5.3Примеры решения задач
Пример 5.1. Найдите общее решение или общий интеграл уравнения
y′ = x3 . y2
Решение. Данное уравнение "разделяется":
dy |
= |
x3 |
, |
dx |
y2 |
y2dy = x3dx,
ZZ
y2dy = x3dx,
y3 = x4 + C.
3 4
Общий интеграл: y3 = x4 + C, C R; 3 4
r
общее решение: y = 3 3x4 + A, A R.
4
Пример 5.2. Найдите общее решение или общий интеграл уравнения
y′ = x + x2 . y y2
Решение. Уравнение имеет вид y′ = f xy и является однородным. Сделаем подстановку
y = u · x, y′ = u, x + u, u = |
y |
: |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
x |
|
|
|||||||||||||
|
|
u′x + u = u + |
|
1 |
|
, |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
u2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
du 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|||
u′x = |
|
|
|
x = |
|
|
|
|
|
u2du = |
|
, |
|||
u2 |
dx |
u2 |
|
|
|
x |
|||||||||
|
|
Z |
u2du = Z |
|
|
x , |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|||
u3 = ln |x| + C.
3
38
Подставим u = xy и получим общий интеграл уравнения:
y3
3x3 = ln |x| + C.
Пример 5.3. Найдите общее решение или общий интеграл уравнения y′ + 2xy = e−x2 .
Найдите частное решение этого уравнения, если задано начальное условие: y(2) = 0.
Решение. Уравнение имеет вид y′ + p(x)y = q(x) и является линейным. Сделаем подстановку
y = uv, y′ = u′v + v′u :
u′v + uv′ + 2uvx = e−x2 .
Сгруппируем слагаемые и последовательно найдём u и v:
(u′v − e−x2 ) + u(v′ + 2vx) = 0,
|
v′ + 2vx = 0, |
|||||
|
|
|
v′ = −2vx, |
|||
|
|
|
dv |
= −2vx, |
||
|
|
dx |
||||
|
dv |
= −2xdx, |
||||
|
|
|
|
|
||
Z |
|
v |
||||
|
v = − Z |
2xdx, |
||||
|
dv |
|
|
|||
ln |v| = −x2 + C,
v= Ce−x2 , v = e−x2 .
Подставим найденную функцию v в уравнение: u′v − e−x2 = 0 u′e−x2 = e−x2 ,
u′ = 1, u = x + C, y = uv = e−x2 (x + C).
39
Общее решение уравнения: y = e−x2 (x + C).
Теперь найдем частное решение для заданных начальных условий: y(2) = 0, подставим значения в общее решение, найдем C.
2 = e0 · (0 + C) C = 2
Частное решение уравнения: y = e−x2 (x + 2).
Пример 5.4. Найдите общее решение или общий интеграл уравнения
y′ + 2xy = xy3.
Решение. Уравнение имеет вид y′ + p(x)y = q(x)yn и является уравнением Бернулли. Сделаем подстановку y = uv, y′ = u′v + v′u и сгуппируем слагаемые:
u′v + u(v′ + 2vx) = xu3v3.
Найдём первый сомножитель решения:
|
v′ + 2vx = 0, |
|||
|
|
v′ = −2vx, |
||
|
dv |
= −2xdx, |
||
Z |
|
v |
||
|
v |
= − Z |
2xdx, |
|
|
dv |
|
|
|
ln |v| = −x2 + C,
v= Ce−x2 , v = e−x2 .
Подставим найденную функцию v в уравнение и найдём второй сомножитель:
u′v = xu3(v )3,
u′e−x2 = xu3e−3x2 ,
duu3 = xe−2x2 dx,
Z |
u3 = Z |
xe−2x |
dx, |
|
du |
2 |
|
40
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||
− |
|
= − |
|
e−2x + C, |
|||||||||||
2u2 |
4 |
||||||||||||||
u = ±r |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||
|
2 |
|
|
||||||||||||
e−2x2 + C |
|||||||||||||||
В итоге, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = uv = ±e−x |
r |
|
|
= ±r |
|
|
. |
||||||||
e−2x2 + C |
|
1 + Ce2x2 |
|||||||||||||
|
|
2 |
2 |
|
2 |
|
|
||||||||
Общий интеграл уравнения:
r
2
y = ± 1 + Ce2x2 .
41