Дискретная математика основные теоретико-множественные конструкции. Ч.VI. Учебное пособие

2. Инъекции

1. Пусть

– функция. Понятие инъекция может быть введено в рассмотрение, например, при помощи такой дефиниции:

Определение 1. Соответствие

f =df <F, X, Y> - инъекция ) ≡df (F – биективный график (б-график)) (2)

(см. [16; стр.102, Определение 3]).

Несложно убедиться, что критериями, или необходимыми

идостаточными условиями [2, т.3, стр.963, ст. «Необходимые

идостаточные условия»] дефиниции (2) служат утверждения

(3) – (5):

респонденции на множествах пр1F и пр2F соответственно [17, стр.13].

Доказательства соотношений (3) – (5) приведены в упр.1 и 2. Зададимся таким вопросом:

Всегда ли для произвольной функции вида (1) существует такая ф у н к ц и я

Ответ на него содержится (заключен) в следующей теореме. Теорема 1. Для любой функции вида (1) существует единственная

функция g вида (6), что равенство (7) верно в том и только том слу- чае, когда функция (1) – инъекция (см. упр.3).

Следующий вопрос, нахождением ответа на который мы будем заниматься, таков:

21

Всегда ли для п р о и з в о л ь н о й функции вида (1) существует такая функция g вида (6), что выполняется равенство

3. Определение функций, обратных к данной

Проанализируем варианты определений понятия «обратная функ- ция» для п р о и з в о л ь н о й функции

Сначала обсудим ответ на такой вопрос: какую функцию следует называть (считать) о б р а т н о й для функции (1)? Прежде всего от- метим, что функция g, обратная для функции (1), должна быть в ка- ком-то смысле «обратной» для (нее). В каком же именно? Сущест- вуют по меньшей мере две возможности: справедливо равенство (7) либо справедливо равенство (8) из п.2). Желательно, разумеется, чтобы обратная функция существовала для л ю б о й функции f. По- скольку функция g со свойством (7) из п.2 существует тогда и только тогда, когда f – инъекция (Теорема 1 из п.2 ), а функция g со свойст-

вом (8) из п.2 с у щ е с т в у е т д л я в с я к о й функции f (Теорема 2

из п.2 ), из этих свойств естественно выбрать последнее. Кроме того, хотелось бы, чтобы обратная функция была по возможности е д и н - с т в е н н о й . Функция g со свойством (8) из п.2 заведомо определена на множестве пр2F, но это не накладывает никаких ограничений на ее значения вне его. Чтобы уменьшить «разнообразие» вариантов об- ратных функций, будем считать, что

то есть равенство (8) из п.2 – верное.

22

В результате разбора этих мотивировочных предпосылок приходим,

вконце концов, к такому варианту определения обратной функции. Определение 1. Пусть тройки (1) и (6) из п.2 – функции. Послед-

нюю называют обратной для (первой), если выполняются следую- щие условия:

4. Количественные и качественные характеристики функций, обратных к данной

Рассмотрим некоторые вопросы, относящиеся к «количественной» (кл) и «качественной» (кч) сторонам функций, обратных к данной.

Существование для л ю б о й функции вида

обратной к ней и удовлетворяющей условиям (6) и (8) из п.2 доказа- но в Теореме 2 из п.2. Однако с ее единственностью дело обстоит иначе, о чем свидетельствует следующая теорема.

Теорема 1. Функция имеет е д и н с т в е н н у ю о б р а т н у ю (функцию) тогда и только тогда, когда она инъективна (см. упр.1).

Результат теоремы 1 служит таким ответом на вопрос о числе функций, обратных к данной:

1кл) Функция, обратная для инъекции, – единственная.

2кл) Существуют по меньшей мере две обратные для неинъектив- ной функции.

23

Некоторые «качественные» вопросы, относящиеся к этим «количест- венным» утверждениям, могут быть сформулированы, например, так.

1кч) Что представляет собой функция, обратная к инъекции?

2кч) Какая существует взаимосвязь между обратными к неинъек- тивной функции?

Ответы на них приведены в указанных ниже теоремах 2 и 3.

Теорема 2 Обратная функция для инъекции представляет собой ее инверсию. (см. упр.4).

Теорема 3 (достаточные условия равенства обратных функций) Если обратные функции для отображения имеют одну и ту же область значений, то они равны (см. упр.5).

Таким образом,

Обратная функция полностью характеризуется своей областью значений.

Теорема 4 (достаточные условия задания обратной функ-

ции). Для того чтобы задать функцию g, обратную для функции (1), достаточно указать такую часть U множества пр1F, к о т о р а я

д л я к а ж д о г о э л е м е н т а b пр2F с о д е р ж и т е г о е д и н - с т в е н н ы й п р о о б р а з о т н о с и т е л ь н о ф у н к ц и и ( 1 ) . За- данием такого множества U обратная функция g вполне определя- ется, то есть существует единственная функция g, обратная для f, с областью значений U

(см. упр.6).

Ответ на вопрос о числе функций, обратных к функции, имеющей

конечную область определения [18, стр.45], а следовательно, и ко-

нечную область значений, получен в упр.3.

График обратной функции охарактеризован в следующей теореме.

Теорема 5 (о графике обратной функции). Если функция g =df <G,Y,X> является обратной для функции f =df <F,X,Y>, то

(см. упр.7).

Упражнения

1. Сформулируйте детальное определение понятия

24

Незамкнутое, или неустойчивое, подмножество множества относительно одноместной функции

(см. Определение 1).

Ответ. Подмножество А множества Х называют незамкнутым,

или неустойчивым, относительно одноместной функции

если верно соотношение

( x A) (f(x) A). (II)

2. Приведите несколько иллюстраций для объектов, описанных в упр.1.

3. Докажите, что если в Определении 1 из ТЧ функция f – ото- бражение, то формула

4. Докажите, что инверсия симметричного (диагонального) кор-

тежа бинарного биективного графика [15, стр.98, упр.17 и 18] есть объект того же рода, что и исходный.

5. 1) Приведите пример фн-графика (ин-графика), инверсия которого, вообще говоря, не является фн-графиком (соответственно, ин-графиком).

*6. Дайте определение замкнутого класса относительно двухме-

стной функции [гл.XII, §1, п.2].

Ответ. Пусть Х и Y – множества, а x Х и y Y. Подмножество

U V называют устойчивым, или замкнутым, относительно двух-

местной функции g(x,y) от x y X Y, если верно соотношение

( (x<y) U V)(g(x,y) U V),

и неустойчивым, или незамкнутым, в противном случае, то есть когда верно соотношение

( <x,y> U V)(g(x,y) U V).

7. Обоснуйте следующее утверждение:

Утверждение 1. Пусть

25

– корреспонденция [17, стр.8]. Докажите следующие импликации:

(f – инъекция) (f°f-1 = Iпр F) (II)

1

вах пр1F и пр2F соответственно (см. [17, стр.13]), а f-1 – инверсия кор-

респонденции (I) [17, стр.24].

Доказательство

1) Установим, что импликация (II) – верная. Пусть корреспонден-

[16, стр.9, формула (6)]. Тогда верно соотношение !f(x). Предполо- жим, что

f(x)=y, (V)

где y пр2F. Равенство (V) эквивалентно принадлежности <x,y> F [19, стр.11], в свою очередь равнозначной формуле

<y,x> F-1. (VI)

Поскольку соответствие f-1 – инъекция2), в частности, функция, принадлежность (VI) равносильна соотношению f-1(y)=x. Отсюда, в силу соотношений (IV) и (V), получаем:

( x пр1F)(f-1(f(x))=x)

или

( x пр1F)[ ((f°f-1)(x)) = Iпр F(x)) ].

1

Из этого соотношения, согласно [19, стр.12], следует, что f°f -1 = Iпр F.

1

2) Утверждение (III) доказывается аналогично. Кроме того, по- скольку f -1°f= f -1°(f -1)-1 и пр2F=пр1F -1, импликация (III) следует из

соотношения (II) непосредственно.

8. 1) Докажите или опровергните конверсии импликаций (II) и (III) [14, стр.23, примеры] из упр.1.

2) На основании результатов, полученных в данном упражнении и упр.1, сделайте соответствующие выводы.

26

Выводы

1) Конверсия импликации (II) из упр.1 [14, стр.23] имеет вид

– верная, и покажем, что ее заключение также верное. Рассуждая при помощи «метода от противного» [21, стр.141], предположим, что функция f не является инъективным соответствием. Тогда най- дутся такие объекты

В силу принадлежности (II) соотношения !f(x) и !f(x′) – истинные. Используя равенство (III), получаем

(f°f -1)(х) = f -1(f(х)) = х,

а

(f°f -1)(х′) = f -1(f(х′)) = х′.

Принимая во внимание соотношения (III) и (IV), приходим к выво- ду, что соответствие f-1 – нефункциональное, так как для одинако- вых значений аргумента ( f(х) и f(х′) ) оно принимает различные зна- чения ( х и х′ ), что противоречит указанному в Примечании 2) факту функциональности соответствия f-1. Таким образом, предположение о неинъективности функции f – ложное. Стало быть, функция f – инъекция, что и требовалось доказать.

2) Конверсия импликации (III) из упр.1, имеющая вид

(f-1°f = Iпр F) (f – инъекция),

2

доказывается аналогично принадлежности (II).

3) Из результатов, полученных в упр.1 из п.1 и данном, следует, что справедливы следующие эквивалентности:

27

Итак, соотношения (V) и (VI) являются критериями утверждения

(f – инъекция).

9. Докажите Теорему 1 из п.2 ТЧ.

Доказательство

Упомянутая теорема формулируется так:

Для любой функции вида (1) из ТЧ существует такая функция g вида (6) из ТЧ, что равенство (7) из ТЧ верно в том и только в том случае, когда функция (1) – инъекция.

Необходимость. Покажем, что справедливо следующее утверждение:

Если для функции f вида f =df <F, X, Y>

существует такая функция g вида (6), что верно равенство (7), то f – инъекция.

Используя для его доказательства логический метод «от против- ного» [21, стр.141], предположим, что функция f н е я в л я е т с я инъекцией. Тогда найдутся такие объекты x, x′ пр1F, что

28

Отсюда следует, что g н е я в л я е т с я ф у н к ц и е й , поскольку п р и о д и н а к о в ы х значениях аргумента [см. равенство (I)] она принимает р а з л и ч н ы е значения [см. неравенство (II)].

Достаточность. Если f – инъекция, то в силу равенства (4) из ТЧ искомой функцией g может служить функция f-1.

10. Докажите Теорему 2 из п.2 ТЧ.

Доказательство

Указанная теорема формулируется так:

Для всякой функции вида (1) (из ТЧ) существует функция g вида (6) (из ТЧ),

что верно равенство (4) (из ТЧ).

Докажем ее. По определению бинарного графика [16, гл. IV, §1, п.1, Определение 1; стр.90], например бинарного графика F, вер- но следующее соотношение:

( y пр2F)( x пр1F)(<x,y> F).

Основываясь на нем, для каждого элемента y пр2F зафиксируем

д л я в с е х y пр2F, обозначим через G. Таким образом, G – бинар- ный график. Ясно, что G F-1.

Поскольку F X Y, то G Y X и, стало быть, тройка g=df<G,Y,X> – соответствие. Так как для всякого элемента y пр2F мы выбирали в точности один элемент x пр1F, то G – функциональный график, и по-

этому g – отображение типа пр2F→пр1F [17, гл.V, §2, п.1; стр.13],

то есть отображение типа пр2F→Х, в связи с тем, что пр1F Х.

Всилу принадлежности (I) существует такое x пр1F, что <x,y> F

и<y,x> G. Из этих принадлежностей следует, что f(x)=y и g(y)=x. Следовательно, f(g(y))=f(x)=y. Равенство (II) доказано.

Для дальнейшего отметим, что

Областью определения функции g вида (2) является множество пр2F.

11. Составьте гнездо синонимов [14, стр.14] соотношения

(Функция f =df <F, X, Y> – инъекция).

29

12. Пусть функция g =df <G,Y,X> – обратная для функции f=df<F,X,Y> (см. Определение 1 в п.1 ТЧ). Докажите, что

Доказательство

1)Докажем нестрогое включение (I). Пусть <x,y> G. Тогда x пр1G

иg(x)=y. В силу равенства (4) из п.2 ТЧ верно: x пр2F, а в силу соотно-

шения (6) из того же пункта – (g°f)(x)=x. Но (g°f)(x)=f(g(x))=f(y). Значит,

f(y)=x. Следовательно, <y,x> F, то есть <x,y> F-1.

2)Нестрогое включение (II) следует из нестрого включения (I) тривиальным образом.

3)Докажем предложение (III). Пусть x пр2G. Тогда существует такое y, что <y,x> G. В силу (I) имеем: <y,x> F-1, то есть <x,y> F.

Отсюда следует, что f(x)=y. Из <y,x> G вытекает, что g(y)=x. Следо-

вательно, (f°g)(x)=g(f(x))=g(y)=x.

4)Докажем утверждение (IV). Рассуждая от «противного», допус- тим, что g не является инъекцией. Поскольку по условию g – функ- ция, наше допущение означает, что график G функции g не инъекти-

вен, то есть существует такие x, y и z, для которых <x,z>,<y,z> G и x≠y. Согласно нестрогому включению (I) имеем: <x,z> F–1 и <y,z> F–1, то есть <z,x> F и <z,y> F. Следовательно, график F нефункционален, что противоречит условию.

13. Найдите необходимые и достаточные условия, которым долж- на удовлетворять функция f=df<F,X,Y>, чтобы ее л ю б а я о б р а т -

на я функция g=df<G,Y,X> была:

1)отображением;

2)сюръекцией;

3)биекцией.

Решение

Для того чтобы любая обратная к f функция была отображением, необходимо и достаточно, чтобы f была сюръекцией.

30