Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Квантовая физика. Учебное пособие
.pdf
Выполняется
x
x
условие нормировки: вероятность обнаружения мик-
рочастицы во всем пространстве равна 1 (частица где-то находится)
2
1d
v
. (3.8)
Также выполняется принцип суперпозиции: если для некоторой частицы возможны состояния с различными волновыми функциями
, ,...,
12
, то для нее также возможно состояние, описываемое
N
линейной комбинацией волновых функций
N
1
iC
ii
.
С помощью волновой функции можно вычислять различные величины, например, чтобы найти среднее расстояние от ядра атома до
электрона, нужно вычислить интеграл
rrd
2
v
.
3.4. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА
Математический аппарат квантовой механики должен содержать
основное уравнение, которому бы подчинялась волновая функция
(, ,,)
аналогично тому, как законы Ньютона описывают движе-
yzt
ние в классической механике или уравнения Максвелла в электродинамике. Для нерелятивистской квантовой механики это уравнение было сформулировано Шредингером в 1926 году и носит его имя:
2
m
– масса частицы:
где
222
(, ,,) (, ,,) (, ,,)
yzt xyzt xyzt
222
xyz
2
mt
Uxyzt i
(, ,,)
41
, (3.9)
– оператор Лапласа;
(, ,,)Uxyzt
x
x
E
x
– потенциальная энергия частицы в силовом поле;
– мнимая единица.
1i
Основная задача квантовой механики – нахождение волновой
функции, удовлетворяющей уравнению Шредингера для конкретной
задачи.
Уравнение Шредингера справедливо для любой частицы, движущейся со скоростью, много меньшей скорости света
Vc
, кроме того,
оно накладывает дополнительные условия на волновую функцию
(, ,,)
– она должна быть конечна, однозначна и непрерывна, а
yzt
также, ее производные
(, ,,) (, ,,) (, ,,) (, ,,)
yzt xyzt xyzt xyzt
,,,
xyz t
также должны быть непрерывны, а функция
2
*
должна быть
интегрируемой.
Решения уравнения Шредингера, удовлетворяющие перечисленным выше условиям, оказываются возможными только при некоторых
E
значениях энергии
. Таким образом, возникает квантование – ча-
стица может иметь не какие угодно значения энергии, а только те, которые удовлетворяют уравнению Шредингера, их называют
значениями энергии. Спектр собственных значений энергии
ными
собствен-
может быть непрерывным (для свободной частицы) или дискретным
(электрон в атоме). Волновые функции, удовлетворяющие уравнению
Шредингера при собственных значениях энергии, называются
ственными
Особую роль в квантовой механике играют
, когда наблюдаемые физические величины не меняются с тече-
яния
волновыми функциями.
стационарные состо-
соб-
нием времени. В стационарных состояниях волновую функцию можно
записать в виде
ω
it
где
, а функция
(, ,,) ψ(, , )
xyzt xyze
ψ(, ,)
не зависит от времени.
yz
, (3.10)
В этом случае плотность вероятности, которая несет основной физический смысл, не зависит от времени
42
2
x
E
**ωω *
ψ(, ,)ψ (, ,) ψ(, ,)ψ (, ,)
yz xyze e xyz xyz
itit
Подставим (3.10) в уравнение Шредингера (3.9):
ω
it
ψ(, ,)
xyze
,
.
ωψ(, ,)
ixyze
ω
it
,
t
и учтем, что
2
2
mt
:
ωω ω
it it it
ψψ ( ω)
eUe iie
ψ
2
В общепринятом виде
ψψψ
2
m
UE
уравнение Шредингера для стационарных
.
состояний имеет вид
2
ψψ0
EU
2
m
. (3.11)
В уравнении (3.11) потенциальная энергия зависит только от координат частицы
(, ,)Uxyz
.
3.5. ДВИЖЕНИЕ СВОБОДНОЙ ЧАСТИЦЫ
Свободная
частица – это частица, находящаяся в отсутствие
внешних полей, т. е. на нее не действуют силы и она движется равномерно и прямолинейно либо покоится. В этом случае потенциальная
энергия частицы
(, ,) 0Uxyz
и уравнение Шредингера примет вид
2
ψψ0
. (3.12)
2Em
Для одномерного случая решением дифференциального уравнения
(3.12) является функция
43
ikx
A
A
A
ψ
e
, (3.13)
где
const,A
определяемая из условия нормировки;
k
2π
связана с
λ
λ
длиной волны де Бройля
.
Подставим (3.13) в (3.12) с учетом того, что в одномерном случае
оператор Лапласа – это вторая производная по координате:
22
ψ ()
ddAe d
ψ () () ψ
22
dx dx
22 22
22 2
mm m
EkE E
ikx
ikx ikx
eik Ae ik k
22
dx
2
() 0
k
,
,
откуда можно найти собственные значения энергии свободной частицы
22
2π
2
22 2
kp
E
2222
mmmm
λλ
h
()
. (3.14)
При расчете в (3.14) была использована формула де Бройля (3.1).
Мы видим, что собственные значения энергии для свободной частицы – это знакомая нам из курса классической механики кинетическая энергия, которая может принимать любые значения в зависимости
от скорости движения частицы. Таким образом,
энергетический
спектр свободной частицы является непрерывным.
Волновая функция (3.13) – это только координатная часть волновой
функции, в общем случае зависящая от времени волновая функция
имеет вид
ωω(ω )
it ikx it i tkx
(,) ψ()
xt xe Ae e Ae
. (3.15)
Найдем плотность вероятности обнаружения свободной частицы в
пространстве. Для этого необходимо вычислить квадрат модуля волновой функции (3.15):
()()2
itkx itkx
*
eAe A
. (3.16)
Таким образом, вероятность обнаружения свободной частицы в
пространстве не зависит от ее положения и одинакова во всех точках.
44
3.6. ЧАСТИЦА В ОДНОМЕРНОЙ
x
ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЕ
С БЕСКОНЕЧНО ВЫСОКИМИ СТЕНКАМИ
Рассмотрим одномерную прямоугольную потенциальную яму с
бесконечно высокими стенками (рис. 3.5). Ширина потенциальной
ямы
. Начало отсчета потенциальной энергии выберем на дне потен-
циальной ямы.
U
U
0U
0
Рис. 3.5
Зависимость потенциальной энергии от координаты имеет вид
, 0,
x
() 0, 0 ,
Ux x
, .
x
(3.17)
Уравнение Шредингера для рассматриваемой потенциальной ямы
имеет вид
2
ψψ0
,
2Em
2
ψ
d
dx
2
ψ 0
k
2
, (3.18)
где
2mE
2
k
. (3.19)
2
45
Решением уравнения (3.18) является функция
x
A
Константы
ψ() sin cos
AkxB kx
и B ищутся из граничных условий. Поскольку за
. (3.20)
пределами потенциальной ямы частица находиться не может, а волновая функция должна быть непрерывной, следовательно, на границах
потенциальной ямы волновая функция должна обращаться в 0:
ψ(0)ψ()0 xx
. (3.21)
Применим граничное условие (3.21) к волновой функции (3.20):
ψ(0) sin 0 cos0 0AB B
.
Аналогично для второго граничного условия
ψ() sin 0 0Ak
, где
,
1,2,3,...n
sin 0k
k
πn
,
,
πkn
. (3.22)
Подставим (3.22) в (3.19) и выразим энергию частицы:
2
π
n
22 22
k
En
n
22
mm
2
π
2
,
2
2
m
1,2,3,...n
(3.23)
Энергия частицы в потенциальной яме зависит от числа n и имеет
дискретные значения, т. е. квантуется.
Дискретные значения энергии
n
число
– главным квантовым числом. Индекс n у энергии указывает
называются уровнями энергии, а
E
n
на зависимость энергии от номера энергетического уровня. Так,
22
π
например, энергия первого уровня
22
π
4
2
2Em
2
и т. д.
46
1
, энергия второго уровня
2
2Em
Таким образом, используя граничные условия, мы пришли к сле-
x
A
x
х
х
x
дующему виду волновой функции:
π
ψ() sin
n
Ax
. (3.24)
Константа
в уравнении (3.24) определяется из условия норми-
ровки
2
ψ() 1
dx
0
22
A
0
22 2
A
00
nn
sin 1 cos
sin 1
dx A x dx
,
n
dx
,
12
2
Откуда
11 2 2 1
22
AA
222 2
2
A
.
n
nn
sin sin 0 1.
Итак, волновая функция частицы в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками имеет вид
2
n
где индекс
n
мером уровня
ψ () sin
n
указывает, что вид волновой функции определяется но-
n
. На рис. 3.6 показаны графики волновой функции и
, (3.25)
x
квадрата ее модуля (плотность вероятности) для первых трех уровней
энергии. Из рисунка видно, что для каждого уровня энергии в потенциальной яме существуют области, где вероятность обнаружить частицу максимальна, а также области, где частица не может находиться.
Так, например, на втором уровне
энергии частица не может находиться
посередине потенциальной ямы, поскольку вероятность ее обнаружения в этой точке равна 0. Если частица находится на первом уровне
47
энергии, то, скорее всего, ее можно обнаружить в середине потенци-
En
альной ямы, поскольку плотность вероятности в этой точке максимальна.
Рис. 3.6
Найдем разность энергий соседних уровней:
22 2 222 22
π (1) ππ
nn
EE E n
nn n
1
222
222
mmm
(2 1)
. (3.26)
Отношение разности энергий между соседними уровнями к энер-
гии одного из них обратно пропорционально номеру уровня
E
1
n
.
n
Чем больше номер уровня, тем ближе друг к другу располагаются
уровни энергии.
Пример 1. Свободный электрон в металле.
Для свободного электрона в металле размер потенциальной ямы –
2
это размер образца, пусть он составляет
10 м
. Вычислим раз-
ность энергий между соседними уровнями по формуле (3.26):
48
22 342 2
En nn
n
(2 1) (2 1) 1 0 , Дж.
2314
m
229,11010
(1, 05 1 0 ) ( 3,14)
33
.
Для свободного электрона соседние энергетические уровни распо-
ложены так близко, что спектр энергии можно считать непрерывным.
Пример 2. Электрон в атоме.
Для электрона в атоме размер потенциальной ямы – это размер ато-
10
ма
10 м
. Тогда разность энергий между соседними уровнями
22
En
n
34 2 2
(1, 05 10 ) (3,14)
2 9,1 10 10
31 20
(2 1)
2
2
m
nnn
(2 1) 10 Дж 100 эВ,
17
и спектр энергии электрона в атоме дискретный (линейчатый).
Итак, применив уравнение Шредингера, мы получили новые свойства микрочастиц, отличные от классических представлений: 1) энергия частиц может принимать только конкретные дискретные значения;
2) в потенциальной яме есть места, где частица вообще не может находиться.
3.7. ПРОХОЖДЕНИЕ ЧАСТИЦЫ
СКВОЗЬ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР.
ТУННЕЛЬНЫЙ ЭФФЕКТ
Рассмотрим потенциальный барьер прямоугольной формы шири-
ной
области: слева от барьера (область
ром (область
(рис. 3.7). Потенциальный барьер делит пространство на три
I
), справа (область II) и под барье-
III
).
Потенциальный барьер на рис. 3.7 описывается следующим образом:
0, 0 область I,
x
( ) , 0 область II,
Ux U x
0, область III.
x
49
(3.27)
x
x
I
E
0U
U
III
II
0U
Рис. 3.7
и встречает на своем пути по-
0
Пусть частица движется вдоль оси
тенциальный барьер, показанный на рис 3.7. Энергия частицы меньше
высоты потенциального барьера
. Если бы частица была класси-
EU
ческой, то она отразилась бы от потенциального барьера и стала бы
двигаться в обратную сторону. Классическая частица могла бы преодолеть потенциальный барьер только в том случае, если ее энергия
больше высоты потенциального барьера,
EU
.
В квантовой механике частица с энергией, меньшей высоты потенциального барьера, может быть обнаружена за барьером, а частица с
энергией, большей высоты потенциального барьера, может подлететь к
барьеру и отразиться от него. Такие непривычные с точки зрения обыденной жизни ситуации следуют из решения уравнения Шредингера
для трех областей:
2
ψ
d
dx
2
d
dx
2
d
dx
22
I
ψ 0, , область I,
kk
22
ψ
II
22
ψ
III
22
I
22
βψ 0, β , область II,
II
22
ψ 0, , область III.
kk
III
2
mE
2( )
mE U
2
mE
(3.28)
Решения этих дифференциальных уравнений имеют вид
ψ + область I,
ψ + область II,
ψ область III.
ikx ikx
Ae Be
I1 1
ix ix
Ae Be
II 2 2
Ae
III 3
ββ
ikx
. (3.29)
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]