4Определённый интеграл
4.1Понятие определённого интеграла
Пусть дана функция f(x) непрерывная на промежутке [a; b].
1)разобьём [a; b] на участки точками xo = a, x1, x2, ..., xn = b;
2)вычислим значение функции на участке: f(ξi), ξi [xi−1; xi] ;
3)умножим длину участка ∆xi = xi − xi−1 на f(ξi);
n
4) составим интегральную сумму P f(ξi)∆xi
i=1
5) Определенный интеграл функции f(x) на отрезке [a, b] — это предел интегральной суммы, не зависящий от способа разбиения отрезка [a, b] на части и от выбора точек ξi :
b |
n |
|
|
Z |
|
|
|
= max ∆xi→0 i=1 |
( i)∆ |
i |
|
a |
X |
f ξ |
x . |
f (x) dx |
lim |
Определённый интеграл связан с неопределённым, хотя по своей структуре это совершенно другой объект: определённый интеграл это число, неопределённый — множество функций.
На данном этапе нам достаточно понимать как вычисляется определённый интеграл:
b
Z
b
f(x) dx = F (x) a = F (b) − F (a),
a
т.е. определённый интеграл от функции f(x) на промежутке [a; b] равен приращению её первообразной F (x) на этом промежутке.
а) |
б) |
в) |
Рисунок 6 — Ссылки на тематические видеоуроки к занятию: а) определённый интеграл; б) вычисление площадей;
в) несобственные интегралы
23
Основные свойства определённого интеграла
|
b |
|
|
|
b |
|
b |
1. |
Za |
(Af1(x) + Bf2(x)) dx = A Za |
f1(x) dx + B Za |
f2(x) dx. |
|||
|
|
b |
c |
|
b |
|
|
2. |
Za |
|
f(x) dx = Za |
f(x) dx + Zc |
f(x) dx, аддитивность. |
||
|
|
b |
|
a |
|
|
|
ZZ
3. |
f(x) dx = − f(x) dx. |
a |
b |
b
Z
4.f(x) dx = F (b) − F (a), формула Ньютона-Лейбница.
a
В нашем курсе мы ограничимся заданиями умеренной сложности, вам будет достаточно материала на страницах этого пособия, воображения и терпения. Для более глубокого понимания темы рекомендуется изучить следующий теоретический материал (Рисунок 6):
1.Определённый интеграл, формула Ньютона-Лейбница.
2.Приложения определённого интеграла.
3.Несобственный интеграл.
Рекомендуемая литература к разделу 4 [1, 8]
1."Алгебра и начала математического анализа. 10-11 класс: учебник для общеобразовательных учреждений (базовый уровень)", А.Г. Мордкович., изд-е 13-е, 2012 г. — Глава 8 "Первообразная и интеграл", параграф 49 "Определённый интеграл".
2."Конспект лекций по высшей математике (в 2 ч.)", Письменный Д. Т., 2001 г., — ч. 1, глава VIII "Определённый интеграл".
3.Интеграл. Видеоуроки. http://t.khr.tilda.ws/integrallecture
24