6.4Правило Лопиталя

Здесь речь пойдёт о замечательной теореме, в которой для вычисления предела используется дифференцирование.

Правило Лопиталя (для вычисления пределов). Пусть функции f(x) и g(x) обе являются бесконечно малыми или обе являются бесконечно большими в окрестности некоторой точки x = a. Тогда предел отношения этих функций равен пределу отношения их производных:

Рисунок 23 — Ссылка на тематические видеоуроки: примеры использования правила Лопиталя

Рекомендуемая литература к разделу 6 [1, 8]

1."Алгебра и начала математического анализа. 10-11 класс: учебник для общеобразовательных учреждений (базовый уровень)", А.Г. Мордкович., изд-е 13-е, 2012 г. — глава 5 "Производная", параграф 26.

1."Конспект лекций по высшей математике (в 2 ч.)", Письменный Д. Т., 2001 г., — ч. 1, глава V "Введение в анализ", параграфы 16–18, 25.

3. Предел и производная. Видеоуроки. http://t.khr.tilda.ws/predel

48

6.5Примеры решения задач

49

Пример 6.3. Вычислить предел, используя правило Лопиталя:

lim x · ln x.

x→+0

Решение. Для того, чтобы использовать правило в данном случае, следует преобразовать произведение в дробь, а для этого один из сомножителей необходимо убрать в знаменатель. Так как сомножителей два, то возможны два варианта. В такой ситуации нет ничего плохого в том, чтобы пробовать случайный вариант и оценивать прогресс.

Неверный выбор:

невооруженным глазом видно, что стало хуже, чем было. Верный выбор:

Пример 6.4. Вычислить предел, используя правило Лопиталя:

lim (x − ln x).

x→∞

Решение. Для того, чтобы использовать правило в данном случае, следует преобразовать разность в дробь. Как один из способов, можно записать каждое слагаемое в виде дроби и привести к общему знаменателю, но в таком прямом подходе есть минусы — выражение может получиться драконообразным:

В случае с логарифмами, есть один удачный способ преобразования разности в отношение:

50

= lim ln ex

x→∞ 1

Пример 6.5. Вычислить предел, используя правило Лопиталя:

Решение. Преобразуем разность в дробь, используя связь тангенса и котангенса:

Пример 6.6. Вычислить предел, используя правило Лопиталя:

1

lim(3 − x)x−2 .

x→2

Решение. Для того, чтобы показательно-степенное выражение преобразовать в дробь используется основное логарифмическое тождество:

а затем вычисляется предел уже только от степени.

x→2

Пример 6.7. Вычислить предел, используя правило Лопиталя:

lim xsin x.

x→0

Решение.

lim xsin x = [00] = lim eln xsin x = lim esin x ln x =

51