Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Элементы математического анализа. Учебное пособие.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

771 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2322 23 > Следующая >>>

Варианты контрольных заданий

Задание 1. Составьте сложные функции а)—г), найдите их область определения и производные:

а) y = fi(fj(fk(x))), б) y = fj(fk(fi(x))),

в) y = fi+1(x) · fk(x),

г) y =	fj+1(x)	, где
г) y =	fi(x)	, где
	fi(x)
f1(x) = sin x, f2(x) = √
f1(x) = sin x, f2(x) = √			x, f3(x) = ex,

f4(x) = arccosx, f5(x) = cos x, f6(x) = 2x,

f7(x) = ctgx, f8(x) = ln x, f9(x) = x7, f10(x) = arctgx.

1.	i = 1, j = 2, k = 3.	2.	i = 2, j = 1, k = 6.
3.	i = 5, j = 6, k = 1.	4.	i = 7, j = 4, k = 6.
5.	i = 1, j = 4, k = 2.	6.	i = 2, j = 8, k = 6.
7.	i = 3, j = 6, k = 1.	8.	i = 7, j = 9, k = 6.
9.	i = 2, j = 4, k = 5.	10.	i = 7, j = 3, k = 5.
11.	i = 6, j = 3, k = 2.	12.	i = 4, j = 1, k = 6.
13.	i = 1, j = 8, k = 1.	14.	i = 7, j = 3, k = 2.
15.	i = 1, j = 3, k = 5.	16.	i = 2, j = 3, k = 6.
17.	i = 3, j = 4, k = 8.	18.	i = 7, j = 9, k = 2.
19.	i = 2, j = 4, k = 5.	20.	i = 1, j = 3, k = 4.
21.	i = 6, j = 8, k = 1.	22.	i = 5, j = 3, k = 6.
23.	i = 2, j = 8, k = 1.	24.	i = 7, j = 1, k = 2.
25.	i = 1, j = 9, k = 5.	26.	i = 4, j = 5, k = 6.
27.	i = 3, j = 7, k = 8.	28.	i = 7, j = 5, k = 1.
29.	i = 2, j = 9, k = 2.	30.	i = 6, j = 3, k = 4.

Задание 2. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = f(x), касательной к графику в точке с абсциссой x0 и заданной прямой.

1.	y = ln(x + 4)6 − 8x − 19, x0 = −3, x = −1.
2.	y = x3 + 2x2 − 4x, x0 = 0, x = xmin (абсцисса точки минимума).
3.	y = (x − 2)ex, x0 = −2, x = 1.
						π
4.	y = 8x − 4tgx − 2π + 2, x0 = −2, x =							.
							4
5.	y = ln(x + 4)8 − x + 1, x0 = −5, x = 0.
6.	y = x3 − 8x + 1, x0 = 1, x = xmax (абсцисса точки максимума).
7.	y = xe2−x2 , x0 = 2, x = 1.
8.	y = x − 2 cos x + 2π, x0 = 0, x = 2π.
9.		x2	+ 64
	y =				, x0 = 4, x = 1.

			x
10.	y = x +			225		+ 6, x0 = 5, x = 20.

				x

11.y = 6 ln(x − 4) − x + 2, x0 = 7, x = 20.

12.y = x3 −9x2 +24x−15, x0 = 3, x = xmin (абсцисса точки минимума).

13.y = (x − 1)e−x, x0 = 0, x = 2.

14.y = x√x − 3x + 1, x0 = 1, x = xmin (абсцисса точки минимума).

15.y = 4 ln (x + 5) − 2x − 3, x0 = −1, x = 5.

16.y = x3 − 3x2 − 6x, x0 = 0, x = xmax (абсцисса точки максимума).

17. y = x − x + 25, x0 = −5, y = 0.

18. y = x(x − 1)2, x0 = 0, x = xmin (абсцисса точки минимума).

√

19. y = 2 1 − x + x, x0 = −2, x = 1.

√

20.y = 2x 1 − x2, x0 = 0, x = 1.

21.y = ln x6 − 8x + 13, x0 = 1, x = 3.

22.y = x4 − 4x + 1, x0 = 0, x = xmin (абсцисса точки минимума).

23.y = (2x − 1)ex2−x, x0 = 1, x = 0.

24.y = x22 + x1 ,√x0 = 2, x = xmin (абсцисса точки минимума).

25.y = x2 − 4 x, x0 = 2, x = 0. x = xmin (абсцисса точки минимума).

Задание 3. Найдите общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения; найдите частное решение (частный интеграл), соответствующий данным начальным условиям.

1.	(1 + ex)y′ = yex, y(0) = 1.
2.	(1 + x3)dy = x2y4dx,								y(0) = −1.
3.	y′ − yex = (x + 1)eex,								y(0) = 0.
4.	y′	= 3x2y − xex3 , y(0) = 5.
5.	y3y′ = x(y4 + 1)ex2 ,								y(0) = 0.
6.	sin2 xdy = eydx, y (π/2) = 0.
7.	y′ − y = (x2 + 1)ex,								y(0) = 3.
8.	y′	= tgxy − cos x, y(0) = 0.
9.	(1 + 2ex + e2x)y′ = y2ex, y(0) = 2.
10.	(9 + 6x2 + x4)dy = 2x cos2 ydx, y(0) = 0.
11.	(1 + ey)(x + 1)8 = y′ey, y(0) = ln 2.
12.	(1 + y)3dy = x2y4dx,								y(0) = 1.
13.	y′	− 2yx = e(x+1)2 , y(0) = 0.
14.	y′	= sin xy − 4ecos x,							y(0) = e.
15.	(y3 + 3y2 + 3y + 1)y′								= (y + 1)ex,	y(0) = 2.
16.	e−y2 sin2 xdx = ydy,								y(0) = 0.
17.	y′	− 4yx3 = (x2 + 1)ex4 , y(0) = 5.
18.	y′		y				√

		=	√		− x2e2			x, y(0) = 4.
				x
19.	(1 + 4ex + 4e2x)y′ − y2ex = 0, y(0) = 1.
20.	(9 + x4)dy = 2x3 cos2 ydx, y(0) = 0.
21.	(8 − ex)y′ = √					yex, y(0) = 0.
22.	y′	+ yex = exeex, y(0) = 0.
23.	ex	−	2yy′ = 2,				y(0) = 0.

24.	(sin x + 1)dy = 2 cos x sin2 2ydx,									y(0) = π/4.
25.	(x3 + 3x2 + 3x + 1)y′								= (y + 1)4,	y(0) = 0.

Тесты для проверки знаний

Вводный тест (рекомендуется на первом занятии)

Вопрос 1. Функция y = x3 + 5x5 является...

Выберите один или несколько вариантов:

a) убывающей;
б) возрастающей;
в) периодической;
г) нечетной;
д) четной.	√
Вопрос 2. Функция y =			является...
Вопрос 2. Функция y =		1 − x2	является...
Выберите один или несколько вариантов:
a) убывающей;
б) возрастающей;
в) периодической;
г) нечетной;
д) четной.	√
Вопрос 3. Функция y =			является...
Вопрос 3. Функция y =		8 − x3	является...

Выберите один или несколько вариантов: a) убывающей;

б) возрастающей; в) периодической; г) нечетной; д) четной.

Вопрос 4. Среди перечисленных ниже, всюду определёнными и непрерывными функциями являются...

Выберите один или несколько вариантов:

1 a) y = x2 + 4;

б) y = ex+2 ;

в) y = tg(x);

г) y = arctg(x);

д) y = sin x.

Вопрос 5. Среди перечисленных ниже, ограниченными являются...

Выберите один или несколько вариантов:

a) y = esin x;

б) y = x +1 2;

в) y = arcsin(x); г) y = arctg(x);

д) y = ln x.

Вопрос 6. Функция монотонно возрастает на промежутке, если на этом промежутке...

Выберите один вариант:

a) производная положительна; б) производная не отрицательна; в) функция положительна;

г) первообразная не отрицательна; д) первообразная положительна.

Вопрос 7. Верными являются следующие правила ...

Выберите один или несколько вариантов:

a) (uv)′

= u′v′;

б) (uv)′

= u′v′ + uv;

в) (uv)′

= u′v + v′u;

г)

′

u′v − v′u

;

u ′

u′vv+ v′u

д)

u′v + v′u

;

е)

vu ′

u′vv2

v′

′ =

−

u2 .

ж) v

Вопрос 8. На рисунке (Рисунок 40) изображены графики функции

и её производной, при этом...

Рисунок 40 — К тестовому вопросу 8

a) функция — фиолетовый, её производная — зелёный; б) функция — зелёный, её производная — фиолетовый.

Итоговый тест

Вопрос 1. Из перечисленных ниже соотношений неопределенностями являются...

Выберите один или несколько вариантов:

a) 00; б) ∞ + ∞;

в) ∞ − ∞;

г) ∞∞;

д) ∞0 ;

е) ∞ + ∞; ж) ∞∞.

Вопрос 2. Определение предела функции на бесконечности задано выражением...

Выберите один вариант:

a) ε > 0	R > 0 : x > R \|f(x) − A\| < ε;
б) ε > 0	δ > 0	:	0 < x − x0 < δ \|f(x) − A\| < ε;
в) ε > 0	δ > 0	:	0 < x0 − x < δ \|f(x) − A\| < ε;

г) ε > 0 δ > 0 : 0 < |x − x0| < δ |f(x) − A| < ε.

Вопрос 3. Порядок малости величин верно определён в случае...

Выберите один или несколько вариантов:

a) x2 = o(sin x),						x → 0;
б)	√		= O(x2), x → 0;
		x
в)	√			o(sin x),		x	→	0
		x	=
				2	4x),			;
г) x = o(sin						x → 0.

Вопрос 4. Функция имеет в точке устранимый разрыв, если в этой точке...

Выберите один или несколько вариантов: a) существует конечный предел справа; б) существует конечный предел слева;

в) хотя бы один односторонний предел равен бесконечности; г) предел слева равен пределу справа;

д) значение функции в точке совпадает со значениями односторонних пределов;

е) предел функции в точке существует.

Вопрос 5. Из перечисленных, разрыв II рода в некоторой точке имеют функции...

Выберите один или несколько вариантов:

a) y =		arctgx1 − 1						;

		x2 + 1
б) y =		arctg		1		− 1
				x2					;

			x2 − 1
в) y =		sin x			;

		x2 − 1
г) y =			1				;
	sin x − 1
д) y =		x	− 1		;
		2
		x2	− 1
е) y =	x − 1				.
	x − 1

Вопрос 6. Верными утверждениями являются...

Выберите один или несколько вариантов:

a) Приращение касательной к функции в точке равно дифференциалу функции этой точке;

б) Угол между осью Ох и касательной функции в некоторой точке равен производной функции в этой самой точке;

в) Тангенс угла между осью Ох и касательной функции в некоторой точке равен производной функции в этой самой точке;

г) Производная функции характеризует скорость изменения аргумента функции;

д) Производная функции характеризует скорость графика; е) Производная функции характеризует скорость изменения зна-

чения функции.

Вопрос 7. В каком из перечисленных случаев верно применено правило Лопиталя? Верными равенствами являются...

Выберите один или несколько вариантов:

a) lim

x2 + 1

= lim

(x2 + 1)′

;

ln x

→∞

(ln x)′

→∞

lim

x2 − 1

= lim

x2 − 1

′

;

б) x→1

ln x

x→1

ln x

в) lim

x2 + 1

= lim

(x2 + 1)′

;

x→0 x2 + ln x

x→0 (x2 + ln x)′

г) lim

x2 − 1

= lim

(x2 − 1)′

;

→

1 sin(x

−

x 1

(sin(x

−

1))′

→

д) lim

(x2)′

= lim

(sinx)′

0 sinx

→

Вопрос 8. Формула 2π y(x) · 1 + (y′(x))2 dx используется для вы-

числения... xA

Выберите один вариант: a) длины кривой;

б) площади поверхности вращения; в) среднего значения функции; г) центра тяжести кривой;

д) площади криволинейной трапеции.

Вопрос 9. Формула НьютонаЛейбница верно сформулирована в случае...

Выберите один вариант:

a) R f(x) dx = F (b) − F (a);

б) R f(x) dx = F (b) + F (a);

в) R f(x) dx = F (a) − F (b);

г) R f(x) dx = F (a) − F (b) + C.

Вопрос 10. Линейными дифференциальными уравнениями первого порядка являются...

Выберите один вариант:

a) y′ = x2 + y; y2

б) y = sin y′ ; x

в) y = x2 − 4y′; г) xy′ = y − x; д) y − 1 = x24y′; е) y′ = y2 − x2y.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2122 / 2322 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]