Элементы линейной алгебры. Линейные пространства. Учебное пособие

б) Найдем базис и размерность подпространства L1\L2: По определению пересечения всякий вектор из L1 \ L2 имеет вид:

x = 1a1 + 2a2 = 2b2 + 3b3:

Таким образом,

( 1; 2 1; 1) + ( 2; 2; 2) = ( 2; 2 2; 2 2) + ( 3; 3; 3 2);

или

( 1 + 2; 2 1 + 2; 1 2) = ( 2 + 3; 2 2 + 3; 2 2 3 3);

откуда получаем систему уравнений для коэффициентов 1; 2; 2; 3 :

8

< 1 + 2 = 2 + 3;

2 1 + 2 = 2 2 + 3;

: 1 2 = 2 2 3 3;

или

8

< 1 + 2 2 3 = 0;

2 1 + 2 2 2 3 = 0; : 1 2 2 2 + 3 3 = 0:

Приводя систему к лестничному виду, получим, что 2 = 2 3: Следовательно, всякий вектор x 2 L1 \ L2 имеет вид:

x= 2b2 + 3b3 = 2 3b2 + 3b3 = 3(2b2 + b3) = 3(3; 5; 1);

т.е. вектор (3; 5; 1) составляет базис подпространства L1 \ L2, так что dim L1 \ L2 = 1: в) По определению суммы подпространств всякий вектор суммы L1 + L2 имеет вид

y = x1 + x2; где x1 2 L(a1; a2); x2 2 L(bb; b3); и потому y = 1a1 + 2a2 + 3b2 + 4b3; т. е. L1 + L2 есть линейная оболочка системы векторов a1; a2; b2; b3: Поэтому чтобы найти базис L1 + L2; нужно выделить в этой системе базис. Составляя и преобразуя матрицу со строками a1; a2; b2; b3 имеем:

01

Отсюда заключаем, что система векторов a1; a2; b2 является одним из базисов подпространства L1 + L2; так что dim(L1 + L2) = 3: Проверка: dim L1 + dim L2 dim(L1 \L2) = = 2 + 2 1 = 3 = dim(L1 + L2):

Пример 32. Найти размерность и базис суммы и пересечения подпространств V1 и V2 (в R5), если эти подпространства соответственно заданы как подпространства решений однородных систем линейных уравнений

2x1 2x2 + 2x3 + 5x4 + 7x5 = 0; x1 x2 + 4x3 + 4x4 x5 = 0;

41

3x1 3x2 + 4x3 + 8x4 + 9x5 = 0; 2x1 2x2 + 6x3 + 7x4 + x5 = 0:

Так как подпространства V1 и V2 заданы как подпространства решений однородных систем уравнений, то нетрудно найти размерность и базис их пересечения. Действительно, V1 \ V2 совпадает с подпространством решений однородной системы уравнений

8

> 2x1 2x2 + 2x3 + 5x4 + 7x5 = 0;

>

<x1 x2 + 4x3 + 4x4 x5 = 0;

> 3x1 3x2 + 4x3 + 8x4 + 9x5 = 0;

>

: 2x1 2x2 + 6x3 + 7x4 + x5 = 0;

полученной из всех уравнений исходных однородных систем, подпространства решений которых совпадают V1 и V2: Фундаментальная система решений (ФСР) данной системы уравнений состоит из векторов a1 = (1; 1; 0; 0; 0)T ; a2 = ( 4; 0; 1; 2; 0)T ; a3 = ( 10; 0; 3; 0; 2)T : Следовательно, dim(V1 \ V2) = 3:

Найдем теперь размерность и базис суммы подпространств V1 и V2: Для этого найдем сначала базисы в этих подпространствах. Так как эти подпространства заданы как подпространства решений однородных систем уравнений, то нам нужно найти фундаментальные системы решений (ФСР) этих систем уравнений. Базис (ФСР) подпространства V1 состоит из векторов e1 = (1; 1; 0; 0; 0)T ; e2 = (4; 0; 1; 2; 0)T ; e3 = ( 11; 0; 0; 3; 1)T :

Базис (ФСР) подпространства V2 состоит из векторов f1 = (10; 0; 3; 0; 2)T ; f2 = (0; 10; 3; 0; 2)T ; f3 = (0; 0; 11; 10; 4)T : Так как сумма V1 + V2 подпространств V1 и V2: совпадает с линейной оболочкой, порожденной системой векторов e1; e2; e3; f1; f2; f3; чтобы найти базис этой линейной оболочки, нужно выделить максимальную линейно независимую подсистему последней системы векторов

Значит, максимальная линейно независимая подсистема системы векторов fe1; e2; e3; f1; f2; f3g; состоит, например, из векторов fe1; e2; e3g и, следовательно, последняя система векторов есть базис в сумме V1 + V2 подпространств V1 и V2 и dim(V1 + V2) = 3:

Проверка: dim V1 + dim V2 dim(V1 \ V2) = 3 + 3 3 = 3 = dim(V1 + V2):

Пример 33. Покажите, что сумма подпространств V1 и V2 является прямой и представить вектор x = (4; 1; 0; 1) (если он принадлежит этой сумме подпространств)

a1 = (1; 1; 1; 1)T ; a2 = ( 2; 1; 1; 1)T ; a3 = (1; 0; 1; 2)T и b1 = (0; 1; 1; 1)T :

Сумма подпространств V1 и V2 будет прямой тогда и только тогда, когда пересечение этих подпространств состоит из одного нулевого вектора, то есть имеет равную нулю размерность. Сначала найдем размерности подпространств V1; V2 и V1 + V2: Так как ранг матрицы, составленную из элементов векторов a1; a2; a3; например, по столбцам

42

равен трем, то dim V1 = 3: Так как подпространство V2 порождается одним ненулевым вектором, то его размерность равна одному. Для проверки того, что подпространства V1 и V2 в прямой сумме дают все объемлющее пространство, нужно составить матрицу из базисных векторов этих подпространств, привести её к ступенчатому виду и убедиться, что она имеет максимальный ранг. Этого достаточно, поскольку в данном случае сумма размерностей заданных подпространств совпадает с размерностью R4; откуда будет следовать, что пересечение V1 и V2 тривиально. Найдем теперь размерность суммы этих подпространств

Ранг матрицы равен четырем. Значит dim(V1+V2) = dim R4 = 4: Следовательно, пересечение этих подпространств тривиально. Тем самым показано, что сумма подпространств прямая, т.е.R4 = V1 V2: Разложим теперь вектор x в линейную комбинацию векторов системы a1; a2; a3; b1

Отсюда x1 = 3; x2 = 2; x3 = 3; x4 = 2: Так как система совместна, то вектор x 2 V1 + V2: Найдем оба вектора x1 = 3a1 2a2 3a3 = (4; 1; 2; 1) и x2 = 2b1 = x x2 = (0; 2; 2; 2):

Пример 34. Докажите изоморфизм линейных пространств R1[x] и R2: Установим соответствие между векторами данных пространств следующим образом: f : ax + b ! (a; b); ax + b 2 R1[x]; (a; b) 2 R2: Легко показать, что f является биективным отображением. Для любых m(x) = a1x+b1 и n(x) = a2x+b2; принадлежащих пространству R1[x]; и для любого 2 R справедливы следующие равенства:

f(m(x) + n(x)) = f((a1x + b1) + (a2x + b2)) = f((a1 + a2)x + (b1 + b2)) = (a1 + a2; b1 + b2) =

= (a1; b1) + (a2; b2) = f(a1x + b1) + f(a2x + b2) = f(m(x)) + f(n(x));

f( m(x)) = f( (a1x+b1)) = f( a1x+ b1) = ( a1; b1) = (a1; b1) = f(a1x+b1) = f(m(x)):

Значит, f является изоморфизмом линейных пространств R1[x] и R2:

43

Глава 3

Контрольные вопросы и индивидуальные задания

3.1Контрольные вопросы

1.Сформулируйте определение линейного пространства.

2.Является ли множество R всех вещественных чисел:

а) вещественным линейным пространством; б) комплексным линейным пространством?

3.Является ли множество всех комплексных чисел: а) вещественным линейным пространством; б) комплексным линейным пространством?

4.Является ли множество всех целых чисел:

а) вещественным линейным пространством; б) комплексным линейным пространством?

5. Является ли множество всех рациональных чисел:

а) вещественным линейным пространством; б) комплексным линейным пространством?

6.Является ли множество всех линейных функций одного переменного с вещественными коэффициентами:

а) вещественным линейным пространством; б) комплексным линейным пространством?

7.Является ли множество всех многочленов от одного переменного второй степени

свещественными коэффициентами вещественным линейным пространством?

8.Является ли множество всех алгебраических многочленов от одного переменного не выше второй степени с вещественными коэффициентами вещественным линейным пространством?

9.Является ли комплексным линейным пространством множество всех алгебраических многочленов от одной переменной с комплексными коэффициентами:

а) степени не выше n; б) степени п;

в) степени выше n?

44

10 Является ли множество всех решений системы n алгебраических линейных однородных уравнений с n неизвестными является вещественным линейным пространством. Ответ обоснуйте.

11.Сформулируйте определения линейно зависимых и независимых систем векторов.

11.Сформулируйте признак линейной зависимости векторов в пространстве P n:

12.Сформулируйте определения базиса и размерности линейного пространства, координат вектора в данном базисе.

13.Может ли базис содержать нулевой элемент? Ответ обоснуйте.

14.Сколько базисов имеется в n-мерном линейном пространстве?

15.Как связаны между собой размерность пространства и число элементов базиса?

16.Сформулируйте определение матрицы перехода из базиса в базис.

17.Приведите формулу связи координат вектора в разных базисах.

18.Перечислите свойства матрицы перехода. Может ли матрица перехода от одного базиса к другому быть вырожденной? Ответ обоснуйте.

19.Сформулируйте определение и признак подпространства.

20.Является ли линейным подпространством в пространстве Matn матриц порядка n подмножество, образованное всеми:

1) матрицами с нулевой последней строкой;

2) матрицами с нулевой диагональю;

3) диагональными матрицами;

4) симметричными матрицами;

5) кососимметричными матрицами;

6) вырожденными матрицами;

7) невырожденными матрицами.

21.Сформулируйте определение линейной оболочки системы векторов.

22.Можно ли задать подпространство с помощью однородной системы линейных уравнений? Ответ обоснуйте.

23.Как осуществляется переход от одной формы описания подпространства к дру-

гой?

24.Сформулируйте определения суммы и пересечения подпространств.

25.Сформулируйте теорему о размерности суммы подпространств.

26.Какая сумма подпространств называется прямой?

27.Какое подпространство называется дополнительным к подпространству X в пространстве V?

28.Что означают слова "между элементами двух множеств установлено взаимно однозначное соответствие"?

29.Какие линейные пространства называются изоморфными?

30.Пусть E - линейное пространство размерности 8, S - подмножество из n элементов. Какие из утверждений не всегда верны?

1 . Векторы S линейно независимые и n = 8 S порождает E. 2 . Существует базис E, который содержит S S порождает E. 3 . S содержит базис E S порождает E.

4 . Векторы S - базис E S порождает E и n = 8.

45

3.2Задачи и упражения для самостоятельной работы

ЗАДАНИЕ 1. Найдите указанную линейную комбинацию v столбцов v1; v2; v3; v4:

46

47