Элементы линейной алгебры. Линейные пространства. Учебное пособие

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное

образовательное учреждение высшего образования ¾Тверской государственный университет¿

В. Н. РЫЖИКОВ

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Линейные пространства

Учебное пособие

ТВЕРЬ 2023

УДК 512.6(075.8) ББК В 143я73

Р93

Рыжиков В. Н.

Р93 Элементы линейной алгебры. Линейные пространства: учеб. пособие. – Тверь: Твер. гос. ун-т, 2023. – 102 с.

Рецензенты:

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики Тверского государственного технического университета

А.Н.Балашов

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры физико-математических дисциплин и информационных технологий Тверской государственной сельскохозяйственной академии

О.Н.Сергеева

Пособие предназначено для студентов, впервые знакомящихся с данными разделами математики и содержит практические задачи. Значительное количество заданий, позволяет использовать пособие при всех формах обучения: для аудиторной работы, домашних заданий, для составления контрольных работ, для самостоятельной индивидуальной работы различных направлений.

УДК 512.6(075.8) ББК В 143я73

I S B N 978-5-7609-1823-9

c Рыжиков В. Н. 2023

c Тверской государственный университет, 2023

Оглавление

1.3Линейные подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3

Глава 1

Основные теоретические сведения

1.1Определение линейного пространства

1.1.1.Внутренним законом композиции (алгебраической операцией, бинарной операцией) на множестве V называется правило , по которому всякой упорядоченной паре (a; b) элементов из V поставлен в соответствие некоторый единственный элемент c 2 V: Можно сказать, что бинарной операцией (алгебраической операцией, внутренним законом композиции) на множестве V называется всякое отображение

: V V ! V:

1.1.2.Пусть V и P - два множества. Внешним законом композиции на множестве V называется отображение

( ) : P V ! V;

т.е. закон, посредством которого любому элементу 2 P и любому элементу x 2 V ставится в соответствие однозначно определенный элемент c 2 V:

1.1.3. Непустое множество V называется линейным (векторным) пространством над полем P , если на V заданы два закона композиции

ВнутрЗК(сложение +) такой, что для 8x; y; z 2 V выполняются следующие условия:

1)(x + y) + z = x + (y + z) (аксиома ассоциативности),

2)x + y = y + x (аксиома коммутативности),

3)существует элемент 2 V; для которого справедливо равенство x + = x;

4)для любого x 2 V найдется элемент ( x) 2 V; для которого x + ( x) = ;

ВнешЗК (умножение на элемент поля) со следующими свойствами: для 8x; y 2 V и

8 ; 2 P

1)(x + y) = x + y (аксиома дистрибутивности умножения на число относительно сложения элементов V),

2)( + )x = x + x (аксиома дистрибутивности умножения на число относительно сложения элементов поля P ),

3)( )x = ( x);

4)1 x = x:

1.1.4.Элементы линейного пространства называются векторами.

4

1.1.5.Линейное пространство является абелевой группой (по сложению).

1.1.6.Простейшие свойства.

1.Нулевой вектор определяется однозначно.

2.Для каждого вектора x противоположный ему вектор x определяется однозначно.

3.Для любого вектора x справедливо равенство 0 x = :

4.Для любого вектора x справедлива формула x = ( 1)x:

5.Для любого 2 P справедливо равенство = :

6.Из равенства x = вытекает, что либо = 0; либо x = :

1.1.7.Линейное пространство над полем R называется вещественным, а над полем

C - комплексным.

1.1.8.Пусть V1 и V2 - линейные пространства над полем P: Рассмотрим их декартово произведение

V1 V2 = fz = (x1; x2)jx1 2 V1; x2 2 V2g:

Произведением линейных пространств V1 и V2 , заданных над полем P; назы-

вается множество V1 V2 наделенное ВнутЗК: (x1; x2) + (x01; x02) = (x1 + x01; x2 + x02) и ВнешЗК: (x1; x2) = ( x1; x2): Произведение линейных пространств V1 и V2 над полем

Pтакже является линейным пространством над полем P:

1.1.9.Пусть V1; : : : ; Vn - линейные пространства над полем P: Тогда множество

V1 : : : Vn = fz = (x1; : : : ; xn)jx1 2 V1; : : : ; xn 2 Vng

с ВнутЗК z+z0 = (x1 +x01; : : : ; xn +x0n) и ВнешЗК z = ( x1; : : : ; xn) является линейным пространством над полем P:

1.1.10. Пусть Vi = P; i = 1; n: Тогда линейное пространство P : : : P = P n называется n-мерным координатным (арифметическим) пространством. Его элементами являются упорядоченные наборы из n чисел:

z= (x1; : : : ; xn); xi 2 P; i = 1; n:

1.1.11.Геометрические пространства V1; V2; V3. Множества V1; V2; V3 всех векторов на прямой, на плоскости и в пространстве соответственно образуют вещественное линейное пространство относительно стандартных операций сложения и умножения вектора на действительное число, т.к. аксиомы 1-8 линейного пространства для этих множеств выполняются. Но, например, множество радиус-векторов единичной длины не образовывает линейное пространство, так как для любых из этих векторов сумма x + y не принадлежит рассматриваемому множеству.

1.1.12.Пространство матриц Mm n. Обозначим Mm n - множество матриц размеров m n с элементами из поля P c операциям сложения матриц и умножения матриц на число. Аксиомы 1-8 линейного пространства для этого множества выполняются. Нулевым вектором является нулевая матрица соответствующих размеров. Следовательно, множество Mm n является линейным пространством.

1.1.13.Рассмотрим множество решений однородной системы AX = (A- действительная матрица) линейных алгебраических уравнений с n неизвестными, рассматриваемое как множество столбцов размеров n 1 с операциями сложения матриц и умножения на число. Из свойств решений однородной системы следует, что сумма двух

5

решений однородной системы и произведение ее решения на число также являются решениями однородной системы AX = : Аксиомы 1-8 линейного пространства для матриц-столбцов выполняются. Поэтому множество решений однородной системы является вещественным линейным пространством. Множество решений неоднородной системы AX = B; B 6= ; напротив, не является линейным пространством, хотя бы потому, что не содержи нулевого элемента (X = не является решением неоднородной системы.)

1.1.14.Пространства многочленов. Множества Pn[x] всех многочленов степени не выше n и множество P1[x] многочленов всех степеней, пополненные нулевым многочленом, с обычными правилами сложения многочленов и умножения их на числа из поля P образуют линейные пространства.

1.1.15.Пространство C[a; b] Множество всех вещественных непрерывных функ-

ций, заданных на промежутке [a; b] с операциями поточечного сложения и умножения на вещественные числа: (f + g)(x) = f(x) + g(x); ( f)(x) = f(x); является линейным пространством.

1.1.16. Сопряженное пространство. Пусть V - вещественное линейное пространство. рассмотрим множество определенных на V линейных скалярных функций, т.е. функций f : V ! R; принимающие действительные значения и удовлетворяющие усло-

Сумма f + g и произведение f определим равенствами:

(f + g)(v) = f(v) + g(v) 8v 2 V; ( f)(v) = f(v) 8v 2 V; 8 2 R:

Аксиомы 1-8 в данном случае выполняются. Поэтому множество линейных функций, определенных на линейном пространстве V; является линейным пространством. Это пространство называется сопряженным (дуальным, двойственным) к пространству V и обозначается V : Его элементы называются линейными формами (ковекторами). Например, множество линейных форм n переменных, рассматриваемых как множество скалярных функций векторного аргумента, является линейным пространством, сопряженным к пространству Rn:

1.2Базис линейного пространства

1.2.1.Пусть V - линейное пространство над полем P и x1; : : : ; xk - векторы из V; элементы ; ; ; : : : ; ; поля P назовем скалярами. Набор скаляров i; i = 1; k называется тривиальным, если все элементы набора равны нулю i = 0; i = 1; k: В

противном случае (когда хотя бы один из скаляров отличен от нуля) набор называется нетривиальным. Если e1; : : : ; ek система векторов линейного пространства V над полем P , то выражение вида

1e1 + 2e2 + + kek; i 2 P; i = 1; k;

6

называется линейной комбинацией векторов данной системы. Никаких ограничений на значения коэффициентов (скаляров) i нет. В частности, они все могут быть равны нулю.

1.2.2. Набор векторов e1; : : : ; ek пространства V называется линейно независи-

k

мым, если их линейная комбинация P iei равна нулю лишь в случае, когда набор

i=1

скаляров i; i = 1; k тривиален. Заметим, что система векторов-столбцов A1; A2; : : : ; Ak из линейного пространства P n является линейно независимой тогда и только тогда, когда ранг матрицы, составленной из этих векторов, равен их количеству k: Таким образом изучение линейной зависимости системы векторов-столбцов сводится к вычислению ранга матрицы.

1.2.3. Набор векторов e1; : : : ; ek пространства V называется линейно зависимым,

k

P iei = : 2)

i=1

Если среди a1; a2; :::; ak один элемент нулевой, то они линейно зависимы.

1.2.4. Всякая часть a1; a2; :::; al линейно независимого набора векторов a1; a2; :::; ak является линейно независимым набором.

B Если a1; a2; :::; al – линейно зависимы, то существуют 1; :::; l одновременно неравные нулю, так что 1a1 + ::: + lal = 0 ) 1a1 + ::: + lal + 0 al+1 + ::: + 0 ak = 0 и хотя бы одно из 1; :::; l отлично от нуля ) a1; a2; :::; ak линейно зависимы. Противоречит условию.C

1.2.5. Набор векторов, x1; : : : ; xk; пространства V содержащий нулевой вектор, линейно зависим.

Если x1 = 0 ) 1x1 + 0 x2 + ::: + 0 xk = 0 и 1 – любое, например, 1 6= 0 ) x1; x2; :::; xk линейно зависимы.

1.2.6.Набор ненулевых векторов, x1; : : : ; xk; пространства V линейно зависим тогда

итолько тогда, когда среди векторов набора существует по крайней мере один вектор, представимый в виде линейной комбинации остальных.

Пусть x1; x2; : : : ; xk - линейно зависимы. Тогда

1x1 + ::: + kxk = 0:

Если, например, s 6= 0; (1 s k) то

xs = 1 x1 ::: k xk:1 1

Это означает, что вектор xs; линейно выражается через остальные столбцы. Наоборот, пусть вектор xs(1 s k) линейно выражается через векторы

x1; x2; : : : ; xk; т.е.

xs = 1x1 + ::: + kxk:

Тогда верно и равенство 1x1 + 2x2 + ::: + kxk = 0; в котором s 6= 0: Значит система векторов x1; x2; : : : ; xk линейно зависима.

1.2.7. Базой системы векторов называется такая линейно независимая подсистема этой системы векторов, через которую линейно выражается любой вектор системы.

7

1.2.8. Набор векторов e1; : : : ; ek пространства V называется полным в линейном пространстве V над полем P; если любой вектор x 2 V может быть представлен линей-

k

ной комбинацией векторов ei с коэффициентами i из поля P : x = P iei:

i=1

1.2.9.Если из полного набора вычеркнуть векторы, которые линейно выражаются через остальные векторы этого набора, то возникший набор по-прежнему будет полным.

1.2.10.Пространство V называется конечномерным, если в нем существует конечный полный набор векторов.

1.2.11.Полный линейно независимый набор векторов пространства называется базисом, т.е. упорядоченный набор векторов из пространства V называется базисом, если он 1) линейно независим и 2) любой вектор V можно представить в виде линейной комбинации векторов этого набора.

Заметим, что можно использовать несколько эквивалентных определений базиса. 1. Упорядоченная система векторов e1; : : : ; en называется базисом линейного про-

странства V; если она линейно независима, и любой вектор пространства является линейной комбинацией базисных векторов e1; : : : ; en:

2. Базисом в линейном пространстве V называется упорядоченная максимальная линейно независимая система векторов этого пространства.

3. Упорядоченная система векторов e1; : : : ; en называется базисом линейного пространства V; если каждый вектор линейного пространства линейно выражается через базисные векторы e1; : : : ; en; причем единственным образом.

1.2.12.Базис является максимальным линейно независимым набором векторов: любой набор, содержащий его как собственную часть, линейно зависим.

1.2.13.Базис является минимальным полным набором: любая его собственная часть не является полным набором.

1.2.14.Всякое конечномерное линейное пространство обладает базисом.

1.2.15.Всякий линейно независимый набор векторов конечномерного линейного пространства можно дополнить до базиса.

т.е.если система векторов a1; : : : ; ak 2 V; k < n = dim V; линейно независима, то най-

дутся векторы ak+1; : : : ; an 2 V; такие, что система a1; : : : ; an - базис V:

Рассмотрим систему векторов a1; : : : ; ak; b 2 V: Если это семейство линейно зависимо, то b = 1a1 + : : : + kak; так как в линейной комбинации

b + 1a1 + : : : + kak =

коэффициент в силу линейной независимости системы a1; : : : ; ak обязательно отличен от нуля. Следовательно, b 2 L(a1; : : : ; ak): Если бы последнее включение было справедливо для любого вектора из V; то система векторов a1; : : : ; ak; была бы базисом, что невозможно в силу условия k < n: Таким образом, существует вектор ak+1 2 V; такой что система векторов a1; : : : ; ak; ak+1 линейно независима. Если k + 1 = n; то эта система базис V: Если k +1 < n; то рассмотрим ситему a1; : : : ; ak; ak+1; b и повторим предыдущие рассмотрения. Ясно, чсто поступая таким образом, можно достроить данную линейно независимую системы до базиса пространства V:

1.2.16. Если набор x1; : : : ; xm линейно независим, а набор y1; : : : ; yn; полон в V; то m n:

8

1.2.17.Все базисы конечномерного линейного пространства содержат одинаковое число векторов.

1.2.18.Число векторов в базисе линейного пространства V называется его размерностью и обозначается dim V: Размерность линейного пространства, состоящего из одного нулевого вектора, принимается равной нулю.

1.2.19.Пусть V - линейное пространство размерностью n над полем P; e1; : : : ; en - базис пространства V: Тогда любой вектор x 2 V единственным образом представляется

ввиде линейной комбинации элементов базиса (разлагается по базису):

n

X

x = iei ( i 2 P; i = 1; 2; : : : ; n):

i=1

1.2.20. Cкаляры i 2 P; i = 1; 2; : : : ; n разложении вектора x по базису e1; : : : ; en

называются координатами вектора x в базисе e1; : : : ; en . Координаты i 2 P; i = 1; 2; : : : ; n вектора x в базисе e1; : : : ; en определяются однозначно. При сложении векторов соответствующие их координаты складываются. При умножении вектора на скаляр все координаты вектора умножаются на этот скаляр. Удобно обозначение: xe = ( 1 2 : : : n)T : Если e = (e1 e2 : : : en); то x = e xe:

1.2.21. Арифметическое пространство Rn. В арифметическом пространстве Rn

единичные векторы

линейно независимы. Это следует из того, что линейная комбинация этих векторов с коэффициентами 1; 2; : : : ; n представляет собой вектор ( 1 2 : : : n)T ; который равен нулевому вектору = (0 0 : : : 0)T тогда и только тогда, когда i = 0; i = 1; n: Если a = (a1 a2 : : : an)T 2 Rn; то

a = a1e1 + a2e2 + : : : + anen:

Таким образом, векторы e1; e2; : : : ; en образуют базис пространства Rn и dim Rn = n:

Этот базис называется стандартным (каноническим, естественным) базисом пространства Rn. Координатами вектора в стандартном базисе служат компоненты a1; a2; : : : ; an этого вектора.

1.2.22. Пространство многочленов Pn[t]. Многочлены 1; t; t2; : : : ; tn линейно независимы. Это следует из того, что линейная комбинация этих многочленов с коэф-

ется стандартным (каноническим, естественным) базисом пространства Pn[t].

n

Координатами многочлена Pn(t) = P ktk служат его коэффициенты a1; a2; : : : ; an:

k=0

9

1.2.23. Пространство матриц Rm n: Матричные единицы E11; E12; : : : ; E1n; E21; E22; : : : ; E2n; : : : ; Em1; Em2; : : : ; Emn (в матрице Eij все элементы нулевые, кроме одного элемента в позиции (i; j); равного единице) линейно независимы. Это следу-

mn

(aij) 2 Rm n; то A = P P aijEij: Следовательно, матричные единицы E11; E12; : : : ; E1n;

i=1 j=1

E21; E22; : : : ; E2n; : : : ; Em1; Em2; : : : ; Emn образуют базис Rm n: Размерность этого пространства dim Rm n = mn: Этот базис называется стандартным (каноническим, естественным) базисом пространства Rm n: Координатами матрицы A = (aij) 2

Rm n в стандартном базисе служат ее элементы aij (i = 1; m; j = 1; n):

1.2.24. Пространство решений системы AX = . Любое решение однородной системы AX = можно представить в виде

X = c1E1 + c2E2 + : : : + cn rEn r;

где n - число неизвестных, r - ранг матрицы A; а E1; E2; : : : ; En r - фундаментальная система решений (ФСР). Базисом пространства решений системы AX = служит ее ФСР, а размерность пространства равна (n r):

1.2.25. Сопряженное пространство. Пусть e1; e2; : : : ; en - базис вещественного линейного пространства V: Определим на V линейные формы "1; "2; : : : ; "n; положив

При этом, в силу линейности функций "i; для произвольного вектора v = v1e1 + v2e2 +

: : : + vnen получаем

n

X

"i(v) = vj"i(ej) = vi:

j=1

Система ковекторов "1; "2; : : : ; "n линейно независима. Рассмотрим линейную комбинацию ковекторов и приравняем ее нулевому ковектору. Имеем:

( 1"1 + : : : + n"n)(v) = 1"1(v) + : : : + n"n(v) = (v):

Подставляя в это равенство v = ei; i = 1; n; получаем 1 = 2 = : : : = n = 0: Следовательно система элементов "1; "2; : : : ; "n пространства V линейно независима. Любую линейную форму f 2 V можно представить в виде линейной комбинации ковекторов "1; "2; : : : ; "n: Действительно, для любого вектора v = v1e1 + v2e2 + : : : + vnen в силу линейности ковектора f получаем:

f(v) = f(v1e1 + v2e2 + : : : + vnen) = v1f(e1) + v2f(e2) + : : : + vnf(en) =

="1(v)f(e1) + : : : + "n(v)f(en) =

=("1f(e1) + : : : + "nf(en))(v) = ( 1"1 + : : : + n"n)(v);

10