами
10
около
м, внутри которого находятся
10
отрицательно заряженные частицы – электроны (рис. 2.1).
В 1909–1911 годах Резерфордом был
проведен ряд опытов по исследованию
внутренней структуры атома. В опытах
Рис. 2.1
Резерфорда атомы тяжелых элементов
(золото, серебро, медь) бомбардировались
потоком
масса в 7300 раз больше массы электрона
на положительно
-частицы со скоростью
α
-частиц (α-частица – это ионизированный атом гелия, ее
( 7300 )
mm
). В опытах Резерфорда использовались
2qe
α
7
10 м/cV
. Рассеянные -частицы попада-
, она заряже-
e
ли на экран, покрытый слоем сульфида цинка, способного светиться
при попадании на него быстрой
шек на экране можно было судить об углах отклонения
В опытах Резерфорда было обнаружено, что большинство
-частицы. По расположению вспы-
-частиц.
-частиц
проходят через слой металла практически без отклонения. Однако небольшая часть частиц отклоняется на углы, превышающие
В очень редких случаях появлялись
. Этот результат был неожиданным даже для самого Резерфорда и
180
-частицы, отклоненные на угол
30
находился в противоречии с моделью атома Томсона. Согласно модели
атома Томсона, положительный заряд распределен по всему объему
атома, и при таком распределении не может создавать электрическое
поле, отклоняющее частицы на большой угол. Отклонение на большие
углы возможно только в том случае,
если положительный заряд сосре-
доточен в малом объеме (рис. 2.2).
.
24
Z
Z
+
Модель Томсона Модель Резерфорда
Рис. 2.2
Таким образом, согласно опытам Резерфорда в центре атома должно
14 15
находиться положительно заряженное ядро размерами
10 ...10
м,
ядро занимает только малую часть объема атома, но в нем сосредоточено
99,95 %
его массы. Заряд ядра должен равняться суммарному
заряду электронов. Эти представления легли в основу планетарной модели атома Резерфорда (рис. 2.3). Электроны вращаются вокруг ядра
по орбитам, подобно планетам, под действием кулоновских сил.
Пусть атом некоторого вещества содержит
ряд ядра в силу электронейтральности атома будет
электрон, вращающийся вокруг ядра по круговой орбите радиусом
электронов, тогда за-
. Рассмотрим
e
r
(рис. 2.4).
r
e
-
+
Ze
Рис. 2.3 Рис. 2.4
На электрон действует сила Кулона
Ze e Ze
Fk k
К
22
rr
25
2
. (2.1)
С другой стороны, так как электрон движется по окружности, на
него действует центростремительная сила
2
mV
Fr
e
ц
, (2.2)
где
– масса электрона; V – скорость электрона. Эти силы равны,
m
e
поэтому
2
mV
e
. (2.3)
r
r – радиус орбиты и
2
Ze
k
2
r
Уравнение (2.3) содержит две переменных:
скорость движения электрона
, причем радиус орбиты может при-
V
нимать любые значения, т. е. меняться непрерывно. Соответственно
скорость, а значит, и энергия электрона, тоже может принимать любые
значения, т. е. спектр атома должен быть сплошным. Этот вывод противоречит экспериментальным данным о линейчатых спектрах атомов.
10
Пусть радиус орбиты электрона
6
10 м/сV
, тогда нормальное ускорение электрона
212
V
a
n
r
10
10
= 10 м/с
10
10 мr
22 2
, скорость электрона
. (2.4)
Согласно классической электродинамике, ускоренно движущийся
электрон излучает электромагнитную энергию, при этом энергия самого электрона уменьшается, и в конце концов он упадет на ядро, чего в
атомах не происходит.
Таким образом, модель атома Резерфорда объясняла отклонение
-частиц, но противоречила законам классической электродинамики и
экспериментальным результатам по линейчатым спектрам атомов.
2.2. СПЕКТР АТОМА ВОДОРОДА
Атом водорода – это простейший атом, содержащий один электрон.
Ядро атома водорода – протон, положительно заряженная частица, заряд которой равен заряду электрона по модулю, а его масса превышает
массу электрона в 1836 раз. Линейчатый спектр атома водорода был
хорошо изучен экспериментально, группа линий в видимой части
26
спектра была названа серией Бальмера, и для нее Бальмером была по-
добрана формула
где
– частота излучения атома;
Ридберга;
3,4,5,...n
при различных значениях
22
2Rn
, (2.5)
15 1
3,29 10 cR
– постоянная
– целое число. Из формулы (2.5) следует, что
n
мы будем получать различные частоты
11
(линии спектра).
Аналогичная формула была найдена для ультрафиолетовой части
спектра (
серия Лаймана)
11
22
1Rn
,
2,3,4,...n
. (2.6)
В инфракрасной области были обнаружены:
серия Пашена
22
3Rn
,
4,5,6,...n
. (2.7)
11
серия Брекета
11
22
4Rn
,
5,6,7,...n
. (2.8)
серия Пфунда
22
5Rn
,
6,7,8,...n
. (2.9)
11
Стационарные орбиты в атоме водорода и образование спектральных линий показаны на рис. 2.5.
Все приведенные выше линии описываются
Бальмера:
лой
11
R
22
mn
,
1,2,3,...m
,
27
обобщенной форму-
1, 2 , 3, .. .nm m m
. (2.10)
Рис. 2.5
Необходимо отметить, что объяснения обобщенной формулы
Бальмера в классической физике не существует.
2.3. ПОСТУЛАТЫ БОРА
Следующий шаг в развитии теории строения атома был сделан
Нильсом Бором в 1913 году. Поскольку классическая физика не могла
объяснить существующие экспериментальные результаты, Бором были
предложены два постулата, противоречащих законам классической
электродинамики, но объясняющих экспериментальные результаты.
Первый постулат Бора: атомная система может находиться толь-
ко в стационарных состояниях, в которых атом не излучает. Каждому
стационарному состоянию
соответствует свое значение энергии
.
E
n
n
Согласно классическим представлениям электрон может двигаться
с любой скоростью, поэтому энергия электрона может иметь любые
значения. В рамках классической электродинамики при движении за-
28
ряженной частицы с ускорением она должна излучать энергию в виде
ν
ν
электромагнитной волны. Первый постулат Бора, согласно которому
атом в стационарном состоянии не излучает энергию, противоречит
законам классической электродинамики.
Второй постулат Бора: при переходе атома из состояния с энер-
гией
в состояние с энергией
E
n
излучается или поглощается
E
m
квант, энергия которого равна разности энергий стационарных состояний
где
6,63 10 Дж/сh
34
ν=
hE E
nm
– постоянная Планка; ν– частота излучения.
, (2.11)
Излучение света происходит при переходе электрона с более удаленной от ядра орбиты (с большей энергией) на менее удаленную от
ядра орбиту (рис. 2.6). Перейти с менее удаленной от ядра орбиты на
более удаленную от ядра орбиту электрон может только в том случае,
если он поглотит квант с энергией
νh
Рис. 2.6 Рис. 2.7
+
-
e
n
m
(рис. 2.7).
h
h
e
-
+
n
m
Таким образом, классическая модель атома Резерфорда была дополнена теорией о квантовании орбит, а про постулаты Бора очень
точно сказал американский физик Л. Купер: «Конечно, очень самонадеянно было выдвигать постулаты, противоречащие электродинамике
Максвелла и механике Ньютона, но Бор был молод».
29
2.4. ТЕОРИЯ АТОМА ВОДОРОДА ПО БОРУ
Постулаты Бора позволяют рассчитать спектр атома водорода и водородоподобных систем (состоящих из ядра и одного электрона
).
Li
He
При расчете спектра водородоподобных систем Бор дополнил два
своих постулата теорией о квантовании момента импульса электрона.
Он предположил, что на длине орбиты должно укладываться целое
число длин волн электрона:
,
,
n
h
,
mV
e
h
, (2.12)
2π
где
2πλ
rn
rn
2π
n
mVr n n
en
h
. Таким обоазом, электрон в атоме
1, 054 10 Дж/с
34
2π
движется по орбитам, для которых момент импульса электро-
L может принимать дискретные значения, кратные постоян-
на
ной
Планка
, 1,2,3,...Ln n
(2.13)
Найдем возможные радиусы орбит электрона в водородоподобной
системе. Электрон движется по круговым орбитам под действием Кулоновского притяжения к ядру атома, поэтому для него выполняется
второй закон Ньютона
2
mV
e
. (2.14)
r
n
2
1
4πε
Ze
2
r
0
n
Выразим скорость электрона из (2.12) как
n
V
(2.15)
mr
en
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]