5Дифференциальные уравнения первого порядка

5.1Основные определения и теоремы

Уравнение, которое содержит производную называется дифференциальным. Порядок дифференциального уравнения равен максимальному порядку входящих в уравнение производных. В общем виде дифференциальное уравнение выглядит следующим образом:

F (x, y(x), y′(x), y′′(x), ..., y(n)(x)) = 0.

Если уравнение записано в виде

y(n)(x) = f(x, y(x), y′(x), y′′(x), ...) = 0,

то оно называется разрешенным относительно старшей произ-

водной. Решение дифференциального уравнения — это функция y(x), которая удовлетворяет этому уравнению (т.е. после подстановки, дифференцирования и прочих преобразований мы получим верное равенство).

Логично предположить, что для решения дифференциального уравнения нам понадобится интегрировать. Причём, если уравнение содержи только первую производную, то интегрировать придётся один раз, если уравнение содержит вторую производную, то два раза, и т.д.

Решение может быть найдено как в явной, так и в неявной форме. Если решение найдено в неявном виде

Φ(x, y(x), C1, C2, ..., Cn) = 0,

то оно называется общим интегралом дифференциального уравнения. Если же получается выразить искомую функцию явно, то полученное выражение

y = φ(x, C1, C2, ..., Cn)

называется общим решением дифференциального уравнения. Переменные Ci в решении уравнения появляются в следствие ин-

тегрирования. Частное решение — это решение дифференциального уравнения, полученное при некоторых фиксированных значениях констант Ci. Аналогично для частного интеграла.

34