Элементы линейной алгебры. Линейные пространства. Учебное пособие

v1 = ( 4; 4; 1; 1);

v1 = (0; 4; 4; 5);

v1 = ( 1; 2; 5; 5);

16.

v2 = (1; 2; 2; 2);

17.

v2 = (0; 2; 5; 0);

18.

v2 = ( 2; 5; 5; 1);

v3 = ( 1; 3; 2; 5);

v3 = ( 5; 4; 4; 3);

v3 = (3; 3; 5; 2);

v4 = (2; 2; 4; 4);

v4 = (3; 2; 2; 2);

v4 = ( 3; 1; 5; 4);

u = ( 5; 1; 3; 3)

u = ( 1; 1; 4; 3)

u = (3; 1; 2; 4)

v1 = ( 5; 1; 3; 2);

v1 = (0; 2; 2; 4);

v1 = (2; 4; 3; 5);

v2 = (5; 2; 5; 5);

v2 = ( 3; 4; 3; 4);

v2 = (0; 3; 5; 1);

19.

v3 = (0; 5; 5; 4);

20.

v3 = ( 5; 4; 3; 3);

21. (5; 3; 5; 2);

v4 = (3; 3; 1; 1);

v4 = (2; 4; 5; 0);

v4 = (4; 4; 4; 1);

u = (0; 4; 3; 3)

u = (1; 3; 3; 4)

u = ( 1; 1; 2; 3)

v1 = ( 3; 2; 3; 1);

v1 = ( 2; 3; 4; 3);

v1 = (5; 5; 0; 1);

22.

v2 = (3; 1; 1; 3);

23.

v2 = ( 3; 0; 3; 5);

24.

v2 = (2; 3; 0; 0);

v3 = (5; 2; 4; 0);

v3 = (4; 5; 4; 5);

v3 = (5; 0; 3; 2);

v4 = (4; 2; 0; 2);

v4 = ( 3; 2; 5; 5);

v4 = (1; 2; 5; 3);

u = (2; 3; 5; 1)

u = (1; 1; 5; 5)

u = (2; 1; 3; 4)

v1 = ( 3; 1; 5; 2);

v1 = (4; 4; 5; 3);

v1 = ( 2; 3; 2; 5);

25.

v2 = (1; 1; 0; 5);

26.

v2 = (4; 1; 1; 5);

27.

v2 = ( 2; 5; 1; 0);

v3 = (3; 2; 2; 2);

v3 = ( 3; 1; 3; 5);

v3 = ( 5; 3; 5; 2);

v4 = (0; 4; 5; 5);

v4 = (4; 4; 1; 1);

v4 = ( 1; 4; 5; 1);

u = (2; 3; 4; 2)

u = ( 2; 1; 2; 1)

u = ( 4; 5; 1; 5)

v1 = (1; 1; 4; 1);

v1 = ( 2; 4; 2; 0);

v1 = ( 5; 4; 4; 4);

28.

v2 = (1; 2; 5; 4);

29.

v2 = ( 1; 4; 3; 3);

30.

v2 = ( 2; 4; 2; 0);

v3 = (5; 1; 3; 4);

v3 = (3; 0; 0; 5);

v3 = ( 3; 3; 2; 4);

v4 = (4; 4; 2; 1);

v4 = ( 5; 1; 4; 2);

v4 = ( 1; 3; 5; 3);

u = (2; 5; 1; 5)

u = (1; 3; 3; 4)

u = (5; 5; 1; 0)

2

4

3 1

2

3

1. A1 =

3

3

; A2 =

4

2

; A3 =

2

3

;

1

4

1

2

A4 =

1

3

,

A =

3

3 .

4

3

1

2

1

4

2. A1 =

2

1

0

; A2 =

2

2

; A3 =

3

3

;

3

4

3

A4 =

3

1 ,

A =

3 1 .

2 2

3 2

2

1

3. A1 =

0

2

; A2 =

3 3

; A3 =

2

1

;

3 3

4 2

A4 =

1 1

,

A =

0 3 .

2

1

4

3

4

3

4. A1 =

2

2

2

; A2 =

1

1

; A3 =

3

1

;

2

5

2

A4 =

3 0 ,

A =

1 3 .

1 3

0

3

3

2

5. A1 =

2

3

; A2 =

1

1

; A3 =

2

3

;

2

4

3

4

A4 =

1 3 ,

A =

3

3 .

1 3

1

3

1

2

6. A1 =

0

1

; A2 =

2

1

; A3 =

2

1

;

2

4

4

1

A4 =

3

1 ,

A =

3 5 .

3 1

3

3

2

2

7. A1 =

0

1

; A2 =

3

3

; A3 =

3

3

;

4

1

2

0

A4 =

4

1 ,

A =

2 5 .

4

3

3

4

1 3

8. A1 =

3

1

; A2 =

3

4

; A3 =

1

1

;

0

4

2

2

A4 =

4 3 ,

A =

4

3 .

3

2

1

2

3 2

9. A1 =

2 1

; A2 =

4

3

; A3 =

2

3

;

3

0

4 2

A4 =

2

1 ,

A =

4 2 .

1

1

3

0

1

1

10. A1 =

2

2

;

A2 =

2

3

; A3 =

2

3

;

2 2

4 2

A4 =

2 1

,

A =

4 1 .

3 1

3 4

1 3

11. A1 =

1

0

;

A2 =

1

3

;

A3 =

3

4

;

A4 = 3 3 ,

A =

4 2 .

1

1

4

3

3

3

3 1

1

1

12. A1 =

1

1

;

A2 =

3

2

;

A3 =

3

3

;

3

3

1

3

A4 =

2 0

,

A =

2

1 .

1 1

0 2

3 1

13. A1 =

3

1

;

A2 =

4

1

;

A3 =

2

2

;

1 4

2

4

A4 =

1 1 ,

A =

3 1 .

4 1

1 2

3 0

14. A1 =

3

4

;

A2 =

2

3

;

A3 =

2

2

;

1

1

3

4

A4 =

4

4 ,

A =

4

1 .

3 3

2 3

4

4

15. A1 =

2

1

;

A2 =

2

3

;

A3 =

4

3

;

2

0

4

5

A4 =

1

3 ,

A =

1 4 .

2 1

3 2

2

4

16. A1 =

0

3

;

A2 =

3

3

;

A3 =

4

2

;

4

1

1

4

A4 =

2

3 ,

A =

5

1 .

4 4

3 0

4 3

17. A1 =

4

2

;

A2 =

3

2

;

A3 =

3

2

;

2

4

1

1

A4 =

3

1 ,

A =

3

1 .

3 1

2

2

2

3

18. A1 =

2

4

;

A2 =

1

2

;

A3 =

0

3

;

2 1

4 3

A4 =

1 1

,

A =

0

3 .

2 2

1 2

1 0

19. A1 =

3

2

;

A2 =

3

2

;

A3 =

4

3

;

3

4

4

2

A4 =

3 3 ,

A =

3

1 .

1 1

3

3

3

3

20. A1 =

3

3

;

A2 =

4

0

;

A3 =

2

2

;

4

2

1

5

A4 =

1

1 ,

A =

3

5 .

3

4 2

2

0

3

21. A1 =

4

1

;

A2 =

1

3

;

A3 =

3

2

;

2 1

5 2

A4 =

4

2 ,

A =

5

1 .

1 4

2 2

1 3

22. A1 =

1

1

;

A2 =

1

2

;

A3 =

4 0

;

1 2

3 3

A4 =

3

3 ,

A =

0 4 .

2 0

4

3

2 2

23. A1 =

3

2

;

A2 =

3

3

;

A3 =

1

1

;

A4 = 3 1 ,

A = 4 3 .

3

4

4

1

2 0

4 1

1 2

24. A1 =

1

1

;

A2 =

3

1

;

A3 =

3

4

;

3 1

3

4

A4 =

1 4 ,

A =

5 4 .

1 1

3 2

3 0

25. A1 =

2 2

; A2 =

3

2

; A3 =

3

3

;

4

3

5

3

A4 =

1 3

; A =

4

2

:

3 1

3 2

2 0

26. A1 =

3 1

; A2 =

4 3

; A3 =

4 2

;

2

3

1

0

A4 =

3

3

; A =

1 2

:

27. A1 =

4

3

3

1

3

1

2 0

; A2 =

2

4

; A3 =

2

2

;

1

3

1

3

A4 =

4

1

; A =

4 1

:

3 2

3 2

2 2

28. A1 =

1

3

; A2 =

3 4

; A3 =

4

2

;

0

1

5

1

A4 =

3

1

; A =

5

2

:

1 0

3 3

1 4

29. A1 =

1 4

; A2 =

1

3

; A3 =

1

1

;

4

3

4

5

A4 =

2

3

; A =

2

1

:

30. A1 =

3

2

4

3

3

1

3

2

; A2 =

4

4

; A3 =

1

2

;

1

2

4

3

A4 =

2 0

; A =

5

2

:

2. G = ( 3; x 2; x2 x + 1);

f(x) = 3x2 + 2x + 3:

3. G = (3; x + 1; x2

+ 2x 2);

f(x) = 2x2 3x 2:

4. G = ( 3; x 2; x2 + x 3);

f(x) = x2 3x 1:

5. G = (3; x + 1; x2

+ 2x + 2);

f(x) = 3x2 3x + 1:

6. G = ( 1; x + 2; x2 + x + 1);

f(x) = 2x2 + 2x 3:

7. G = (1; x 1; x2 + 3); f(x) = x2 + 3x 3:

8. G = (3; x + 2; x2

x + 3);

f(x) = 2x2 x 1:

9. G = ( 1; x 2; x2 + x + 2);

f(x) = x2 + 2x + 1:

11. G = ( 3; x + 1; x2 + 2x 3);

f(x) = x + 1:

12. G = ( 2; x 2; x2 + 2x 2);

f(x) = 3x2 + 2x 3:

13. G = (2; x + 2; x2 1); f(x) = 2x +

3:

14. G = ( 3; x 1; x2 x + 1);

f(x) = 3x2 + 3x + 3:

15. G = (3; x 1; x2 + 2x 1);

f(x) = x2 2x:

16. G = ( 3; x 1; x2 + 2x + 1);

f(x) = 2x2 x 3:

17. G = ( 1; x + 1; x2 + 3);

f(x) = 3x 2:

18. G = (3; x + 2; x2 x + 2);

f(x) = 2x2 + 2:

19. G = ( 3; x + 2; x2 + 2x 1);

f(x) = 3x + 2:

20. G = (1; x + 2; x2 + x 1);

f(x) = 3x2 + 2x 2:

21. G = ( 1; x 2; x2 + x + 2);

f(x) = x2 + 2x + 1:

22. G = (2; x 1; x2 3); f(x) = x2 + x 3:

23. G = ( 3; x + 1; x2 + 2x 3);

f(x) = x + 1:

24. G = ( 2; x 2; x2 + 2x 2);

f(x) = 3x2 + 2x 3:

25. G = (2; x + 2; x2 1); f(x) = 2x + 3:

26. G = ( 3; x 1; x2 x + 1);

f(x) = 3x2 + 3x + 3:

27. G = (3; x 1; x2 + 2x 1);

f(x) = x2 2x:

28. G = ( 3; x 1; x2 + 2x + 1);

f(x) = 2x2 x 3:

29. G = ( 1; x + 1; x2 + 3);

f(x) = 3x 2:

30. G = (3; x + 2; x2 x + 2);

f(x) = 2x2 + 2:

1. h(x) = x3 + 2x + 2:

2. h(x) = x3 + 2x2 + x + 1:

3. h(x) = 2x3 + 2x2 + 2x + 2:

4. h(x) = x3 + x2 + 2x + 2:

5. h(x) = x3 + 2x2 + 2x + 1:

6. h(x) = x3 + x2 + x + 2:

7. h(x) = x3 + x2 + x + 1:

8. h(x) = 2x3 + 2x2 + x + 1:

9. h(x) = 2x3 + 2x2 + 2x + 1:

10. h(x) = 2x3 + 2x2 + x + 1:

11. h(x) = x3 + x2 + 2x + 1:

12. h(x) = x3 + x + 1:

13. h(x) = 2x3 + 2x2 + 2x + 1:

14. h(x) = 2x3 + 2x + 2:

15. h(x) = x3 + x2 + 2x + 1:

16. h(x) = x3 + 2x2 + x + 1:

17. h(x) = x3 + 2x2 + x + 1:

18. h(x) = 2x3 + 2x2 + x + 1:

19. h(x) = 2x3 + x + 1:

20. h(x) = x3 + x2 + 2x + 2:

21. h(x) = x3 + 2x2 + 2x + 1:

22. h(x) = x3 + x2 + x + 2:

23. h(x) = x3 + x2 + x + 1:

24. h(x) = 2x3 + 2x2 + x + 1:

25. h(x) = 2x3 + 2x2 + 2x + 1:

26. h(x) = 2x3 + 2x2 + x + 1:

27. h(x) = x3 + x2 + 2x + 1:

28. h(x) = x3 + x + 1:

29. h(x) = x3 + 2x + 2:

30. h(x) = x3 + x2 + 2x + 2:

1. v1 = ( 6; 5; 4),

v2 = (4; 1; 4),

v = (1; t; 3).

2. v1 = (3; 6; 1),

v2 = ( 5; 8; 6),

v = ( 3; 4; t).

3. v1 = (9; 8; 2),

v2 = ( 8; 1; 9),

v = (2; 1; t).

4. v1 = ( 2; 8; 2),

v2 = (2; 1; 2),

v = (6; t; 4).

5. v1 = (8; 1; 7),

v2 = ( 8; 2; 1),

v = ( 8; 6; t).

6. v1 = (3; 6; 9),

v2 = (2; 3; 3),

v = ( 5; 3; t).

7. v1 = (3; 7; 7),

v2 = (3; 8; 1),

v = ( 6; t; 6).

8. v1 = (2; 5; 1),

v2 = (3; 1; 9),

v = ( 8; 1; t).

9. v1 = (7; 1; 3),

v2 = (1; 6; 6),

v = ( 6; 8; t).

10. v1 = (3;

3; 8),

v2 = (9; 3; 7),

v = (4; t; 7).

11. v1

= (6;

1; 4),

v2

= (9; 5; 6),

v = ( 4; 6; t).

12. v1

= ( 9; 1; 4),

v2

= (9; 3; 6),

v = (4; t; 8).

13. v1

= (8;

9; 6),

v2

= (8; 7; 1),

v = (3; 2; t).

14. v1

= ( 3; 2; 8),

v2

= (8; 2; 7),

v = (4; t; 9).

15. v1 = (7; 4; 1),

v2 = (5; 1; 2),

v = (5; 7; t).

16. v1 = ( 1; 5; 6),

v2 = (7; 9; 6),

v = (3; t; 3).

17. v1 = (2; 5; 7),

v2 = (8; 4; 1),

v = ( 9; 9; t).

18. v1 = (3; 3; 7),

v2 = (5; 9; 9),

v = (1; t; 5).

19. v1 = (3; 2; 4),

v2 = (7; 5; 9),

v = (3; 8; t).

20. v1 = (7; 7; 4),

v2 = (5; 9; 6),

v = (4; t; 5).

21. v1 = (3; 6; 2),

v2 = (1; 5; 5),

v = (9; t; 9).

22. v1 = (1; 7; 1),

v2 = (8; 3; 4),

v = ( 6; t; 9).

23. v1 = ( 7; 9; 8),

v2 = (1; 3; 1),

v = ( 9; t; 6).

24. v1 = (7; 7; 1),

v2 = (1; 8; 6),

v = ( 7; t; 2).

25. v1 = (6; 8; 3),

v2 = (6; 6; 3),

v = ( 5; 3; t).

26. v1 = (5; 6; 9),

v2 = (3; 5; 5),

v = (5; t; 7).

27. v1 = (7; 9; 1),

v2 = (5; 6; 7),

v = (4; 1; t).

28. v1 = (3; 8; 7),

v2 = (2; 3; 5),

v = (4; t; 6).

29. v1 = (2; 7; 8),

v2 = (9; 5; 8),

v = ( 7; t; 9).

30. v1 = (9; 6; 9),

v2 = (1; 5; 4),

v = ( 1; t; 5).

ЗАДАНИЕ 14. Найдите размерность и базис подпространства W; заданного систе-

мой однородных линейных уравнений.

8x2

8x3

10x4

+ 7x5

= 0:

9x1

+ 9x2

+ 2x3

2x4

= 0:

1.

x1

3x2 + 9x3 + x4 2x5 = 0;

2.

8x1 + 7x2 3x3

10x4

+ x5 = 0;

x1 + 10x2

2x3 x4 + 5x5 = 0:

2x1

+ 5x2

2x4

+ 5x5

= 0:

3.

5x1

10x2 + 5x4

+ 4x5

= 0;

4.

5x1

+ 3x2

2x3

+ 9x4

+ 2x5 = 0;

8x1

6x3

10x4

6x5

= 0:

8x1 + 8x2 + 5x3

+ 10x4 x5 = 0:

5.

5x1

8x2

x3 + 4x4 = 0;

6.

5x1

+ 5x2

+ 5x3

10x4 + 7x5 = 0;

5x1

6x2

x3 4x4 9x5 = 0:

10x1

+ x3

+ 2x4

+ 8x5

= 0:

7.

2x1

7x2

5x3

4x4

= 0;

8.

x1 + x2

+ 9x3 + 10x4

+ 2x5 = 0;

9x1

7x2

2x3

5x4

+ 10x5

= 0:

5x1

x2 + 4x3

+ x4 + 8x5 = 0:

9.

5x1 6x2 + 10x3

+ 4x4

+ x5

= 0;

10.

2x1

2x2

x4

+ 4x5

= 0;

5x1

5x2

4x3

+ 8x4 + 3x5

= 0:

6x1

+ 6x2

3x3

4x4

4x5 = 0:

11.

4x1

+ 5x2

+ 7x3

6x4

x5 = 0;

12.

9x1

+ 2x2

4x4

3x5

= 0;

5x1

+ 3x3

3x4

= 0:

8x1

8x2

+ 4x3

+ 6x4

+ 9x5

= 0:

13.

4x1

+ 2x2

5x3

6x5 = 0;

14.

6x1

10x2

+ 10x3

+ 9x4

2x5 = 0;

7x1

+ 10x2 + 10x3

x5

= 0:

5x1

+ x2

2x3

+ 10x4

6x5

= 0:

15.

10x1 + 4x2 5x3 + 7x4

+ 8x5

= 0;

16.

9x1

8x2

2x3

+ 8x4

+ 9x5

= 0;

5x2

+ 2x3

2x4

4x5 = 0:

4x1

+ 7x2

+ x3

7x5

= 0:

17.

3x1

6x2

+ 4x3

+ 2x4

7x5 = 0; 18.

2x1

8x2

+ 7x3

+ 10x4 + 7x5 = 0;

2x1

+ 9x2

+ 6x3

10x4

7x5 = 0:

9x2

+ 6x3

+ 5x5

= 0:

7x5 = 0;

19.

6x2

x3

2x4

4x5

= 0;

20.

7x1

2x2

+ 2x3

+ x4

2x1

+ 6x2

9x3

+ 10x4

4x5 = 0:

3x1

+ 5x2

+ 9x3

+ 8x4 + 8x5

= 0:

21.

2x1

+ x3 2x4 + 6x5

= 0;

22.

10x1 + 7x2

6x3

+ 7x4

9x5

= 0;

6x1

+ 7x2

2x3

10x4

10x5 = 0:

10x1 8x2 6x3 4x5 = 0:

23.

2x1

9x2

+ 10x3

9x4

8x5

= 0;

24.

5x1

7x2

x4

+ 10x5

= 0;

7x1

+ 5x2

2x4

= 0:

x1 2x2

+ 4x3

+ 2x4

7x5

= 0:

25.

4x1

+ 4x2

7x4

6x5

= 0;

26.

5x1

10x2

3x3

+ 2x4 + x5

= 0;

5x2

3x3

7x4

x5

= 0:

2x1

3x2

5x3

+ 6x4

+ 2x5

= 0:

27.

x1 10x2

10x3

2x4

+ 5x5

= 0;

28.

5x1

+ 3x2

2x3

+ 7x4

6x5

= 0;

3x1

10x2 + 8x3 10x4

8x5

= 0:

3x1

7x2

10x3

+ 5x4 + 5x5

= 0:

29.

9x1

+ 2x2

9x3

5x4

+ 5x5 = 0;

30.

8x1

+ 9x2

9x3

4x4

8x5

= 0;

1.

8 4y + 7x + 2z = 0;

2.

8 y + 4x + 5z = 0;

<

4y + 2x + 2z = 0;

<

5y + ax + z = 0;

2y + 3x + az = 0:

4y + 7x + 7z = 0:

:

:

3.

8 ay++ 5x + 2z = 0;

4.

8 5y + 6x + 3z = 0;

y 4x + z = 0;

ay + 7x + 7z = 0;

< 2y + 4x + 6z = 0:

< 4y + 3x + z = 0:

:

:

5.

8 ay + 4x + 5z = 0;

6.

8 6y + x + 5z = 0;

5y + 5x + 2z = 0;

2y + 2x + 3z = 0;

< 7y + 4x + z = 0:

< 5y + 7x + az = 0:

:

:

7.

8 7y + 3x + az = 0;

8.

8 2y + ax + 2z = 0;

6y + 3x + 5z = 0;

5y + 6x + 5z = 0;

< 6y + 6x + z = 0:

< 6y + 5x + z = 0:

:

:

9.

8 4y + 4x + 2z = 0;

10.

8 5y + 4x + 7z = 0;

3y + 5x + 5z = 0;

<

3y + x + 7z = 0;

< 4y + ax + 4z = 0:

2y + 2x + az = 0:

:

:

11.

8 4y + 6x + z = 0;

12.

8 y + 3x + 7z = 0;

<

2y + 2x + az = 0;

<

ay + 7x + 3z = 0;

7y + 3x + 4z = 0:

2y + 7x + 4z = 0:

: y x z = 0;

:

5y + ax + 2z = 0;

13.

8

7y++65x++4z = 0;

14.

8

3y + 6x + 2z = 0;

< y + 3x + az = 0:

<

5y + 3x + z = 0:

:

:

15.

8 4y + 7x + z = 0;

16.

8 7y + 3x + 3z = 0;

<

5y + x + 5z = 0;

<

6y + 7x + 4z = 0;

5y + 5x + az = 0:

4y + ax + 4z = 0:

:

:

17.

8 2y + 4x + 4z = 0;

18.

8 2y + x + 4z = 0;

<

7y + 6x + az = 0;

<

5y + 7x + az = 0;

5y + 2x + 5z = 0:

6y + 4x + 5z = 0:

:

:

19.

8 y + ax + 2z = 0;

20.

8 4y + x + z = 0;

<

4y + 7x + 2z = 0;

<

ay + 6x + 7z = 0;

6y + 5x + 7z = 0:

2y + 6x + 7z = 0:

:

:

21.

8 5y + x + 7z = 0;

22.

8 6y + x + 6z = 0;

<

6y + 6x + az = 0;

<

y + 7x + 7z = 0;

6y + 6x + 2z = 0:

7y + ax + 7z = 0:

:

:

23.

8 y + 7x + 6z = 0;

24.

8 7y + 5x + 7z = 0;

<

y + 7x + az = 0;

<

5y + 6x + 2z = 0;

5y + 5x + z = 0:

2y + ax + 5z = 0:

:

: