4.2Приложения определённого интеграла
4.2.1Площадь криволинейной трапеции
y
y = fв(x)
x
a |
b |
y = fн(x)
Рисунок 7 — Площадь криволинейной трапеции
Если фигура ограничена двумя кривыми (Рисунок 7) y = fв(x), y = fн(x) и прямыми x = a, x = b, то площадь вычисляется по формуле
b
Z
S = (fв(x) − fн(x)) dx.
a
Если область ограничена более, чем двумя кривыми, то область надо разбить на несколько областей.
4.2.2Длина дуги
y
A
LAB
x
B
Рисунок 8 — Длина дуги
Длина дуги LAB, лежащей на кривой заданной функцией y = f(x) (Рисунок 8) вычисляется по формуле
xB
LAB = Z |
|
|
|
|
1 + (y′)2 dx. |
||
xA |
p |
||
25
4.2.3Объём тела вращения
Объём тела, полученного в результате вращения криволинейной трапеции (Рисунок 9), ограниченной кривой LAB : y = f(x) и прямыми x = xA, x = xB, y = 0 вокруг оси Ox вычисляется по формуле
y = f(x) |
B |
|
|
y |
|
A |
|
x
Рисунок 9 — Объём тела вращения
xB
Z
VOx = π f2(x) dx
xA
4.2.4Площадь поверхности вращения
Площадь поверхности, полученной в результате вращения вокруг оси Ox дуги LAB, лежащей на кривой, заданной функцией y = f(x) вычисляется по формуле
xB |
|
|
|
|
SOx =2πZ |
|
|
|
|
y(x) · |
|
1 + (y′(x))2 dx. |
||
xA |
|
q |
||
4.2.5Среднее значение функции на интервале
Среднее значение функции y = f(x) на [a; b] вычисляется по формуле
f = b − a Za |
b |
||
f(x) dx. |
|||
|
1 |
|
|
Последняя формула следует из теоремы Лагранжа c [a; b] : F ′(c) =
F (b) − F (a). Геометрически, среднее значение — это высота прямо- b − a
угольника, равного по площади подграфику функции (Рисунок 10).
26
y |
y |
y = f(x) |
y = f(x) |
|
f |
|
x |
|
x |
a |
b |
a |
b |
Рисунок 10 — Среднее значение функции на интервале
4.2.6Центр тяжести однородной пластины
Центр тяжести однородной пластины (Рисунок 11), которая имеет форму криволинейной трапеции, ограниченной кривыми y = f(x) ≥ 0, x = xA, x = xB, y = 0, вычисляется по формуле
xc = |
|
xB |
, yc = |
1 xB |
|||
|
RxB |
|
|
xRB |
|||
|
|
|
xy(x) dx |
|
|
|
y2(x) dx |
|
xA |
|
2 xA |
||||
|
|
xRA y(x) dx |
|
|
xRA y(x) dx |
||
y |
|
|
A |
|
|
|
y = f(x) |
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 11 — Центр тяжести однородной пластины
4.2.7Центр тяжести плоской кривой
Центр тяжести плоской кривой LAB : y = f(x) от точки A до точки B (Рисунок 12), вычисляется по формуле
|
xB |
|
|
|
|
|
|
xB |
|
|
|
|
|
|
q1 + (y′(x))2 dx |
q1 + (y′(x))2 dx |
|||||||||||||
xA x · |
xA y · |
|||||||||||||
xc = |
R |
|
|
|
|
|
, yc = |
R |
|
|
|
|
|
|
xB |
|
|
|
|
|
xB |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
xA q1 + (y′(x))2 dx |
|
xA q1 + (y′(x))2 dx |
|||||||||||
|
R |
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
|
27