4.3Примеры решения задач

4.4Упражнения к разделу 4

Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Элементы математического анализа. Учебное пособие.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

771 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 239 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

y = f(x)

Рисунок 12 — Центр тяжести плоской кривой

Пример 4.1. Вычислить объём тела, полученного в результате вращения кривой y = sin x, 0 ≤ x ≤ π вокруг оси Ox (Рисунок 13).

Рисунок 13 — Иллюстрация к примеру 4.1

VOx = π Za

y2(x) dx

dx =

VOx = π Z0

sin2 x dx = π Z0

1 −

cos 2x

dx =

= π Z0

sin2 x dx = π Z0

1 −

cos 2x

Z (1

− cos 2x) dx =

−

sin 2

sin 2π

sin 0

−

0 −

Ответ:

π2

Пример 4.2. Найдите координаты центра масс однородной плоской пластины (Рисунок 14), которая имеет форму области, ограниченной кривыми √

y = x, y = 1 − (x − 1)2, y = 0.

Решение.

Рисунок 14 — Иллюстрация к примеру 4.2. Форма пластины

Формула для вычисления центра масс C(xc; yc) выглядит так:

xc =		xB		1 xB			.
		RxB	, yc = xRB
		xy(x) dx				y2	(x) dx
	xA			2 xA
		xRA y(x) dx			xRA y(x) dx

В первую очередь вычислим знаменатель — по-сути это площадь пластины.

Уравнение y =					1 − (x − 1)2	задаёт верхнюю половину окруж-
ности радиуса	1	с		центром в точке (1; 0). Площадь четверти круга
ности радиуса		с		p
радиуса 1 равна		π	.
радиуса 1 равна		4	.
		4
Вычислим площадь левой части:
1				1			2x√		1	2		2
								x	1
Z	y(x) dx = Z √x dx =							x	0 =
											− 0 =			.
							3			3	− 0 =		3	.
0				0

В итоге

S = y(x) dx = 23 + π4 .

Вычислим числитель выражения для первой координаты центра масс:

		1			2					x2,5	1
										x2,5	1
	= x1,5 dx + x 1 − (x − 1)2 dx = 2 5										0+
		Z			Z	p

		0			1
		0			1
		2
			+ Z (x − 1 + 1) 1 − (x − 1)2 dx =
		1					p
		1
2		(x − 1) 1 − (x − 1)2 dx + Z						2	1 − (x − 1)2 dx = ...
= 5 + Z		(x − 1) 1 − (x − 1)2 dx + Z							1 − (x − 1)2 dx = ...
2
	1			p		1		p
сделаем замену переменной [u = (x − 1), 0 ≤ u ≤ 1]
		1				1			1 − u2 du = ...
	... = 5 + Z				u 1 − u2 du + Z				1 − u2 du = ...
			2
				0	p	0		p

последний интеграл выражает площадь четверти круга радиуса 1.

... = 5					+ 2 Z				1																	1					1 − u2 d(1 − u2) + 4 =
... = 5					+ 2 Z								1 − u2 du2 + 4 = 5 − 2 Z																		1 − u2 d(1 − u2) + 4 =
			2		1														π	2	1																	π
								0		p															0				p
=			2		1				2(1					u2)1,5		1		π		2	1				· 0					−		2			π	11		π
=			5		− 2 ·								−3			0 + 4 = 5 − 2									· 0					−		3 + 4 = 15 +						4 .


Вычислим числитель выражения																				для второй координаты центра масс:
					xB											1					2
			2 Z y2(x) dx = 2 Z													(√x)2 dx +					2 Z				( 1 − (x − 1)2)2 dx =
			1										1								1
				xA											0								1			p
			1										2														x2			1			2
	1								1												1						x2			1			1
=		Z			x dx +							Z (1 − (x − 1)2) dx =													·					0 +				Z (2x		− x2) dx =
=	2	Z			x dx +						2	Z (1 − (x − 1)2) dx =												2	·	2				0 +			2	Z (2x		− x2) dx =
			0										1																				1
	1				1								1				x3			2	1 1												8			1		7
=	2		·		2 −				0				+ 2 x2 −				3			1 =	4 +					2 4 −							3 − 1 +			3 =		12.


Вычислим координаты:
					11 +				π					44 + 15π																7			7

					15				4									≈ 1, 05;												12							≈ 0, 4.
xc =									π =													yc =											=
xc =						2	+		π =					40 + 15π								yc =						2		+		π			8 + 3π
																																			8 + 3π
						3			4																	3						4
						3			4																	3						4

Рисунок 15 — Иллюстрация к примеру 4.2. Центр масс

Z xy(x) dx = Z x√

1 − (x − 1)2

4.1. Найдите среднее значение f данной функции y = f(x) на указанном промежутке. Постройте эскиз графика функции, отметьте найденное значение, укажите точки в которых оно достигается на данном промежутке.


а)	f(x) = x2 + 4x + 3, 0 ≤ x ≤ 6;	б) f(x) = √			+ 3, 0 ≤ x ≤ 9;
				x
			x + 3
в)	f(x) = p4 − x2, 0 ≤ x ≤ 2;	г) f(x) =				− 3 ≤ x ≤ 2.

			x − 3

4.2. Найдите площади фигур, ограниченных данными линиями. Фигуры в задачах в)-г) изображены на рисунке (Рисунок 16), точки пересечения кривых найдите самостоятельно.

а) y = x2 + 3x + 4, y = 1 − x;	б) y = x2, y = √				;
а) y = x2 + 3x + 4, y = 1 − x;	б) y = x2, y = √			x	;
		1			x2
в) x2 + y2 = 16, 6x = y2;	г) y =		, y =			.
в) x2 + y2 = 16, 6x = y2;	г) y =	x2 + 1	, y =			.
		x2 + 1	2
y			y
6x = y2	y = x2/2	1
x2 + y2 = 16		1

y = 21 x +1

Рисунок 16 — Иллюстрация к заданию 4.2 в) — слева, г) — справа

4.3. Найдите длину дуги кривой на указанном промежутке. Кривые в задачах б)-г) изображены на рисунке (Рисунок 17)

а) y = x2, 1 ≤ x ≤ 4;			б) y = ln (1 − x2), 0 ≤ x ≤			1	;
а) y = x2, 1 ≤ x ≤ 4;			б) y = ln (1 − x2), 0 ≤ x ≤			2	;
в) y =	x2	ln x	г)	y = px − x2 + arcsin√x.
в) y =	4 −	2 , 1 ≤ x ≤ e;	г)	y = px − x2 + arcsin√x.
	y		y		y
					y
−1		1/2 1 x			0	1
−1	0	1/2 1 x					x
			0 1	e x	−π2

Рисунок 17 — Иллюстрация к заданию 4.3 б) — слева, в) — в центре, г) — справа

4.4. Найдите координаты центра масс плоской пластины.

а) ABCD - трапеция, где A(0; 0), B(4; 0); C(4; 4); D(0; 2);

б) Область, ограниченная дугой параболы y = x2 + 1 и прямыми x = −1, x = 2; y = 0;

√ √

в) Область, ограниченная кривыми y = 1 − x, y = 1 − x2 и прямой y = 0 (Рисунок 18).

√y

y = 1 − x	y =	√1 − x2

−1	0	1	x
	y = 0

Рисунок 18 — Иллюстрация к заданию 4.4 в)

4.5. Найдите объём тела, ограниченного поверхностью, получающейся при вращении данной кривой вокруг оси y = 0. В заданиях а)- в) сделайте чертёж.

√

а) y = x, 0 ≤ x ≤ 4;

в) y = x1, 1 ≤ x ≤ 2;

−32π

б) y =

x2,

0 ≤ x ≤ 1,

−

2)2

≤

−

| | ≤

√

1 (Рисунок 19).

г) y = 1

sin x,

√

y =

1 − sin x

π	−1	1 π	x
−2		2

Рисунок 19 — Иллюстрация к заданию 4.5 г)

4.6. Найдите площадь поверхности, получающейся при вращении кривой вокруг оси y = 0.

√	б) y = sin x, 0 ≤ x ≤ π.
а) y = x, 0 ≤ x ≤ 4;

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 89 / 239 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]