Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Элементы математического анализа. Учебное пособие.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

15.08.2026

Размер:

771 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 236 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

3Первообразная и интеграл

3.1Неопределённый интеграл и его свойства

Понятие первообразной связано с понятием производной, здесь всё интуитивно понятно. В отличие от вычисления производной, нахождение первообразной является очень творческим процессом, не всегда возможным.

Функция F (x) — первообразная функции f(x), если F ′(x) = f(x) для всех допустимых значений аргумента x. Первообразная определена с точностью до постоянного слагаемого.

Совокупность всех первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом от f(x):

f(x)dx = F (x) + C, (C − const),

где f(x) - подынтегральная функция,

dx - дифференциал (приращение) аргумента, F (x) - первообразная,

f(x)dx - дифференциал первообразной.

3.2Свойства неопределённого интеграла


а)	Z	Cf(x)dx = C Z	f(x)dx = Z		f(x)dCx,
б)	Z	(f(x) + g(x))dx = Z		f(x)dx + Z		g(x)dx,

в) f(x)dx = f(x)d(x + b),

Z Z

г) f(g(x))g′(x)dx = f(g(x))dg(x),

Z Z

д) f(x) dg(x) = f(x)g(x) − g(x) df(x).

Формула д) называется "формула интегрирования по частям".

3.3Таблица интегралов


1. Z					xa+1
		xadx =					+ C, (a ̸= −1);
					a + 1
2. Z			x = ln \|x\| + C					;
			dx
3. Z					ax
		axdx =				+ C;
				ln a
4.	Z	sin xdx = − cos x + C						;

5.cos xdx = sin x + C;

sin2x = −ctgx + C

;

cos2x = tgx + C;

a2 + x2 = aarctg a

+ C;

√a2 − x2

= arcsin a + C;

x − a

+ C

10.

x2 − a2

x + a

;

11.

= ln x +

a + C;

√x2 ± a

12.

· px

x + px

+ C;

± a

dx =

± a

· ln

± a

Z pa

· pa

13.

− x

dx =

− x

· arcsin

+ C.

Понятие дифференциала функции является ключевым для понимания методов интегрирования, которые подробно и обстоятельно в этом разделе мы изучать не будем. Дифференциал связан с производной

соотношением

d(u(x)) = u′(x) dx, u′(x) = dudx.

Например

d(sin x) = cos x dx, d(x3 + cos 2x) = (3x2 − 2 sin 2x) dx.

Свойства дифференциала повторяют свойства производной.

В нашем курсе мы ограничимся заданиями умеренной сложности, вам будет достаточно материала на страницах этого пособия, воображения и терпения. Для более глубокого понимания темы рекомендуется изучить следующий теоретический материал:

1.Неопределённый интеграл, определение, условия существования, свойства, вывод таблицы интегралов.

2.Методы интегрирования дробно-рациональных, тригонометрических, иррациональных функций (Рисунок 5).

а)

б)

в)

г)

Рисунок 5 — Ссылки на тематические видеоуроки к занятию: а) простейшие приёмы интегрирования;

б) интегрирование по частям; в) интегрирование дробей; г) интегрирование тригонометрии

Рекомендуемая литература

1."Алгебра и начала математического анализа. 10-11 класс: учебник для общеобразовательных учреждений (базовый уровень)", А.Г. Мордкович., изд-е 14-е, 2013 г. — Глава 8 "Первообразная и интеграл", параграф 48 "Первообразная".

2."Конспект лекций по высшей математике (в 2 ч.)", Письменный Д. Т., 2001 г., — ч. 1, глава VII "Неопределённый интеграл".

3.Интеграл. Видеоуроки. http://t.khr.tilda.ws/integrallecture

3.4Упражнения к разделу 3

3.1. Найдите интегралы а)-з) с помощью таблицы.

а)

Z √x dx;

б) Z

x2 ;

г) Z

в)

10x+1 dx;

2xex dx;

д)

Z 3, 4x−0,17dx;

е) Z

x2 + 4;

2dx

з) Z

ж)

;

5 − x2 dx.

x2 1

−

3.2. Найдите интегралы а)-з) с помощью таблицы и основных свойств.

а) Z

√

− x2ex

б) Z

;

√4 − 4x2 ;

в) Z p

dx;

г) Z (x + √

− 3x5) dx;

5x2 + 20

д) Z

+ tg 5) dx;

е) Z

x2(3 + 4x)2 dx;

(

−

sin2 x

ж) Z (

(√

з) Z r

√3−x

3x)2

dx;

x√

dx.

3.3. Найдите интегралы а)-е), используя линейность дифференциала:

dx = d(x + a), dx =

d(ax).

Z √3 4x + 5 dx;

а)

б)

x2 + 2x + 1;

sin (2 − 3x) dx;

в)

г)

3 − 2x − x2 dx;

Z (5 − 7x)9 dx;

д)

е)

x2 + 2x + 10

3.4. Найдите дифференциал функции, если известна ее производная. d(f(x)) = f′(x)dx

а)

xdx;

б) exdx;

в)

−

;

г)

;

д)

√

;

е)

√

;

cos2 5x

1 − 4x2

ж)

sin 2xdx;

з)

4(x − 4)3dx;

и)

dx.

(x + 3)2

3.5. Найдите интегралы а)-е), проявив смекалку.

а)

sin 3x cos 5x dx;

б)

(x2 + 4x + 5)dx

;

x + 2

в)

sin2 (2 − 3x) dx;

г)

tg2x dx;

x) dx

(2x + 3) dx

(1 + cos

д)

;

е)

(x2 + 3x + 5)2

1 − cos4 x

3.6. Найдите интегралы а)-з), сделав замену переменной

Z f(g(x))g′(x)dx = Z f(g(x))dg(x).

2 x dx

а)

3x2 sin x3 dx;

б)

;

2 x

в)

x√

;

г)

tg x dx

;

x dx

sin

cos

cos2 x

д)

ln x sin (ln

x) dx

;

е)

sin xearctg(cos x) dx

;

1 + cos2 x2

ж)

cos x sin(ln (sin x)) dx

;

з)

2x sin (arctgx

) dx

sin x

1 + x4

3.7. Найдите интегралы а)-е), используя формулу интегрирования по


частям Z			f(x) dg(x) = f(x)g(x) − Z				g(x) df(x).		Z
а)	Z	x cos x dx;		б)	Z	ln x dx;		в)	Z	x2 sin x dx;
г)	Z	ex sin x dx;		д)	Z	cos ln x dx;		е)	Z	arcsinx dx.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 236 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]