Дискретная математика основные теоретико-множественные конструкции. Ч.VI. Учебное пособие

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

Кафедра инженерной кибернетики

Ю.Ю. Прокопчук А.И. Широков В.А. Грузман

Дискретная математика

Основные теоретико-множественные конструкции

Часть VI

Учебное пособие

Под редакцией профессора Н.В. Крапухиной

Допущено учебно-методическим объединением по образованию в области прикладной математики

и управления качеством в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по направлению 231300 – Прикладная математика

Москва 2013

УДК 591.45 П78

Р е ц е н з е н т д-р техн. наук, проф. Л.П. Рябов (МГГА)

Прокопчук, Ю.Ю.

П78 Дискретная математика : основные теоретико-множест- венные конструкции. Ч. VI : учеб. пособие / Ю.Ю. Прокопчук, А.И. Широков, В.А. Грузман ; под ред. Н.В. Крапухиной. – М. : Изд. Дом МИСиС, 2013. – 183 с.

ISBN 978-5-87623-708-8

Пособие представляет собой VI часть раздела «Основные теоретико- множественные конструкции дискретной математики».

В гл. XI рассматриваются следующие понятия: композиции функций (§1); функции, обратные к данной (§2), и отображения (§3). В главе ХII рассматри- ваются многоместные функции. В §1 изучаются произвольные многоместные, в частности, n-местные функции, где nN+; свойства таких функций и по- строенные на их основе «функциональные» конструкции (такие как суперпо- зиция, парциальные подфункции и т.д.). В §2 исследуются многоместные ал- гебраические операции и их свойства, а также понятия «группоид» и его «глав- ные элементы»; §3 посвящен лаконичному обзору бинарных алгебраических операций и построенных на их базе основных видов группоидов. В §4 рассмат- риваются задачи анализа и синтеза группоидов и иллюстрируются их решения.

К каждому параграфу приведены упражнения, решения большинства из которых подробно разобраны.

Содержание пособия соответствует программе курсов «Основы матема- тической логики» и «Алгоритмы дискретной математики».

Предназначено для студентов специальностей 220700, 230100, 230400, 230700 и 231300.

УДК 591.45

2

3

4

Памяти Николая Евгеньевича Емельянова

От авторов

Данное пособие авторы посвящают светлой памяти Николая Евгеньевича Емельянова, профессора Московского института стали и сплавов (МИСиС), скончавшегося после тяжелой и про- должительной болезни 14 октября 2010 г.

Н.Е. Емельянов работал на кафедре инженерной кибернетики (КИК) МИСиС с 1978 г. в должностях старшего преподавателя, доцента, а с 1989 до 2010 г. – профессора. На протяжении боль- шого периода времени Николай Евгеньевич возглавлял (в част- ности, на кафедре ИК) научное направление, носящее название «Модели, методы и средства построения информационных сис- тем». За цикл работ по этому направлению и их массовому вне- дрению Н.Е. Емельянов был удостоен в 1990 г. Государственной премии Совета Министров СССР.

В период преподавания в МИСиС им было подготовлено бо- лее 1000 специалистов, работающих в отечественных и зарубеж- ных организациях. Под его непосредственным руководством за- щищено шесть кандидатских диссертаций. Приказом министра образования России В.М. Филиппова от 18 ноября 2002 г. Н.Е. Емельянову было присвоено звание «Почетный работник высшего профессионального образования» и вручен нагрудный знак «За заслуги в области образования».

Профессор Н.Е. Емельянов – автор более 180 научных и учеб- ных публикаций, в том числе 4 монографий, 10 учебных пособий и 6 изобретений.

Авторы данного труда работали рядом с Николаем Евгеньеви- чем в течение нескольких десятилетий. У них навсегда сохрани- лись самые теплые воспоминания о нем как об эрудированном специалисте, прекрасном педагоге и, что особенно важно, в выс- шей степени доброжелательном товарище.

5

Введение

Всерии наших трудов по дискретной математике [10020] впер- вые логически строгое определение одного из основных научных понятий – функции было сформулировано в пособии [17, стр.39]. Под функцией мы понимали соответствие [17, стр.13] с бинар-

ным функциональным графиком [16, стр.98]. Это определение ос-

тается в силе и во всех последующих работах указанной серии.

Впубликации [17, стр.34] даны дефиниции основных классов

функций, как-то: отображения, сюръекции, инъекции и биекции,

и установлены некоторые связи между ними1).

Вкниге [18] на базе понятий «инъекция», «биекция» и «упорядо-

ченное множество», то есть множество, рассматриваемое вместе с заданным на нем отношением порядка [20, стр.96], вводится в рас- смотрение и анализируется «количественная характеристика» мно- жества – его мощность [18, стр.16-17]. Здесь же устанавливаются мощности множеств, наиболее часто используемых в математике

иее приложениях. В работе [19] начинается разностороннее и более глубокое, чем в перечисленных выше изданиях, исследование видов

иклассов функций, которое продолжается и в данном пособии. По- знакомимся с ним более подробно.

Вгл. XI дается представление об «основных функциональных конст- рукциях», то есть сложных математических объектах, главными состав- ляющими которых являются функции. А именно, в §1 мы получаем ре- зультаты, разносторонне характеризующие уже известный нам предмет –

композицию функций [17, стр.25]. На ее основе в §2 вводится в рассмотрение и обстоятельно анализируется такое важное математиче-

ское понятие как функция, обратная к данной (обратная функция).

И, наконец, в §3 детально исследуется отдельный класс функций – ото-

бражения, который в классической математике2) [3, стр.398] отожде-

ствляется с совокупностью, состоящей только из всех функций3). Отме- тим, что в многотомном курсе «Основы математики» Н.Бурбакú, кото- рого называют Эвклидом XX-го века, именно отображения, а не функ- ции являются, с одной стороны, базовым предметом математики, а с другой – основным средством, при помощи которого исследуются ма-

тематические объекты [12, стр.11].

Если в вышеупомянутой литературе изучаются только так назы- ваемые одноместные функции, то есть функции, «зависящие» лишь от одного аргумента [13, стр.44], то в гл. ХII рассматриваются их

6

обобщения – многоместные функции, то есть такие, аргументами которых служат кортежи [13, стр.70]. Ознакомимся вкратце с ее со- держанием. В §1 гл.ХII формулируются определения основных поня- тий, вводится соответствующая терминология, описываются способы задания многоместных функций и формулируются некоторые вспо- могательные результаты. В §2 изучаются функции, относящиеся к отдельному виду многоместных функций – многоместным алгебраическим операциям, главным образом, к n-местным алгеб- раическим операциям, где n N+\{1}, то есть отображения типа Хn→Х, где Х – непустое множество [17, стр.13]. В §3 из гл.XII при- веден лаконичный обзор бинарных алгебраических операций и по- строенных на их базе основных видов группоидов. И, наконец, в §4 интерпретируются задачи анализа и синтеза группоидов, и иллюст- рируются их решения.

В каждом параграфе приведены упражнения, решения большин- ства из которых подробно разобраны.

Некоторые фрагменты, отмеченные в начале и конце звездочка- ми (*), содержат более трудный материал. Их включение в текст пре- следовало по меньшей мере следующие цели: а) сделать содержание книги более интересным для читателей с разными уровнями подго- товки, например для тех, которые могли бы получить сведения, при- веденные в этих фрагментах, из других источников; б) познакомить читателей с иными подходами и точками зрения на излагаемый ма- териал. Указанные фрагменты можно пропустить при беглом чтении без ущерба для понимания последующего.

Примечания

1)Отметим, что совокупность указанных классов хотя и является

строгой, но не представляет собой ни покрытия, ни попарно дизъ-

юнктного семейства области, состоящей только из всех функций

[16, стр.132 – 135].

2)Характерной чертой объектов, изучаемых в классической мате-

матике, является однозначность (с точностью до изоморфизма)

их структур [3, стр.397, п.7].

3)Очевидно, что класс отображений является собственным под- множеством совокупности всех функций, так как каждое отображе- ние является функцией, но отнюдь не всякая функция является ото-

бражением. Например, значение функции (1/х) типа R→R при х = 0 не определенó.

7

ГЛАВА XI. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ КОНСТРУКЦИИ

В этой главе мы детально проанализируем некоторые вопросы, связан- ные с двухместной операцией компонирования одноместных функций,

ипонятиями «обратная функция» и «отображение». При изложении мы будем использовать в основном материалы из монографий [3, стр.93–98]

и[21, стр.209–212; 218–225], а также наших пособий [10–20].

§1. Композиция функций

– функции [19, стр.9]. Из равенства (11) в п.3 §3 гл.V пособия [17, стр.26] следует, что соотношение

– верное. Из него и «условного равенства» вытекает следующая теорема:

(см. упр.2).

Пример 1. Пусть f и g – функции типа R→R, где R – множество, состоящее только из всех вещественных чисел [15, стр.14]. Согласно Теореме 1 композиция f°g функций f и g может быть задана конст-

руктивной термальной формой (g(f(x)), где x R [13, стр.69].

8

Таким образом, знакосочетания

x→g(f(x)), y=g(f(x)) и h(x)= g(f(x))

задают в равной степени функцию f°g.

Аналогичная картина имеет место и для бóльшего числа функций. Например, различные знакосочетания

x→i(h(g(f(x)))), y=i(h(g(f(x)))) и z(x)=i(h(g(f(x))))

также изображают только одну функцию f°g°h°i, то есть являются

синонимами [11, стр.48–49].

Пример 2. Терм y =df (log(sin(x2))) обозначает композицию f°g°h

функций f(x)=x2, g(x)=sin(x) и h(x)=log(x).

Несложно убедиться при помощи метода математической ин- дукции [10, стр.16–18], что Теорема 1 верна и для любого конечного [18, стр.89–93], бóльшего двух, числа функций, а именно, имеет ме- сто следующее равенство:

где n (N+\{1}), доказательство которого приведено в упр.3.

2. Теорема о тождественных композициях

Чтобы доказать биективность функций, часто применяют сле- дующую теорему3).

Теорема 1 (о тождественных композициях). Пусть X и Y – мно-

жества, а f=df<F,X,Y> и g=df<G,Y,X> – функции. Если функции f°g

и g°f – тождественные [19, стр.10], то f и g – биекции и

9

( x X)((f°g)(x)=g(f(x))) (II)

[см. соотношение (3) из п.1 Теоретической части (ТЧ)].

Ответ. Если f и g – нефункциональные соответствия, то соот- ношение (I) осмысленно и верно, а соотношение (II) неосмысленно. Если же f и g – функции, то соотношения (I) и (II) осмысленны

иравносильны.

2.Докажите Теорему 1 (о значении композиции функций).

Доказательство. Данная теорема формулируется так:

Для любых функций вида (1) и (2) из ТЧ верно:

Любопытно, что существует ее доказательство, не опирающееся на соотношение (3) из ТЧ. Приведем его, считая, что пр2F=пр1G.

В силу определений (1) и (2) из ТЧ имеем:

Из принадлежности (III) получаем: f(x)=y, а из принадлежности

(IV) – g(y)=z. Значит,

g(f(x))=g(y)=z.

С другой стороны, если x X и !g(f(x)), то положим, что g(f(x))=z. Очевидно, что из соотношения !g(f(x)) вытекает соотношение !f(x). Пусть f(x)=y. Тогда g(y)=g(f(x))=z. Отсюда легко выводятся принад- лежности (III) и (IV), из которых и следует, что (f°g)(x)=g(f(x)),

то есть <x,z> F°G.

3. Докажите равенство (4) из п.1 ТЧ при помощи метода мате-

матической индукции [10, стр.16–18].

Доказательство. Указанное равенство имеет вид:

10