Дискретная математика основные теоретико-множественные конструкции. Ч.VI. Учебное пособие

Доказательство. 1) Так как в любом группоиде вида (I), где Y В, равенство

0+0=0

– верное, то число 0 является идемпотентом в каждом из них.

2) Пусть х Y и x+x=x. Тогда 2x=x, или х=0. Таким образом, число 0 – е д и н с т в е н н ы й идемпотент любого из группоидов вида (I).

10. Пусть (точка) – знак операции умножения чисел. Докажите, что только элементы 0 и 1 группоида вида

являются его идемпотентами (см. упр.9).

Доказательство. 1) Ясно, что 0 0=0 и 1 1=1, то есть числа 0 и 1 – идемпотенты группоида (I).

2) Пусть х Y и x x=x, то есть x2-x=0, или х(x-1)=0. Отсюда следу- ет, что х=0 либо х=1.

Таким образом, утверждение, сформулированное в условии дан- ного упражнения, – верное.

11. Выявите все идемпотенты группоида

GD =df <\, (Х)>, (I)

где \ – знак бинарной операции вычитания множеств [15, стр.47], а (Х) – булеан множества Х.

Решение. Пусть Y (Х) – идемпотент группоида (I). Это оз-

Поскольку Y\Y= , то равенство (II) «переходит» в равенство =Y или Y= . Так как высказывание \ = – верное, элемент (Х) яв- ляется идемпотентом (очевидно, единственным) группоида (I).

где – знак бинарной операции симметрического вычитания мно-

жеств [15, стр.49], а (Х) – булеан множества Х.

Решение. Пусть Y (Х) – идемпотент группоида (I). Это оз-

141

Поскольку Y Y= [15, стр.50, формула (3)], равенство (II) «пе- реходит» в равенство =Y, или Y= . Так как высказывание Δ= – истинное [15, стр.50, формула (3)], элемент (Х) является идемпотентом (очевидно, единственным) группоида (I).

13. Выясните, какие бинарные коннекторные операции

[13, стр.34] являются идемпотентными.

Ответ. Пусть Р – соотношение. Тогда Р Р=Р Р=Р, то есть опе- рации и – идемпотентные [14, стр.50, формулы (II,г)) и (III,г))].

14. Любой элемент группоида вида

<◊, X>,

где

◊ { , }

(см. [13, стр.34, 2. Коннекторные символы]), а Х – непустое множе- ство, состоящее только из истинностных символов [14, стр.78, §3], является идемпотентом.

Доказательство. В самом деле, справедливы равносильности следующего вида:

Р◊Р ≡ Р,

где Р Х (см. [14, стр.51, равносильности II.г) и III.г)]). 15. Докажите Утверждение 1 из п.1. Рекомендации для доказательства:

Необходимость. Предположив, что верна импликация (II) из Опреде- ления 1 в ТЧ ( то есть х – идемпотентный элемент группоида (I) ), пока-

жите, что множество {х}, где {х} X, замкнуто (относительно операции

Т) [19, стр.89, Определение 2].

Достаточность. Считая, что одноэлементное множество {х} замкнуто (относительно операции Т), докажите, что

х – идемпотентный элемент (группоида (I) ).

Ассоциативные группоиды, или полугруппы. Ассоциаторы. Моноиды

Пусть

– группоид.

142

1. Дайте определение понятию неассоциативная тройка элементов группоида.

Решение. В силу Определения 1 из ТЧ тройку

«Возвращаясь» к исходным обозначениям (IV) – (VI), получаем сле- дующее достаточные условия:

Тройка (I) элементов группоида (II) является неассоциативной, если справедлива следующая конъюнкция:

!((xTy)Tz) !(xT(yTz)) ( (xTy)Tz ≠ xT(yTz) ).

2. Докажите, что если группоид (II) – всюду определенный, то импликация (III) «переходит» в равенство (VII) или (VIII) (см. Оп-

ределение 1 в ТЧ).

143

3. Запишите на ЛМЯ определение неассоциативного воп-группоида. Ответ. Воп-группоид (II) называют неассоциативным, если хо-

тя бы одна из троек его элементов не является ассоциативной, то есть верно соотношение

(см. упр.1).

4. Охарактеризуйте ТК ассоциативного воп-группоида (II) из упр.1? Ответ. Пусть x,y,z X. Тогда во всех клетках ТК группоида с ко-

ординатами <xTy, z> и <x, yTz> должны быть расположены сино- нимичные имена элементов группоида.

5. Дайте определение понятию

Часть группоида, не являющаяся его ассоциатором.

Ответ. Часть А группоида не является его ассоциатором, если множеству А3 принадлежит по меньшей мере одна неассоциативная тройка. Отметим, что здесь элементы <xTy, z> и <x, yTz > мы семан- тически отождествляем.

6. Дайте определение понятию

Неассоциативный группоид.

Ответ В том отдельном случае, когда часть группоида, не яв- ляющаяся его ассоциатором, совпадает с группоидом, последний называют неассоциативным (см. упр.4). Группоид, например группоид (II) из упр.1, называют неассоциативным, если верно следующее соотношение

( x,y,z X)(xT(yTz) ≠ (xTy)Tz).

7. Приведите примеры группоидов с непустым либо пустым ассоциаторами.

Ответ. 1) Группоид GD1 =df <+, N> имеет ассоциатор N3. 2) Группоид GD2 =df < –, Z->, где Z- – множество всех отрицатель- ных целых чисел, имеет пустой ассоциатор.

Доказательство. Первое утверждение очевидно. Докажем вто- рое. Предположим, что тройка <x,y,z> (Z-)3 ассоциативна. Это озна- чает, что верно равенство

(x–y)–z = x–(y–z).

Отсюда получаем, что –z=z. Это равенство верно в том единственном случае, когда z=0. Но 0 Z-1.

144

8. Пусть

–воп-группоид, а D – его ассоциатор. Дайте ответы на следующие вопросы.

1)В каком теоретико-множественном отношении находятся мно- жества D и Х3 в общем случае?

2)Тот же вопрос, что и в п.1), но для случая, когда группоид (I)

–ассоциативный.

3)Тот же вопрос, что и в п.1), но для случая, когда группоид (I) не является ассоциативным.

Ответ. 1) D Х3; 2) D=Х3; 3) D Х3.

9. Найдите все ассоциативные тройки группоида

где Y =df {Q, R, K}, Q – множество всех рациональных (соответст-

венно, вещественных, комплексных) чисел [15, стр.14], а : (двоето-

чие) знак бинарной операции деления на нем.

Решение. В силу Определения 1 из п.9 ТЧ тройка <x, y, z> эле-

ментов группоида (I) – ассоциативная, если верно равенство

(x:y):z = x:(y:z).

Отсюда получаем

(x y) = (x y) z2,

или

(x y)(z2–1) = 0.

Поскольку x,y Y\{0}, то x y≠0. Поэтому z2=1, то есть z=1 либо z=–1. Таким образом, любая из троек вида <x, y, 1>, <x, y, –1> является ас- социативной относительно операции деления чисел на множестве Y\{0}.

*10. Пусть

– группоид, а a,b и c – его элементы. Всюду ниже мы будем исполь-

зовать безоперационную запись термов [14, стр.99, п.3], то есть, на-

пример, вместо термов aTb, (aTb)Тс и т.д. будем употреблять их ко- ды ab, (ab)с и т.п. Ясно, что по своему коду любой терм может быть «восстановлен» однозначно. Таким образом, коды представляют со- бой «стенограммы» термов.

145

Ассоциативность группоида (I) означает справедливость следую- щих равенств:

(aa)a=a(aa); (aa)b=a(ab);

(ab)a=a(ba); (II)

. . . . . . . . . . .

(ab)c=a(bc);

. . . . . . . . . . .

*Если Х = n, где n N+, то число указанных равенств есть n3.

Если же Х – бесконечное множество мощности m [18, стр.16 и 52],

то мощность множества всех указанных равенств представляет со- бой m [18, стр.54, Следствие из Утверждения 4]*.

Каждое равенство из их «столбца» (II) называют условием ассо-

цативности соответствующей тройки элементов группоида (I).

Справедливость условия ассоциативности для всех троек элементов группоида и означает его ассоциативность.

Постановка задачи. Требуется выяснить, являются ли независи- мыми все условия ассоциативности группоида, то есть не следует ли из выполнения некоторых из них выполнение и всех остальных?

Решение. Исследования венгерского математика Г.Саса (G.Szasz) показывают, что за исключением малосущественных случаев имеет место независимость условий ассоциативности. Уточним сказанное.

Будем говорить, что

из группоида (I) можно так определить бинарную операцию, что ра- венства вида

(xy)z = x(yz) (V)

будут выполняться для всякой тройки <x,y,z> X3, отличной от трой- ки <a,b,c>, тогда как для последней правильно неравенство

Несложно убедиться, что ответ на вопрос о том, являются ли условия ассоциативности группоида зависимыми или нет, определяется лишь его мощностью [18, стр.16], а именно, имеет место следующая теорема.

146

Теорема 1. Если мощность группоида (I) больше трех (то естьX >3), то условия ассоциативности – независимые.

(см. [8, стр.22–28]).

Решение. Согласно Определению 1 из п.2 ТЧ тройка <x, y, z> Z3

элементов группоида (I) считается ассоциативной, когда верно ра-

венство: (x–y) –z = x– (y–z). Отсюда получаем: (x-y) –z = (x–y)+z), то есть –z=+z. Это равенство равносильно равенству 2z=0, то есть

z=0.

Таким образом, любая тройка вида <x, y, 0> – ассоциативная (от- носительно операции вычитания на множестве Z).

12. Найдите ассоциативные тройки группоида

где Y =df {Q, R, K}, Q (R, K) – множество всех рациональных (соот-

ветственно, вещественных, комплексных) чисел [15, стр.14], а : (двое-

точие) – знак бинарной операции деления на нем.

Решение. В силу Определения 1 из п.2 ТЧ тройка <x, y, z> эле-

ментов группоида (I) – ассоциативная, если верно равенство

(x:y):z = x:(y:z).

Отсюда получаем:

(x y) = (x y) z2,

или

(x y)(z2–1) = 0.

Так как x,y Y\{0}, то x y≠0. Поэтому z2=1, то есть z=1 либо z=–1. Таким образом, любая из троек вида <x, y, 1>, <x, y, –1> является ассоциативной относительно операции деления на множестве Y\{0}.

13. Выявите, какие бинарные коннекторные операции

[13, стр.34, п. 2.] являются ассоциативными.

Ответ. Пусть Р, Q и R – соотношения. Ассоциативными являют- ся, например, следующие коннекторные операции:

1) Конъюнкция ( ) в связи с тем, что

(P Q) R≡P (Q R)

147

[13, стр.50, III, формула е)]. 2) Дизъюнкция ( ), так как

(P Q) R≡P (Q R)

[13, стр.50, III, формула д)].

3) Сложение по модулю 2 ( ), так как

(P Q) R≡P (Q R)

[13, стр.50, IV, формула г)].

4) Эквивалентность ( ), поскольку

(P Q) ((Р R) (Q R))

[13, стр.50, VI, формула г)].

14. Предполагая, что во всех равносильностях, приведенных в от- вете к упр.13, буквы P, Q и R являются истинностными переменны- ми [13, стр.42], убедитесь посредством таблиц истинности [14, стр.17, табл. III.1], что все эти равносильности являются тожде-

ственно истинными формулами [14, стр. 51, Определение 1].

15. Используя табл. III из [14, стр.17, Определение 1], выявите все ассоциативные и неассоциативные группоиды. Докажите строго (то есть при помощи таблиц истинности) полученные результаты.

16. Определите понятие «моноид» на основе понятия «нейтрал».

Ответ. 1) Моноидом называют ассоциативный нейтрал. 2) Моноидом называют нейтрал, являющийся полугруппой.

17. Докажите, что полугруппа GD1=< , (Х) > (GD2=< ∩, (Х) >) является моноидом.

Доказательство. Ассоциативная полугруппа GD1 (GD2) является мо- ноидом, так как пустое множество ( ) (соответственно, множество Х) есть ее днэл.

18. Приведите примеры свойств группоидов, не являющихся моноидами.

Решение. В силу Определения 4 из п.2 §3 группоид называют мо- ноидом, если он обладает следующими двумя свойствами:

1)имеет днэл;

2)ассоциативен.

Следовательно, группоид, не обладающий хотя бы одним из них, моноидом не является.

19. Приведите примеры конкретных группоидов, не являющихся моноидами.

148

Ответ

1)Группоид <+, N+> ассоциативен, но не имеет днэла.

2)Группоид <–, Z>(см. ТЧ, Пример 1, п.6, – неассоциативен

ине имеет лнэла.

20. Докажите, что если хотя бы одна компонента тройки

группоида GD =df <T, X> есть его днэл, то эта тройка – ассоциативная.

Доказательство.

1) Пусть х = df е. Тогда

(xTy)Tz = (еTy)Tz = yTz; xT(yTz) = еT(yTz) = yTz.

2) Пусть y = df е. Тогда

(xTy)Tz = (xTе)Tz = xTz; xT(yTz) =xT(еTz) = xTz.

3) Пусть z = df е. Тогда

(xTy)Tz = (xTy)Tе = xTy; xT(yTz) =xT(yTе) = xTy.

21. Используя понятие «ассоциативная тройка элементов группоида» (см. Определение 1), сформулируйте критерий его ассоциативности.

Ответ. Для того чтобы группоид был ассоциативным, необходимо

идостаточно, чтобы любая тройка его элементов была ассоциативной.

22.Докажите Утверждение 1 из ТЧ.

23.Докажите, что все тройки элементов группоида вида

(см. [13, стр.34, 2. Коннекторные символы]), а Х – непустое множе- ство, составленное только из истинностных символов [14, стр.78, §3], являются ассоциативными.

Доказательство. Для всякого значения переменной ◊ из ее экс- тенсионала, расположенного в правой части принадлежности (II), и любых P,Q,R Х, верна равносильность

149

Чтобы убедиться в этом, достаточно на места всех вхождений пере- менной ◊ в соотношении (III) подставить одно из значений из ее номенк- латуры и удостовериться, что полученная формула – тождественно ис- тинная [14, стр.51, Определение 1].

Например, выполнив указанные действия для значения пере- менной ◊, получаем формулу

которая является тождественно истинной [14, стр.51, формула VI,b)]. Предлагаем читателю установить самостоятельно, что соотноше-

ние (III) – верное и для всех остальных значений переменной ◊.

Коммутативные группоиды

1. Дайте определения неперестановочных элементов частичного и всюду определенного группоида и приведите примеры группои- дов с перестановочными и неперестановочными элементами.

Ответ. 1) Элементы х и y частичного (всюду определенного) группоида

2) В группоиде <+, N> все элементы – перестановочные. В груп- поиде <–, Z> все элементы, кроме диагональных, неперестановочные (см. упр.3), а в группоиде <xy, N> элементы 2 и 4 – перестановочные, так как 24=42=16, а элементы 2 и 3 – нет, поскольку 23=8≠9=32.

2. Докажите, что днэл и данэл группоида перестановочны с лю- бым его элементом, то есть принадлежат его центру.

Доказательство. Пусть еа (аа) – днэл (данэл) группоида

1) В силу определения днэла имеем

( x Х)( едTx = xТед = x ).

150