1Дифференцирование функций

Производная f′(x) от функции f(x) так же является функцией, область определения f′(x) включена в область определения f(x), т.е. может быть такой же или меньше.

Определение понятия производной упирается в определения предела. Для поверхностного изучения темы и решения базовых задач, вам будет достаточно материала на страницах этого пособия. Для более глубокого понимания темы рекомендуется повторить соответствующий теоретический материал школьной программы (Рисунок 1).

Рисунок 1 — Ссылки на тематические видеоуроки к занятию: а) понятие функции; б) предел функции;

в) правила дифференцирования; г) таблица производных

Рекомендуемая литература к разделу 1 [1, 8]

1."Конспект лекций по высшей математике (в 2 ч.)", Письменный Д. Т. , 2004 г., — ч. 1, глава V, параграф 20 "Производная функции".

2."Алгебра и начала математического анализа. 10-11 класс: учебник для общеобразовательных учреждений (базовый уровень)", А.Г. Мордкович., изд-е 13-е, 2012 г. — глава 5 "Производная", параграфы 24-28.

3.Предел и производная. Видеоуроки. http://t.khr.tilda.ws/predel.

7

1.1Производные основных элементарных функций

8

1.2Правила дифференцирования

1.3Примеры решения задач

Пример 1.1. Даны функции y1(x) = sin x и y2 = x3. Найдите производные следующих функций:

1) y1(x) + y2(x), 2) y1(x) · y2(x), 3) y1(x), y2(x)

4)y2(x), 5) y1(y2(x)), 6) y2(y1(x)), y1(x)

Решение.

Для того, чтобы найти производную суммы y1 + y2, используем формулы 2 и 5 из таблицы производных и правило дифференцирования б):

1) (y1 + y2)′ = (sin x + x3)′ = (sin x)′ + (x3)′ = cos x + 3x2.

Для вычисления производной произведения и частного используем правила дифференцирования в) и г):

2) (y1·y2)′ = (sin x·x3)′ = (sin x)′·x3+sin x·(x3)′ = cos x·x3+sin x·3x2 =

9

=x3 cos x + 3x2 sin x;

3)y1 ′ = sin x ′ = (sin x)′ · x3 − sin x · (x3)′ =

y2 x3 (x3)2

Для вычисления производной от сложной функции (композиции) используется правило дифференцирования д):

10