Элементы линейной алгебры. Линейные пространства. Учебное пособие

(1.4.) Для элемента (a1; a2) 2 V противоположным будет элемент ( a1; a2) 2 V и

(a1; a2) + ( a1; a2) = ( a1; a2) + (a1; a2) = (0; 0):

2. Любым двум элементам 2 P и (a1; a2) 2 V соответствует однозначно определенный элемент ( a1; a2) 2 V:

(2.1.) Для любого ; 2 R и любых элементов (a1; a2); (b1; b2) 2 V верны равенства

((a1; a2) + (b1; b2)) = (a1 + b1; a2 + b2) =

=( (a1 + b1); a2 + b2) = ( a1 + b1; a2 + b2) =

=( a1; a2) + ( b1; b2) = (a1; a2) + (b1; b2):

(2.2.) Для любых ; 2 R и любого элемента (a1; a2) 2 V справедливы равенства

( + )(a1; a2) = (( + )a1; a2) = ( a1 + a1; a2);

(a1; a2) + (a1; a2) = ( a1; a2) + ( a1; a2) = ( a1 + a1; 2a2):

Значит,( + )(a1; a2) 6= (a1; a2) + (a1; a2):

(2.3.) Для любых ; 2 R и любого элемента (a1; a2) 2 V справедливы равенства

( )(a1; a2) = (( )a1; a2) = ( ( a1; a2)+

= ( a1; a2) = ( (a1; a2))

(2.4.) Пусть 1 2 R и любой элемент (a1; a2) 2 V: Тогда 1(a1; a2) = (1a1; a2) = (a1; a2): Так как свойство (2.2.) не выполняется, то множество V не является линейным про-

странством относительно заданных операций.

Пример 2. Определите является ли линейным пространством над R множество радиус-векторов плоскости, концы которых лежат в первой и третьей координатной

этого вектора ! лежит во второй четверти. Следовательно, множество радиус-векторов c

плоскости, не является линейным пространством над R:

Пример 3. Каким условиям должен удовлетворять скаляр x; чтобы векторы (0; x; 1); (x; 0; 1); (1; 1; x) из R3 были линейно зависимы? Каким будет ответ на этот же вопрос при замене R3 на Q3?

Запишем координаты трёх заданных векторов по строкам в матрицу. Поскольку строки матрицы линейно зависимы тогда и только тогда, когда она вырождена, достаточно вычислить её определитель:

21

Таким образом, заданные векторы линейно зависимы в R3 тогда и только тогда, когда p

x = 0 или x = 2: Однако если заменить линейное пространство R3 на Q3; ответ из-

менится. Действительно, в этом случае нас интересуют лишь векторы с рациональными p

координатами, а при x = 2 ни один из трёх заданных векторов не принадлежит рассматриваемому линейному пространству. Таким образом, в случае пространства Q3 заданные векторы линейно зависимы лишь при x = 0:

Пример 4. Исследовать на линейную систему векторов

a1 = (1; 2; 3; 4); a2 = (3; 6; 9; 12); a3 = (1; 2; 3; 6):

Из равенства 1a1 + 2a2 + 3a3 = ; где 1; 2; 3 2 R; а = (0; 0; 0; 0) 2 R4; получаем систему линейных уравнений относительно 1; 2; 3

8 > 1 + 3 2 + 3 = 0;

>

< 2 1 + 6 2 + 2 3 = 0; > 3 1 + 9 2 + 3 3 = 0;

>

: 4 1 + 12 2 + 6 3 = 0:

Так как ранг матрицы данной системы равен 2, то система имеет бесконечное множество ненулевых решений. Например, 1 = 3; 2 = 1; 3 = 0: Следовательно, векторы a1; a2; a3 являются линейно зависимыми.

Пример 5. V = C; P = C; a1 = 1; a2 = i. Положим 1 = 1; 2 = i: Очевидно, 1 1 + i i = 0, значит, 1 и i линейно зависимы над полем :

Пример 6. V = C; P = R; a1 = 1; a2 = i. В этом случае в качестве 1 и 2 комплексные числа использовать нельзя. Составим равенство: 11 + 2i = 0, 1; 2 2 R.

В данном равенстве числа 1 и 2 - соответственно действительная и мнимая части комплексного числа, которое равно 0, поэтому равны 0 и его действительная и мнимая части, т.е. 1 = 2 = 0. Таким образом, числа 1 и i над полем действительных чисел

которых есть отличные от нуля и таким образом, рассматриваемые функции линейно зависимы.

В следующих двух примерах приведем два основных метода доказательства линейной независимости функций.

1 1 + 2 sin x + 3 sin 2x = 0:

Заметим, что в правой части данного равенства – нейтральный элемент линейного пространства, значит, и в правой части – нейтральный элемент пространства функций, т. е. функция, тождественно равная 0. Это равенство следует понимать как равенство функций, оно справедливо для всех x 2 R. Например, при x = 0 получаем 1 = 0; при

22

x = =2 получаем 2 = 0; при x = =4 получаем 3 = 0: Таким образом, рассматриваемая система функций линейно независима.

11 + 2x + 3x2 + 4x3 = 0:

Данное равенство справедливо опять же для любого x 2 R; т.е. функция

f(x) = 1 + 2x + 3x2 + 4x3

тождественно равна 0, значит, тождественно равна 0 и любая её производная. Имеем: 8x 2 R

независима.

Пример 10. Исследовать на линейную зависимость следующие системы вещественнозначных функций (n > 0) : 1) 1; x; x2; :::; xn; 2) 1; ex; e2x; :::; enx; 3) 1; ln x; ln 2x; :::; ln nx:

1a) Предположим, что система функций 1; x; x2; :::; xn линейно зависима. Это означает, что найдутся такие числа a0; a1; :::; an; не все равные нулю, что a0 1 + a1 x + a2 x2 + ::: + an xn = 0 для всех x 2 R; поскольку в правой части последнего равенства стоит нулевая функция, то есть функция, принимающая лишь нулевые значения. Таким образом, многочлен a0 1 + a1 x + a2 x2 + ::: + an xn обращается в нуль в любой точке, что невозможно в силу теоремы Безу. Значит, исходная система функций линейно независима.

1b)Продифференцируем n раз обе части равенства a01 + a1x + a2x2 + ::: + anxn = 0: Получим систему уравнений

8

> a01 + a1x + a2x2 + ::: + anxn = 0

>

>

> a1 + : : : + (9n 1)an 1xn 2 + nanxn 1 = 0;

<

: : : : : : ;

>

> (n 1)!an 1 + n!anx = 0;

>

>

: n!an = 0:

Относительно неизвестных a0; a1; :::; an; определитель этой системы принимает вид

Следовательно, система имеет единственное решение. Поскольку система однородная, то она имеет только нулевое решение a0 = 0; a1 = 0; :::; an = 0: Это означает, что исходная система функций линейно независима.

23

2) Предположим, что система функций 1; ex; e2x; :::; enx линейно зависима, то есть что существуют такие числа a0; a1; :::; an; не все равные нулю, что a01 + a1ex+; :::; anenx = 0: Поскольку это равенство должно быть выполнено в каждой точке, в частности, оно выполнено в точках 0; 1; 2; :::; n: Это означает, что имеет место следующая система равенств:

8

> a0 + a1 + a2 + ::: + an = 0;

>

>

> a0 + a1e + a2e2 + : : : + anen = 0;

<

a0 + a1e2 + a2e4 + : : : + ane2n = 0;

> : : : : : : ;

>

>

>

:

a0 + a1en + a2e2n + : : : + anen2 = 0;

Относительно неизвестных a0; a1; :::; an данная система есть линейная однородная система. Как известно, линейная однородная система имеет ненулевое решение, лишь если определитель соответствующей матрицы коэффициентов равен нулю. В данном случае

поскольку этот определитель является частным случаем определителя Вандермонда. Легко видеть, что в подобном произведении все скобки отличны от нуля, то есть наш определитель не равен нулю и, следовательно, система имеет только нулевое решение a0 = 0; a1 = 0; :::; an = 0: . Таким образом, рассматриваемая система функций линейно независима.

3) Рассмотрим теперь систему функций 1; ln x; ln 2x; :::; ln nx: Поскольку ln nx = ln n + ln x = ln n 1 + ln x при любом n > 1; последняя из функций линейно выражается через первые две. Это означает, что вся система функций содержит линейно зависимую подсистему и потому линейно зависима. Если n = 1; то рассматриваемая система линейно независима: функция 1 постоянна, а функция ln x не постоянна и, следовательно, ни одна из них не может линейно выражаться через другую.

Пример 11. Исследовать на линейную зависимость систему векторов пространства многочленов степени 2 над полем R :

f1(x) = 3 + x + x2; f2(x) = 2 + x x2:

Составим и решим уравнение

1f1(x) + 2f(x) = :

В данном случае вектор есть многочлен 0 + 0 x + 0 x2; т. е. данное уравнение

имеет вид:

1(3 + x + x2) + 2( 2 + x x2) = 0 + 0 x + 0 x2;

или

(3 1 2 2) + ( 1 + 2)x + (2 1 2)x2 = 0 + 0 x + 0 x2:

24

Поскольку равенство многочленов означает равенство их коэффициентов при одинаковых степенях ; получаем систему

8

<3 1 2 2 = 0;1 + 2 = 0;

: 2 1 2 = 0:

Данная система равносильна системе

1 + 2 = 0;5 2 = 0;

имеющей единственное решение 1 = 0; 2 = 0: Таким образом, равенство 1f1(x) +2f(x) = : возможно лишь при 1 = 2 = 0; т.е. наша система линейно независима.

Пример 12. Исследуйте на линейную зависимость систему векторов

в линейном пространстве Mat2(R) вещественных квадратных матриц порядка 2. Запишем линейную комбинацию системы матриц A1; A2; A3; и приравняем ее к ну-

левой матрице:

Две матрицы равны тогда и только тогда, когда равны все соответствующие друг другу элементы матриц. Тогда

8

> 1 2 + 3 3 = 0;

>

< 1 + 2 3 3 = 0;

>1 + 2 + 3 = 0;

>

: 2 1 + 2 + 3 3 = 0:

Данная однородная система уравнений имеет бесконечно много решений. Среди них есть и нетривиальные, например, 1 = 2; 2 = 1; 3 = 1: Значит, исходная система матриц линейно зависима и 2A1 + A2 + A3 = 0:

Очень полезно при практическом определении линейной независимости векторов следующее замечание, которое связывает понятие линейной зависимости и выразимости. Система векторов a1; : : : ; an линейно зависима тогда и только тогда, когда либо a1 = ; либо найдется такое число i =; : : : ; n; что ai линейно выражается через a1; : : : ; ai 1:

25

Пример 13. Выясните, является ли следующая система векторов линейно независимой

a1 = (1; 0; 0; 2; 5); a2 = (0; 1; 0; 3; 4); a3 = (0; 0; 1; 4; 7); a4 = (2; 3; 4; 11; 12):

Ясно, что вектор a1 6= и вектор a2 не выражается через вектор a1, а вектор a3 не выражается через векторы a1 и a2: (Обратите внимание на первые три компоненты векторов). Итак, достаточно проверить, выражается или нет a4 через a1; a2; a3: Допустим,

что a4 = 1a1 + 2a2 + 3a3 или

1(1; 0; 0; 2; 5) + 2(0; 1; 0; 3; 4) + 3(0; 0; 1; 4; 7) = (2; 3; 4; 11; 12):

Возникает система относительно 1; 2; 3: Перепишем систему в матричной форме и решим ее. Получим, что система не имеет решения, следовательно, a4 не выражается линейно через a1; a2; a3: Так как a1 6= и ни один из векторов a2; a3; a4 не выражается через предыдущие, то по критерию линейной зависимости a1; a2; a3; a4 будут линейно независимы.

С помощью критерия линейной зависимости можно находить максимальные линейно независимые подсистемы (базы) данной системы векторов и выражать остальные векторы через векторы максимальной линейно независимой подсистемы.

Схема решения данного класса задач такова. Пусть дана система векторов a1; : : : ; an из векторного пространства V над полем R: Будем действовать по индукции и постепенно выбирать максимальную линейно независимую подсистему M из a1; : : : ; an:

1. Если a1 6=

theta; то a1 2 M: Если a1 = ; то a1 2= M:

2.Пусть уже проделано i шагов, в результате которых выбраны линейно независимые векторы aj1 ; : : : ; ajm (которые мы включили в M) и векторы из a1; : : : ; ai, не попавшие

вподсистему M, выражены через aj1 ; : : : ; ajm :

3.Сделаем (i+1)-ый шаг. Если вектор ai+1 не выражается линейно через aj1 ; : : : ; ajm , то включим ai+1 в M и положим ajm+1 = ai+1: Если же вектор ai+1 выражается линейно через aj1 ; : : : ; ajm , то мы не будем, конечно, его включать в подсистему M:

Через n шагов мы переберем все векторы и получим линейно независимые векторы

aj1 ; : : : ; ajs , и остальные векторы будут выражаться через aj1 ; : : : ; ajs : Итак, M = (aj1 ; : : : ; ajs ) и задача будет полностью решена.

Пример 14. Найдите какую-нибудь базу системы векторов a1; : : : ; a5 и выразить через эту подсистему все остальные векторы:

a1 = (1; 2; 3; 4); a2 = (2; 3; 4; 1); a3 = (2; 5; 8; 3); a4 = (5; 26; 9; 12); a5 = (3; 4; 1; 2):

1 шаг. a1 6= ; поэтому a1 можно записать в максимальную независимую подсистему. 2 шаг. a2 линейно не выражается через a1; потому что соответствующие координаты векторов a1 и a2 не пропорциональны. Итак, мы можем записать a1; a2 в максимальную

линейно независимую подсистему.

3 шаг. Проверим, можно ли выразить a3 через a1; a2: Пусть a3 = 1a1 + 2a2: Откуда

(2; 5; 8; 3) = 1(1; 2; 3; 4) + 2(2; 3; 4; 1)

26

Полученная система не имеет решения, следовательно, a3 не выражается через a1 и a2: Тогда a1; a2; a3 можно записать в базу (максимальную линейно независимую подсистему).

4 шаг. Проверим, можно ли выразить a4 через a1; a2; a3: Пусть a4 = 1a1 + 2a2 + 3a3: Откуда

1(1; 2; 3; 4) + 2(2; 3; 4; 1) + 3(2; 5; 8; 3) = (5; 26; 9; 12):

Данная система имеет решение 1 = 5; 2 = 2; 3 = 2:

5 шаг. Проверим, можно ли выразить a5 через a1; a2; a3: Пусть a5 = 1a1 + 2a2 + 3a3: Откуда

1(1; 2; 3; 4) + 2(2; 3; 4; 1) + 3(2; 5; 8; 3) = (3; 4; 1; 2):

Полученная система имеет решение, 1 = 1; 2 = 1; 3 = 1:

Итак, a1; a2; a3 - максимальная линейно независимая подсистема и a4 = 5a1 +2a2 2a3; a5 = a1 + a2 + a3:

Пример 15. Из следующих систем векторов выберите максимальные линейно-

Так как ранг данной матрицы равен 4, то максимальной линейно-независимой подсистемой будет подсистема из векторов a1; a2; a3; a4, а также подсистема векторов a1; a2; a3; a5:

Пример 16. Найдите линейную зависимость системы векторов: a1 = (1; 2; 3; 0), a2 = ( 1; 0; 3; 4), a3 = (2; 1; 5; 7), a4 = (2; 1; 11; 11), а также базис и ранг этой системы.

Ранг системы с a1;a2;a3;a4 равен рангу матрицы, строками которой будут вектора a1;a2;a3;a4. Составим матрицу:

01

21 11 11

Ранг данной матрицы равен 3. Тогда ранг системы a1;a2;a3;a4 тоже равен 3.

Найдем линейную зависимость векторов. По определению линейной зависимости существуют числа k1;k2;k3;k4 такие, что

k1a1 + k2a2 + k3a3 + k4a4 = ;

27

где – нулевой вектор. Запишем равенство в виде:

Приравняв вектора левой и правой сторон, получим систему:

Пример 17. Найдите линейное пространство решений (указав его базис) системы линейных однородных уравнений.

:

Решим систему методом Гаусса. При этом столбец из свободных коэффициентов системы можно не писать, так как все коэффициенты равны 0.

28

:8x3 4x4 + 5x5 = 0:

Это общее решение системы. Выберем из всех два линейно независимых.

Пусть t1 = 1; t2 = 0: Тогда a1 = (-0; 5;-0; 5; 0; 5; 1; 0)T : Пусть t1 = 0; t2 = 1: Тогда a2 = (7=8; 5=8;-5=8; 0; 1)T : Линейная оболочка векторов a1; a2 будет линейным пространством всех решений системы:

L(a1; a2) = fk1a1 + k2a2jk1; k2 2 Rg;

где

a1 = ( 0; 5; 0; 5; 0; 5; 1; 0)T ; a2 = (7=8; 5=8; 5=8; 0; 1)T :

Пример 18. Найдите базис и размерность линейного пространства L матриц 2-го порядка с комплексными элементами:

a)над полем C;

b)над полем R:

а) Для нашей цели достаточно найти линейно независимую над полем C систему матриц, через которую линейно выражается любая матрица из L: Так как при любых

Кроме того, система матриц E1; E2; E3; E4 линейно независима и является базой пространства L: Отсюда следует, что размерность пространства L равна 4.

b) В этом случае матрицы E1; E2; E3; E4 не образуют базиса, так как, умножая их на действительные числа и складывая полученные при этом матрицы, мы сможем получить лишь матрицы с действительными элементами, а не любую матрицу из L:

29

b1; b2; b3; b4: Рассматриваемая система матриц E1; E2; E3; E4; iE1; iE2; iE3; iE4 линейно

dim L = 8:

Замечание. Из решения задачи видно, что одно и то же множество, рассматриваемое как линейное пространство над разными полями, имеет различную размерность. В данном случае это связано с тем, что поле C само является линейным пространством

ложение вектора x = (3; 5; 1; 10) в этом базисе. Проверим, что x1; x2; x3; x4 образует базис:

Найдем разложение вектора x = (3; 5; 1; 10) в этом базисе, т.е. найдем такие

Это равенство приводит к системе уравнений

8

>1 + 2 3 4 = 3;

>

< 2 1 + 2 + 3 4 = 5;

> 1 2 2 3 = 1;

>

: 3 1 2 2 + 3 + 4 = 10:

Решением этой системы является 1 = 2; 2 = 1; 3 = 1; 4 = 1. Таким образом, x = 2x1 x2 + x3 + x4:

30