Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантовая физика. Учебное пособие
.pdf
19 2
Z
E
4 3,14 8,85 10 9,1 10 (0,728 10 )
(1, 6 10 )
12 31 6 2
4,77 10 м 47, 7 нм.
10
3. Момент импульса электрона можно найти из правила квантова-
ния электронных орбит
3 3 1, 054 10 3,162 10 кг м / сL
.
34 34 2
4. Угловая скорость вращения электрона по орбите
0,728 10
V
ω 1,53 10 рад/с
r
4,77 10
3
6
10
15
.
5. Эквивалентный ток – отношение заряда электрона к периоду его
обращения
I
T
ee e
2π
T
ω 1,53 10 1,6 10
2π 6, 28
ω
15 19
5
3, 9 10 А=0,039 мА
.
6. Работа по удалению электрона за пределы атома равна полной
энергии электрона, находящегося на третьей орбите (2.19)
AE
3
24 4
11
me me
222 222
88
nh nh
00
. (5.9)
Энергия электрона, находящегося на первом уровне, потенциал
ионизации (2.20)
4
Eh
me
1
8
22
Тогда энергию электрона, находящегося на уровне с номером
0
13,6 эВ
.
n
можно выразить через потенциал ионизации (энергию основного состояния)
,
1
E
n
91
.
1
2
n
Для третьего уровня
1
EE
31
9
1, 5 1 эВ
.
Работа по удалению электрона с третьего уровня
Ответ:
1)
3)
5)
1, 51 эВAE
3
0,728 10 м/сV
6
3,162 10 кг м / сL
0,039 мАI
; 2)
34 2
; 6)
1, 5 1 эВA
3
47,7 нмr
; 4)
.
;
ω 1,53 10 рад/с
15
.
;
5.6. ФОРМУЛА ДЕ БРОЙЛЯ
Задача
1) кинетическая энергия электрона
гия электрона
Дано:
1
2
1)
λ ?
2)
λ ?
17. Определить длину волны де Бройля для электрона, если:
1, 5 кэВT
1
0,7 МэВT
2
.
; 2) кинетическая энер-
Чтобы найти длину волны де Бройля, необхо-
1, 5 кэВT
0,7 МэВT
1
2
,
;
димо знать импульс частицы. Импульс выражается через кинетическую энергию в зависимости от того, с какой скоростью движется
частица.
Если частица движется с маленькой скоростью, т. е. ее кинетическая энергия много меньше ее энергии покоя, то кинетическая энергия
и импульс связаны между собой классической формулой
2
p
Tm
,
2
2pmT . (5.10)
Если частица движется со скоростью, сравнимой со скоростью света, т. е. ее кинетическая энергия сравнима с энергии покоя, то кинетическая энергия и импульс связаны между собой релятивистской формулой
92
1
p
p
TT mc
, (5.11)
(2 )
c
2
0
где
– масса покоя частицы.
m
0
Для электрона энергия покоя
2318 14
00
9,1 10 3 10 8,19 10 Дж 0, 51 МэВEmc
.
В первом случае кинетическая энергия электрона много меньше
его энергии покоя (
1, 5 кэВ 0, 51 МэВ
), поэтому для расчета им-
пульса надо применять классическую формулу (5.10)
2pmT
11
hh
1
p
1
34
2 9,1 10 1,5 10 1,6 10
6,63 10
31 3 19
,
2
mT
1
11
3,17 10 м 31, 7 пм.
Во втором случае кинетическая энергия электрона сравнима с
энергией покоя, поэтому для расчета импульса надо применять релятивистскую формулу (5.11)
1
TT mc
,
2220
c
hh hc
2
0,7 10 1, 6 10 0,7 10 1, 6 10 2 9,1 10 (3 10 )
6 19 6 19 31 8 2
1
p
2
TT mc
22 0
c
6,63 10 3 10
2
2
34 8
2
2
2
TT mc
22 0
2
12
Ответ:
1)
λ 31,7 пм
1
1,13 10 м 1,13 пм .
; 2),
λ 1,13 пм
1
93
.
Задача 18. Определить длину волны де Бройля для электрона,
x
находящегося в основном состоянии в атоме водорода.
Дано:
1n
λ ?
В основном состоянии электрон находится на первой орбите с главным квантовым числом
.
1n
Кинетическая энергия электрона в атоме водорода в основном состоянии выражается формулой (2.21)
24
Zme
e
13,6 эВ
0
T
8
22
h
.
Эта энергия много меньше энергии покоя электрона (
0,51 МэВ
), поэтому импульс электрона связан с его энергией реля-
тивистской формулой (5.10)
2pmT .
Длина волны де Бройля
hh
p
2
34
29,110 13,61,610
6,63 10
31 19
mT
9
0,33 10 м 0, 33 нм.
E
0
Ответ:
0,33 нм .
5.7. СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
Задача
трубке разностью потенциалов
19. Электронный пучок ускоряется в электронно-лучевой
. Неопределенность скорости
1 кВU
составляет 1% от ее числового значения. Найти неопределенность координаты электрона.
Дано:
1 кВU
0,01VV
?
По закону сохранения энергии кинетическая энергия
электрона
,
1, 6 10 Дж 1 эВTeU
19
много меньше энергии покоя электрона..
94
Поэтому, применяя классическую формулу
p
p
рость электрона
2T
Vm
и его импульс
2
mV
T
, найдем ско-
2
mV mT .
2
По условию задачи неопределенность скорости составляет 1% от ее
числового значения. Поскольку мы имеем дело с классическим случаем, в котором массу считают постоянной, то тогда неопределенность
импульса также составляет 1% от его числового значения
0,01 0,01 2
pmT .
Тогда из соотношения неопределенности можно найти неопределенность координаты
xp
0,02 2 9,1 10 1,6 10
Ответ:
1, 0 5 10
9,75 нмx
,
x
2
34
31 19
.
x
2
p
0,02 2
9,75 10 м 9,75 нм
mT
9
.
Задача 20. Электрон находится в атоме водорода на первой Боров-
ской орбите. Неопределенность скорости составляет 10 % от ее числового значения. Найти неопределенность координаты электрона. Применимо ли в данном случае понятие траектории для электрона?
Дано:
0,1VV
?x
Для электрона в атоме водорода выполняется условие квантования электронных орбит (2.12)
n
95
.
mVr n
Для первой орбиты (
зом:
) это условие выглядит следующим обра-
1n
mVr
,
1
откуда можно найти скорость электрона на первой орбите
Vmr
1
и по условию задачи неопределенность скорости
0,1 0,1VV
mr
.
1
Тогда из соотношения неопределенности можно найти неопределенность координаты
xp
xr
20,2
p
0, 2
m
mr
r
1
5 5 52,8 10 264 10 м 264 пм
1
1
,
x
2
12 12
Понятие траектории в данном случае неприменимо, поскольку неопределенность координаты в пять раз превышает значение первого
боровского радиуса.
Ответ:
264 пмx
. Понятие траектории применять нельзя.
.
Задача 21. С помощью соотношения неопределенностей оценить
размытость энергетических уровней в атоме водорода, если: 1) электрон находится в основном состоянии; 2) в возбужденном состоянии с
8
временем жизни
Дано:
1)
2)
1)
2)
,
1n
,
1n
10 ct
;
?E
?E
10 ct
8
.
.
Соотношение неопределенностей, связывающее неопределенности энергии с неопределенностью времени имеет вид (3.3)
.
Et
96
В основном состоянии электрон может находиться бесконечно дол-
A
A
го, поэтому для него
, а неопределенность энергии
t
0E
.
t
Соответственно для возбужденного состояния
34
10
8
1, 0 5 1 0 Дж 65,6 нэВ
26
.
1, 0 5 1 0
E
t
Ответ: 1)
0E
; 2)
65,6 нэВE
.
5.8. ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ И ЕЕ СТАТИСТИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
Задача
ной потенциальной яме шириной
ψ sin
A
циент
Дано:
ψ sin
22. Для частицы, находящейся в одномерной прямоуголь-
, волновая функция имеет вид
π
nx
. С помощью условия нормировки определить коэффи-
.
Поскольку движение частицы ограничено стен-
π
nx
A
?A
222 22
ψ sin sin
00 0
12π 2π
2
222
000
ками потенциальной ямы, условие нормировки
(3.7) примет вид
2
ψ 1d
v
0
ππ
nx nx
dA dxA dx
v
1cos cos
nx A A nx
dx dx dx
22
.
22 2
AA nxA
|sin| .
x
222π 2
00
2π
n
97
Итак, условие нормировки имеет вид
x
x
A
откуда множитель
2
,
=1
2
2
.
=A
Ответ:
2
.
=A
Задача 23. Для частицы, находящейся в одномерной прямоуголь-
ной потенциальной яме шириной
2 π
ψ sin
Дано:
ψ sin
?x
nx
2 π
. Найти среднее значение координаты частицыx.
nx
Среднее значение квантово-механической
величины
, волновая функция имеет вид
r вычисляется по формуле (3.8)
2
ψrrd
v
.
С учетом условия задачи среднее значение координаты
2
xdxx dx x dx
ψ sin sin
00 0
xnx nx
22π 11 2π
1cos cos
2
000
2 π 2 π
2
xnx
11 2π
2
dx xdx x dx
|cos .
0
0
2
nx nx
dx
2
(5.12)
Второй интеграл в выражении (5.12) проинтегрируем по частям.
Обозначим
, u x du dx
98
,
2π 2π
nx nx
cos , sin
dv dx v
По формуле интегрирования по частям
2π
.
n
udv uv vdu x dx
00 0
0cos| (cos2π cos 0) 0.
|sin|sin
00
22
2π 2π
nn
nn
2π 2π
2π
nx
0
nx nx
2π 2π
n
Подставляя в (5.12), получим
xxdx
2
ψ |
0
22
x
11
222
0
.
Таким образом, средняя координата частицы в потенциальной
яме – это середина ямы.
Ответ:
x
.
2
5.9. ЧАСТИЦА В ОДНОМЕРНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ
С БЕСКОНЕЧНО ВЫСОКИМИ СТЕНКАМИ
Задача
циальной яме шириной
24. Частица находится в одномерной прямоугольной потен-
с бесконечно высокими стенками на третьем
энергетическом уровне. Найти вероятность обнаружения частицы
левой трети потенциальной ямы.
Дано:
,
3n
?W
Вероятность обнаружения частицы в некотором объеме определяется формулой (3.6). Применяя условия
задачи, получим
W
в
33
2 π 2 π
2
W d dx dx
V
v
00
sin sin
2
nx nx
99
2
33
23π 21 3π
sin 1 cos
00
xx
2
dx dx
2
33
13π 13π
Ответ:
dx dx x
00
13π 11 1
33π 333π 3
W
cos | sin |
sin sin 0 sin π sin0 .
1
.
xx
33
3π
00
3
Задача 25. Частица находится в одномерной прямоугольной потен-
циальной яме шириной
ношение разности соседних энергетических уровней
с бесконечно высокими стенками. Найти от-
к энергии
E
1,nn
частицы в следующих случаях: 1) частица находится в яме на третьем
энергетическом уровне
энергетическом уровне
но высоком энергетическом уровне
Дано:
,
1)
2)
3)
n
E
nn
E
,
3n
,
7n
1,
n
Разность энергий между соседними уровнями определяется формулой (3.26)
?
; 2) частица находится в яме на седьмом
3n
; 3) частица находится в яме на бесконеч-
7n
.
n
22
π
EEE n
1, 1
nn n n
(2 1)
2
2
m
.
Энергия частицы на уровне с номером n определяется формулой
(3.23)
22
π
2
En
n
100
:
2
2
m
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]