Элементы линейной алгебры. Линейные пространства. Учебное пособие

т.е. линейная форма f представлена в виде линейной комбинации f = 1"1 + : : : +n"n линейных форм "1; "2; : : : ; "n (числа i = f(ei); i = 1; n - коэффициенты линейной комбинации). Следовательно, система линейных форм "1; "2; : : : ; "n является базисом сопряженного пространства V и dim V = dim V (для конечномерного пространства V).

1.2.26. Пусть V и V0 - линейные пространства над полем P: Линейное пространство V называется изоморфным линейному пространству V0; если существует взаимно однозначное отображение (изоморфизм)

' : V ! V0;

такое, что для любых векторов x и y из V и любого из P выполняются соотношения

'(x + y) = '(x) + '(y); '( x) = '(x):

Обозначение: V0 V (читается V0 изоморфно V:

=

1.2.27. Линейные пространства V и V0 изоморфны в том и только в том случае, когда

dimP V = dimP V0:

1.2.28. Любое n-мерное линейное пространство над полем P изоморфно линейному пространству P n:

Универсальность арифметического линейного пространства P n основана на следующих утверждениях:

1)линейное пространство V; dim V = n; для данного базиса однозначно представляется пространством координатных столбцов P n:

2)операциям линейного пространства V соответствуют матричные операции столбцов в линейном пространстве P n:

3)линейно независимым системам в линейном пространстве V соответствуют линейно независимые системы их столбцов координат в линейном пространстве P n: Таким образом, вычисления в линейных пространствах проводятся в координатах. Укажем последовательность действий при таких вычислениях.

Решение задач на языке координат: 1) выбрать, по возможности, удобный базис в линейном пространстве V над полем P ;

2)задать каждый элемент V его координатным столбцом;

3) переформулировать задачу на языке матриц в линейном пространстве P n и решить ее;

4)полученный результат сформулировать для линейного пространства V:

1.2.29.Произвольное n-мерное линейное пространство над полем P обладает свойствами двух типов:

1)индивидуальными (природа элементов, терминология, реализация законов композиции и т.д.) и

2)общими для всех n-мерных линейных пространств над полем P (сохраняющимися при изоморфизме).

В теоретических вопросах удобнее рассматривать линейные пространства с общих позиций, а в примерах - с индивидуальных.

11

1.3Линейные подпространства

1.3.1.Пусть V - линейное пространство над полем P: Непустое подмножество W V называется линейным подпространством линейного пространства V; если для любых x; y 2 V и любого 2 P справедливы включения

1: x + y 2 W;

2: x 2 W:

Данные свойства называются свойствами замкнутости множества W относительно указанных операций. Каждое линейное пространство обладает двумя подпространствами: нулевым подпространством (состоящим из одного нулевого вектора) и самим пространством. Эти подпространства называются тривиальными.

Подпространство L векторного пространства V само является векторным пространством.

B Так как ассоциативность и коммутативность выполняются для любых элементов V, то эти свойства выполняются и для L. Осталось проверить, что 0 2 L и 8x, его противоположный элемент x 2 L. Действительно, так как x 2 L ) x 2 L ) при = 0 ) 0 x 2 L ) 2 L. Так 1 2 P , и ( 1) – элемент, противоположный 1, принадлежит

P ) ( 1) x 2 L и x + ( 1) x = (1 + ( 1)) x = 0 x = ) ( 1) x = x 2 L и является противоположным к x. Остальные свойства справедливы, так как они справедливы для любых элементов V . C

1.3.2. Пусть x1; : : : ; xk - произвольные векторы из подпространства W и 1; : : : ; k - произвольные элементы из поля P: Тогда линейная комбинация

1x1 + : : : + kxk 2 W:

1.3.3.Множество всех решений однородной системы AX = с n неизвестными является линейным подпространством арифметического пространства Rn: Произвольный базис подпространства решений однородной системы линейных уравнений есть фундаментальная система решений. Размерность пространства решений однородной системы AX = с n неизвестными равна (n r); где r = rangA: Другой способ задания линейного подпространства дает понятие линейной оболочки.

1.3.4.Линейной оболочкой непустого множества X V называется множество L(X); определяемое формулой

L(X) = fx = 1x1 + : : : + kxkjxi 2 X; i 2 P; i = 1; kg;

т.е. совокупность всевозможных линейных комбинаций векторов из X: Другими словами, если a1; a2; : : : ; ak система векторов линейного пространства V; то линейной оболочкой

системы векторов a1; a2; : : : ; ak называется множество всевозможных линейных комбинаций этих векторов. Говорят, что линейная оболочка L(X) порождена множеством X или что линейная оболочка натянута на векторы a1; a2; : : : ; ak:

12

1.3.5. Теорема. Линейная оболочка L(a1; a2; : : : ; ak) является линейным подпространством пространства V:

Действительно, если векторы a и b принадлежат L; т.е. имеют представления a = 1a1 + 2a2 + : : : + kak; ba = 1a1 + 2a2 + : : : + kak;

то и векторв a + b и a имеют вид

a + b = ( 1 + 1)a1 + ( k + k)a2 + : : : + ( k + k)ak;a = ( 1)a1 + ( 2)a2 + : : : + ( k)ak:

Следовательно, они принадлежат L(a1; a2; : : : ; ak):

1.3.6.Две системы векторов линейного пространства эквивалентны тогда и только тогда, когда их линейные оболочки совпадают.

1.3.7.Переход от одного способа задания подпространства к другому. Если подпространство задано с помощью однородной системы уравнений, то фундаментальная система решений порождает линейную оболочку, совпадающую с исходным подпространством.

Наоборот, если подпространство есть линейная оболочка, порожденная некоторой системой векторов пространства Pn; то это подпространство можно задать с помощью однородной системы уравнений.

Первый способ. Пусть линейная оболочка задана системой линейно независимых векторов a1; a2; : : : ; ak: Составим систему однородных уравнений, для которой данный набор вектор-столбцов образует фундаментальную систему решений. Пусть x - произвольное решение искомой системы; оно может быть разложено в линейную комбинацию

столбцов a1; a2; : : : ; ak :

x = 1a1 + : : : + kak:

Будем рассматривать это соотношение как систему неоднородных уравнений относительно неизвестных 1; : : : ; k: Если привести эту систему к упрощенному виду, получим

Поскольку последний столбец матрицы представляет собой линейную комбинацию предыдущих столбцов, выражения расположенные в правом нижнем углу последней матрицы, должны быть раны нулю; это и есть искомая система.

Второй способ. Данный алгоритм можно несколько модифицировать. Столбец x1; : : : ; xn вектора x; стоящий в правой части расширенной матрицы заменить на единичную матрицу. После приведения основной матрицы к ступенчатому виду, строки в правой части, соответствующие нулевым строка основной матрицы, образуют строки матрицы искомой однородной системы уравнений.

13

Третий способ. Пусть матрица B состоит из вектор-столбцов, образующих базис в пространстве решений линейной системы Ax = ; (где x вектор). Тогда линейная система BT y = задаёт линейную оболочку строк матрицы A:

Поскольку каждый столбец матрицы B является решением линейной системы Ax = ; имеет место матричное равенство AB = ; которое эквивалентно равенству BT AT = : Таким образом, если матрицу BT интерпретировать как матрицу коэффициентов некоторой линейной системы, все столбцы матрицы AT; то есть строки матрицы A; будут ей удовлетворять. Осталось показать, что вектор-столбец, не принадлежащий линейной оболочке столбцов матрицы AT ; не может удовлетворять системе BT y = : Пусть nдлина вектора x; то есть количество неизвестных в исходной системе уравнений, а r = rkA: Тогда rkBT = rkB = n r; то есть система BT y = имеет ровно n (n r) = r линейно независимых решений. А поскольку rkA = r; это означает, что системе BT y = удовлетворяет лишь линейная оболочка вектор-строк матрицы A:

Рассмотрим систему векторов a1 = (a11; : : : ; a1n); : : : ; ak = (ak1; : : : ; akn); порождающих линейную оболочку L = L(a1; : : : ; ak): Составим систему уравнений

8

> a11y1 + a12y2 + : : : + a1nyn = 0;

>

< a21y1 + a22y2 + : : : + a2nyn = 0;

:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

>

>

: ak1y1 + ak2y2 + : : : + aknyn = 0:

Для данной системы уравнений можно найти фундаментальную систему решений b1 = (b11; : : : ; b1n)T ; : : : ; bp = (bp1; : : : ; bpn)T : Если p > 0; то из элементов этих векторов "по строкам"построим систему уравнений

8

> b11x1 + b12x2 + : : : + b1nxn = 0;

>

< b21x1 + b22x2 + : : : + b2nxn = 0;

:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

>

>

: bp1x1 + bp2x2 + : : : + bpnxn = 0:

Данная система уравнений всегда может быть построена. Эта система уравнений является искомой, то есть ее подпространство решений совпадает с линейной оболочкой

L= L(a1; : : : ; ak):

1.3.8.Пусть W1 и W2 - линейные подпространства линейного пространства V над

полем P: Суммой подпространств W1 и W2 называется подмножество

W1 + W2 = fx = x1 + x2jx1 2 W1; x2 2 W2g:

Представление вектора x называется разложением вектора x по подпространствам W1 и W2 . Пересечением подпространств W1 и W2 линейного пространства

V над полем P называется его подмножество

W1 \ W2 = fxjx 2 W1; x 2 W2g:

1.3.9.Теорема. Сумма и пересечение подпространств линейного пространства также являются его подпространствами.

1.3.10.Сумма подпространств есть линейная оболочка совокупности базисов слагаемых подпространств. Пусть W1 = L(a1; a2; : : : ; ak) и W2 = L(b1; b2; : : : ; bm) - линейные

14

подпространства линейного пространства V над полем P: Чтобы найти какой-нибудь базис в подпространстве W1 + W2; следует выделить какую либо максимальную линейно независимую подсистему векторов a1; a2; : : : ; ak; b1; b2; : : : ; bm: Для этого достаточно составить матрицу из координатных столбцов этих векторов и в этой матрице выделить какой-либо базисный минор. Векторы, на координатных столбцах которых находится базисный минор, образуют базис в подпространстве W1 + W2: Базисный минор можно выбирать не в исходной, а в преобразованной матрице (после выполнения последовательности элементарных преобразований строк).

1.3.11. Если подпространства W1 и W2 заданы однородными системами уравнений, то пересечение W1 \ W2 будет определяться системой. получаемой объединением всех уравнений двух систем. Любая фундаментальная система решений такой системы уравнений дает базис пересечения W1 \ W2: Если подпространства W1 и W2 заданы как линейные оболочки систем векторов W1 = L(a1; a2; : : : ; ak) и W2 = L(b1; b2; : : : ; bm); то при построении базиса пересечения W1 \ W2 этих подпространств можно перейти к описанию этих подпространств однородными системами уравнений, затем, объединяя две однородные системы в одну, найти фундаментальную систему решений объединенной системы. Для нахождения базиса пересечения W1 \ W2 можно составить векторное уравнение

x1a1 + x2a2 + : : : + xkak = y1b1 + y2b2 + : : : + ymbm

с неизвестными x1; x2; : : : ; xk; y1; y2; : : : ; ym и от него перейти к системе покоординатных уравнений. Это линейная однородная система. Построив фундаментальную систему решений этой системы, для каждого решения из ФСР вычисляем, например, левую часть векторного уравнения. Получим систему векторов, порождающую линейное пространство W1 \W2: Теперь базис в W1 \W2 можно построить, выделив в этой системе векторов максимальную линейно независимую подсистему.

1.3.12. Для любых двух линейных подпространств W1 и W2 линейного пространства V над полем P имеет место соотношение (формула Грассмана)

dim(W1 + W2) = dim W1 + dim W2 dim(W1 \ W2):

B Предположим, что W1 \ W2 6= f g: Пусть e1; : : : ; ep - базис W1 \ W2: так как пересечение W1 \ W2 является линейным подпространством и пространства W1 и пространства W2; то можно построить базисы e1; : : : ; ep; f1; : : : ; fq в W1 и e1; : : : ; ep; g1; : : : ; gr в W2: Покажем, что система векторов

e1; : : : ; ep; f1; : : : ; fq; g1; : : : ; gr

является базисом суммы W1 + W2: Данная система векторов порождает W1 + W2: Действительно, для 8x 2 W1 + W2 справедливо разложение

X X X

x = x1 + x2 = 1ei + jfj + kgk:

i j k

Данная система векторов линейно независима. Приравняем линейную комбинацию векторов данной системы к нулевому вектору

X X X

15

Перенесем треть сумму в правую часть и рассмотрим вектор

X X X

y = 1ei + jfj = kgk:

i j k

Из того, что вектор y можно представить в виде линейной комбинации как векторов из W1; так и векторов W2 вытекает, что

y 2 W1 \ W2:

Отсюда и в силу единственности разложения вектора по базису e1; : : : ; ep и линейной независимости системы f1; : : : ; fq получаем, что 1 = : : : = q = 0: Так как система векторов e1; : : : ; ep; g1; : : : ; gr линейно независима, то получаем, что 1 = : : : = p = 1 =

: : : = r = 0:

Итак, система e1; : : : ; ep; f1; : : : ; fq; g1; : : : ; gr порождает пространство W1 + W2 и линейно независима. Следовательно, это базис в W1 + W2 и dim(W1 + W2) = p + q + r: Отсюда и вытекает требуемое равенство.

В случае, когда W1 \W2 = f g доказательство проводится аналогично, но без системы e1; : : : ; ep: C

1.3.13.Сумма подпространств W1 и W2 линейного пространства V называется прямой суммой, если для каждого вектора x 2 (W1 + W2) пара векторов x1 и x2 для которой x = x1 + x2; где x1 2 W1; x2 2 W2; единственна. Обозначение: W1 W2:

1.3.14.Если пересечение линейных подпространств W1 и W2 линейного пространства V тривиально, W1 \ W2 = и dim W1 + dim W2 = dim V; то V = W1 W2:

Действительно, так как dim V = dim W1 + dim W2; то V = W1 + W2: Тем самым для

V= W1 W2:

1.3.15.Линейное пространство V разлагается в прямую сумму подпространств

W1; : : : ; Wm; если для каждого вектора x 2 V существует единственный набор x1; : : : ; xm;

такой, что xj 2 Wj; j = 1; m и x = x1 + : : : + xm: Обозначение: V = W1 : : : Wm: Представление вектора x в виде x = x1 + : : : + xm называют его разложением по

подпространствам.

Длят ого, чтобы сумма W1 + : : : + Wm; являлась прямой, необходимо и достаточно,

чтобы из условий = x1 + : : : + xm; xi 2 Wi(i = 1; m) следовало xi = (i = 1; m): Необходимость следует из определения прямой суммы.

Достаточность. Пусть для некоторого x нашлось два разложения: x = x1 +: : :+xm =

y1 + : : : + ym; где xi 2 Wi; yi 2 Wi(i = 1; m: Тогда

= (x1 y1) + : : : + (xm ym):

Из единственности разложения вектора следует, что xi = yi (i = 1; m):

1.3.16. Пусть линейное пространство V разлагается в прямую сумму подпространств W1 и W2; т.е. V = W1 W2: Тогда подпространство W2 называется дополнением подпространства W1 и, наоборот, подпространство W1 называется дополнением подпространства W2:

16

1.3.17. Для любого подпространства W из V существует дополнение в V: Дополнение нетривиального подпространства определяется не единственным образом.

1.3.18. Если dim V = n и dim W = k; то размерность любого дополнения W равна

(n k): Число (n k) называется коразмерностью подпространства W и обозначается codimVW: По определению dim W + codimVW = dim V:

1.3.19. Пусть V = W1 W2: Тогда для любого x 2 V имеет место разложение

x= x1 +x2; где x1 2 W1; x2 2 W2: Векторы x1 и x2 называются компонентами вектора

xв подпространствах W1 и W2 или проекциями вектора x на W1(2) параллельно

W2(1): Операция нахождения компоненты x1 вектора x называется проецированием вектора x на подпространство W1 параллельно подпространству W2. Операцию

1.3.20.Пусть W - линейное подпространство линейного пространства V над полем

P; x0 - некоторый вектор пространства V: Множество H всевозможных векторов вида x0 + x; где x 2 W; называется линейным многообразием (или линейным аффинным многообразием, или линейным точечным многообразием) пространства V;

полученным сдвигом подпространства W на вектор x0: Вектор x0 называется вектором сдвига, а подпространство W - направляющим подпространством линейного многообразия H: Обозначение: H = x0 + W: Итак, x0 + W = fx0 + xjx 2 Wg: О таком многообразии говорят, что оно параллельно подпространству W: Размерностью dim H линейного многообразия H называется размерность его направляющего подпространства W: Одномерное линейное многообразие называется прямой в линейном пространстве, k-мерное - k-мерной плоскостью, если 1 < k < dim V 1; и гиперплоскостью, если k = dim V 1:

1.3.21.Линейное многообразие H является подпространством (и притом совпадающим с W) только при условии x0 2 W:

1.4Переход к другому базису

1.4.1.Пусть e = (e1 : : : en) и e0 = (e10 : : : en0 ) - базисы линейного пространства V над полем P: Раскладывая векторы системы e0 по базису e; получим

17

которая называется матрицей перехода от базиса e к базису e0. Отметим, что элементы k-го столбца матрицы T совпадают с координатами вектора ek0 в базисе e:

1.4.2.Свойства матрицы перехода.

1.e0 = eT:

2.Пусть e базис пространства V; dim V = n и T 2 P n n: Набор векторов e0 = eT является

базисом V в том и только том случае, если матрица T невырожденная det T 6= 0:

3. e = e0T 1:

которое в матричной форме имеет вид

xe = T xe0 :

Умножая данное равенство слева на T 1; получим, как "новые"координаты вектора x

выражаются через "старые":

xe0 = T 1xe:

Таким образом, данные формулы задают законы, связывающие между собой координаты вектора x в штрихованном и нештрихованном базисах. Их называют формулами преобразования координат при изменении базиса линейного пространства.

1.4.3. Итак, для построения матрицы T перехода от базиса e к базису e0 нужно для каждого вектора ek0 базиса e0 найти координаты в базисе e и из них, как из столбцов, построить матрицу T: Если векторы базисов e и e0 заданы координатами в некотором базисе f; то для отыскания координат вектора ek0 в базисе e следует составить векторное равенство

ek0 = 1e1 + 2e2 + : : : + nen;

18

от него перейти к покоординатным равенствам и из полученной системы уравнений найти искомый столбец координат ( 1 2 : : : n)T вектора ek0 в базисе e: Замечая, что выполняются соотношения e = fT1 (T1 - матрица перехода от базиса f к базису e) и e0 = fT2 (T2 - матрица перехода от базиса f к базису e0), e0 = eT; получаем: e0 = fT2 =

(eT1 1)T2 = e(T1 1T2): Следовательно, T = T1 1T2 - матрица перехода от базиса e к базису e0:

Для вычисления матрицы перехода из базиса e в базис e0, если элементы базисов столбцы из P n (или координатные столбцы базисных векторов в фиксированном третьем базисе) необходимо:

1)составить матрицу из столбцов базиса e слева и e0 справа;

2)построчными преобразованиями привести левую матрицу к единичной, тогда справа будет искомая матрица перехода

(eje0) ! (EjTe!e0 ):

1.4.4.Линейное пространство над полем R называется вещественным линейным пространством.

1.4.5.Два базиса e и e0 = eT вещественного пространства V называются одинаково (противоположно) ориентированными, если det T > 0 (det T < 0):

1.4.6.Вещественное линейное пространство с выбранной на нем ориентацией называется ориентированным пространством.

1.4.7.В вещественном линейном пространстве можно ввести ровно две различные (совершенно равноправные) ориентации. Практически ориентация задается выбором и фиксацией конкретного базиса (который определяет класс эквивалентных ему базисов

-ориентацию).

19

Глава 2

Примеры решения типовых задач

Пример 1. Пусть V = R2 = f(a1; a2)ja1; a2 2 Rg: Сложение на V определим равенством

(a1; a2) + (b1; b2) = (a1 + b1; a2 + b2);

а произведение 2 P и (a1; a2) 2 V - равенством

(a1; a2) = ( a1; a2):

Является ли V действительным линейным пространством относительно заданных операций?

Проверим выполнение аксиом линейного пространства.

1. Любым двум элементам (a1; a2); (b1; b2) множества V соответствует элемент

(a1 + b1; a2 + b2);

который определяется однозначно и принадлежит множеству V: (1.1) Для любых (a1; a2); (b1; b2); (c1; c2) 2 V справедливы равенства

((a1; a2) + (b1; b2)) + (c1; c2) = (a1 + b1; a2 + b2) + (c1; c2) =

= ((a1 + b1) + c1; (a2 + b2) + c2) = (a1 + (b1 + c1); a2 + (b2 + c2)) = = (a1; a2) + (b1 + c1; b2 + c2) = (a1; a2) + ((b1; b2) + (c1; c2)):

Здесь использовано свойство ассоциативности сложения действительных чисел. (1.2.) Для любых (a1; a2); (b1; b2) 2 V справедливы равенства

(a1; a2) + (b1; b2) = (a1 + b1; a2 + b2) =

= (b1 + a1; b2 + a2) = (b1; b2) + (a1; a2):

Здесь использовано свойство коммутативности сложения действительных чисел.

(1.3.) Нулевым элементом является = (0; 0); так как он принадлежит V и для каждого элемента (a1; a2) 2 V

(a1; a2) + (0; 0) = (0; 0) + (a1; a2) = (a1; a2):

20