Чтобы найти частное решение дифференциального уравнения, формулируется задача Коши, которая включает n условий на значение функции и её производных в некоторой точке:
F (x, y(x), y′(x), y′′(x), ..., y(n)(x)) = 0,
y(xo) = yo, y′(xo) = y1, y′′(xo) = y2, ..., y(n−1)(xo) = yn−1.
Теорема о единственности решения задачи Коши.
Если функция F (x, y(x), y′(x), y′′(x), ..., y(n)(x)) = 0 и все её частные производные Fy′, Fy′(i) , i < n непрерывны в некоторой области, то для всякой точки этой области существует единственное решение, удовлетворяющее задаче Коши.
Если условия теоремы не выполняются, то решение может и быть, но не единственное. Такие решения называются особыми.
Рекомендуемая литература к разделу 5 [2]
1."Конспект лекций по высшей математике (в 2 ч.)", Письменный Д. Т., 2005 г., — Ч. 2, глава I "Дифференциальные уравнения параграфы 1, 2.
2.Дифференциальные уравнения. Видеоуроки. http://t.khr.tilda.ws/difurlecture
5.2Некоторые виды дифференциальных уравнений первого порядка и методы их решения
5.2.1Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение прервого порядка имеет вид
F (x, y, y′) = 0.
Если уравнение может быть приведено к виду
f(x)dx = g(y)dy,
то оно называется уравнением с разделяющимися переменными и решается непосредственным интегрированием обоих частей:
ZZ
f(x)dx = g(y)dy f(x)dx = g(y)dy.
35
5.2.2Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
Если уравнение может быть приведено к виду
y′ = f xy
то оно называется однородным. Для решения такого уравнения используется замена
y(x) = u(x) · x, y′ = u′x + u,
которая сводит однородное уравнение к уравнению с разделяющимися переменными:
y′ = f |
y |
y = ux |
u′x + u = f(u) |
du |
|
dx |
||
|
|
= |
|
|
. |
|||
x |
f(u) − u |
x |
||||||
5.2.3Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнение, которое можно привести к виду
y′ + p(x)y = q(x)
называется линейным.
Для решения линейного уравнения можно использовать подстановку y = u(x) · v(x), которая сводит его к двум уравнениям с разделяющимися переменными:
y = u(x) · v(x), y′ = u′v + v′u
y′ + p(x) · y = q(x) u′v + v′u + puv = q,
(u′v − q) + (v′ + pv)u = 0.
Первый шаг решения заключается в том, что мы ищем функцию v такую, чтобы второе слагаемое "занулилось" и тут всегда будет достаточно предсказуемое уравнение с разделяющимися переменными:
v′ + pv = 0 |
|
dv |
||
|
|
= −pdx, |
||
|
v |
|||
ln |v| = − Z |
pdx |
|
v = e− R pdx. |
|
36
Затем, когда найдена одна часть решения, мы подставляем её в уравнение и ищем вторую и на этот раз в общем виде:
u′v − q + (v′ + pv)u = 0 u′v = q,
du = |
q |
dx |
u = Z |
q |
dx, |
||
v |
v |
||||||
y = e− R |
pdx · Z |
q |
dx. |
||||
v |
|||||||
Выглядит устрашающе, но на практике всё не так уж и драматично.
5.2.4Уравнение Бернулли
Уравнение Бурнулли отличается от линейного уравнения степенным множителем в правой части и имеет вид
y′ + p(x) · y = q(x)yn.
Уравнение Бернулли можно решить тем же методом, что и линейное:
y = u(x) · v(x), y′ = u′v + v′u,
u′v + v′u + p(x) · uv = q(x)unvn,
(uv′ − q(x)unvn) + v(u′ + p(x) · u) = 0,
u′ + p(x) · u = 0 u , u v′ − q(x)(u )nvn = 0 v,
y(x) = u (x) · v(x).
Ниже вы найдёте ссылки на видеоуроки, где подробно решены несколько задач по каждой из тем (Рисунок 20).
а) |
б) |
в) |
г) |
Рисунок 20 — Ссылки на тематические видеоуроки к занятию: а) уравнения с разделяющимися переменными; б) однородные дифференциальные уравнения;
в) линейные дифференциальные уравнения; г) уравнения Бернулли
37