Дискретная математика основные теоретико-множественные конструкции. Ч.VI. Учебное пособие

Биекцию типа X→X называют еще перестановкой множества X. Простейшей перестановкой множества Х является тождественная

2

функция IХ=df< X , X, X> [17, стр.13].

2

Пример 1. 1) Если X Y, то отображение f=df< X , X, Y>, где

2X – диагональ множества X [16, стр.10], есть ин-отображение.

Его называют каноническим инъективным отображением, или каноническим отображением, или канонической инъекцией,

множеств X и Y (см. упр.1).

2) Пусть X – множество. Отображение множества X в его диаго-

2

наль X X×X, задаваемое схемой х→<x,x>, есть биекция, которую называют диагональным отображением множества X (см. упр.2).

(см. упр.3).

4)Отображение z→<пр2z, пр1z> множества всех пар G во множе- ство G-1 их инверсии есть биекция (называемая канонической) (см. упр.4).

5)Пусть X – множество, а b – объект. Отображение вида x→<x,b> множества X во множество X×{b} есть биекция (см. упр.5).

Объемы понятий [12, стр.7] « всюду определенное соответст- вие» (воп-соответствие) и «функция» находятся в общем положении

[15, стр.35] (см. упр.6 из ТЧ). Этим вводятся определенные ограни- чения на свойства и результаты операций над элементами их непус- того пересечения, представляющего собой объем понятия «отобра-

жение» [12, стр.7]. Несложно показать, что операции инвертирова- ния и компонирования отображений, индуцированные соответст-

вующими операциями над графиками,

Не являются замкнутыми относительно класса всех отображений

41

(см. [15, стр.55, Определение 2]). Доказательство этого утверждения приведено в упр.7 из п.1.

2. Легко понять, что инверсия воп-соответствия (функции) вообще говоря не является воп-соответствием (соответственно, функцией) (см. упр.7). И поэтому в общем случае инверсия отображения не являет- ся отображением. Критерий утверждения

сформулирован в следующей теореме.

Теорема 1 (критерий утверждения (1)). Для того чтобы ин-

версия отображения представляла собой отображение, необходимо и достаточно, чтобы оно являлось биекцией.

Это теорема может быть записана на ЛМЯ так:

[функция f – отображение] [(f-1 – отображение) (f – биекция)].

Ее доказательство приведено в упр.8 из п.1.

Определение 2. Инверсию биекции называют отображением,

обратным к ней.

Пусть f=df<F,X,Y> – отображение. Имеют место следующие ут- верждения:

(см. упр.9 и 10).

3. Хотя

Композиция функций есть функция

[17, гл.VI, §1, п.3; стр.35], но композиция произвольных воп- соответствий в общем случае отнюдь не является воп-соответствием (см. упр.9 из п.1). В частности, композиция отображений может и не быть отображением2) (см. упр.10 из п.1). Критерий всюду определен- ности композиции соответствий (в частности, воп-соответствий) сформулирован и доказан в пособии [17, гл.VI, §1, упр.22; стр.44–45]. При несложном изменении его формулировки он «переходит» в довольно простой и наглядный с теоретической точки зрения крите- рий всюду определенности и функциональности композиции отобра- жений (см. упр.11 из п.1). Но этот критерий оказывается довольно громоздким при применении его на практике. Поэтому легко прове- ряемые достаточные условия всюду определенности и функциональ- ности композиции отображений представляют с прикладной точки зрения известный интерес. Одно из таких условий приведено в посо-

42

бии [17, стр.44–45]. Еще один вариант достаточных условий сформу- лирован в следующей теореме.

Теорема 2. Пусть Х, Y и Z – множества. Если f и g – отображе- ния типов X→Y и Y→Z соответственно, то f°g есть отображение

типа X→Z (см. упр.13).

Следствие. Пусть X, Y и Z – множества. Если f и g – сюротобра- жения типов X→Y и Y→Z соответственно, то f°g – сюротображе-

ние типа X→Z (см. упр.14 из п.1).

Имеют место следующие импликации:

(см. монографию [3, стр.95, Замечание]).

Терм [13, стр.68] (f°g)(х) часто записывают в виде g(f(x)), иногда же – в виде gf(х), когда это не приводит к путанице.

2. Ретракции и иссечения

Напомним, что если X – множество, то через Ix обозначают функ-

называют тождественной на множестве X (см. [17, стр.13]). Теорема 1. Пусть Х и Y – множества, а f – о т о б р а ж е н и е

типа Х→Y. Имеют место следующие утверждения.

Утверждение 1 (необходимые условия инъективности отображения с непустой областью отправления).

Если Х≠ , а f – ин-отображение, то существует такое ото- бражение r типа Y→X, что

f°r=IХ. (1)

Утверждение 2 (достаточные условия инъективности отображения).

Если существует такое отображение r типа Y→X, что верно равенство (1), то f – ин-отображение.

Утверждение 3 (достаточные условия сюръективности отображения).

43

Любое отображение r типа Y→X, удовлетворяющее условию (1), сюръективно

(см. упр.2).

*Замечание 1. Отметим, что если для ин-отображения (1)

то существуют по меньшей мере две ретракции, ассоциированные с функцией f (см. упр.1 из п.2). Здесь знакосочетание Х именует

мощность множества Х [18, стр.17] (см. упр.1).

Теорема 2. Пусть Х и Y – множества, а f – отображение типа Х→Y. Имеют место следующие утверждения:

Утверждение 1 (критерий сюръективности отображения).

Для того чтобы f было сюръекцией, необходимо и достаточ- но, чтобы существовало отображение s типа Y→X, удовлетво- ряющее условию

s°f=IY. (4)

Утверждение 2 (достаточное условие инъективности отображения).

Любое отображение s: Y→X, удовлетворяющее условию (3), инъективно

(см. упр.3).

Теорема 3 (о тождественных композициях отображений).

Пусть X и Y – множества, а функции f: X→Y и g: Y→X – ото- бражения. Если f°g– тождественное отображение множества

Х, а g°f – тождественное отображение множества Y, то f и g–

биекции и f=g-1

(см. упр.4).

Определение 1. Пусть f: X→Y – ин-отображение (сюр- отображение). Всякое отображение r (соответственно, s) типа Y→X, такое, что верно равенство (1) (соответственно, равенство (4)), назы-

вают ретракцией, ассоциированной с f (соответственно, иссече- нием, ассоциированным с f).

Вместо термина «ретракция» («иссечение») иногда используют термин «правая (соответственно, левая) инверсия». Из Теоремы 1 (Теоремы 2) вытекает, что

44

Всякая ретракция (правая инверсия) сюръективна

(соответственно,

Всякое иссечение (левая инверсия) инъективно

(соответственно, инъективна))

(см. упр.5).

Теорема 4 (теорема «взаимности»). Если отображение f: X→Y, где Х≠ , – инъективное (соответственно, сюръектив- ное), а r: Y→X – ретракция, ассоциированная с f (соответствен- но, s: Y→X – иссечение, ассоциированное с f), то (в свою оче- редь) f есть иссечение, ассоциированное с r (соответственно, ретракция, ассоциированная с s)

(см. упр.8).

Теорема 5 (достаточные условия (для) равенства иссечений, ассоциированных с (одной) функцией)

(то есть если образы множества Y относительно иссечений s1 и s2 совпадают, то последние равны)

(см. упр.9).

2) Верно ли утверждение, обратное к Теореме 5?

45

*3. Теоремы о композициях отображений с заданными свойствами

Теорема 1. Пусть X, Y и Z – множества, f – отображение типа X→Z, а g – сюр-отображение типа X→Y. Имеют место следующие утверждения (см. рис.XI.1).

X

g f s

Y Z h

Рис. XI.1

Утверждение 1. Для существования такого отображения h ти- па Y→Z, что

необходимо и достаточно, чтобы было верным соотношение

Утверждение 2. Отображение h однозначно определяется ото- бражением f.

Утверждение 3. Если s – иссечение, ассоциированное с g, то

(см. упр.1 из §3 главы XI).

Теорема 2. Пусть X, Y и Z – множества, f – отображение типа Z→X, а g – ин-отображение типа Y→X. Имеют место следующие утверждения (см. рис.XI.2).

46

Рис. XI.2

Утверждение 1. Для существования такого отобраения h типа

Утверждение 2. Отображение h однозначно определяется ото- бражением f.

Доказательство. Утверждение (I) очевидно, так как верна импликация

( x,y X)((f(x) = f(y)) (x = y)),

поскольку

f(x)=x и f(y)=y.

47

2. Пусть Х – множество. Докажите, что диагональное отображе-

2

ние есть биекция типа Х→ X .

Ответ. Требуемое утверждение – верное, так как диагональное отображение обладает всеми основными свойствами соответствий

(см. [17; стр. 33]).

3. Докажите следующие утверждения (см. п.3 из примера 1 ТЧ):

Доказательство

I) Покажем, что отображение пр1 типа G→пр1G, задаваемое схемой: <x,y>→пр1<x,y>,

сюръективно. В самом деле, если х пр1G, то существует такое у пр2G, что <x,y> G, что и требовалось доказать.

II) а) Если G – непустой функциональный график, то в нем нет пар с одинаковыми первыми и различными вторыми компонентами, то есть верно соотношение

( <x,y>, <x′,y′> G) ((х=x′) (y=y′)),

которое одновременно означает, что функция пр1 инъективна.

б) Если функция пр1 инъективна, то верно соотношение (II), кото- рое равносильно утверждению

Отображение пр1 – функциональное.

4. Докажите, что отображение типа G→G-1 бинарного графика G в его инверсию [16, стр.10, определение 1], задаваемое схемой z→<пр2z, пр1z>, где z G, есть биекция (см. п.4 из примера 1).

Ответ. Утверждение верное, так как указанное отображение инъективно и сюръективно.

5. Пусть Х – множество, а b – объект. Докажите, что отображение множества Х на множество Х×{b}, задаваемое схемой: х→<х, b>, где х Х, биективно.

Решение. Указанное отображение обладает всеми свойствами биекции.

48

Рекомендуем читателю изображать «на рисуночном языке» си- туации, имеющие место в приведенных ниже упражнениях

[17, гл.V, §2, п.2; стр.16; §3, п.3; стр.25–26].

6.Докажите, что объемы понятий «всюду определенное соответствие»

и«функция» находятся в общем положении [15, стр.55, формула (2)].

Доказательство. Если X и Y – множества, а – знак бинарного теоретико-множественного отношения «быть, или находиться, в об- щем положении», то само это отношение определяют так:

(X Y) ≡df ((X∩Y≠) (X\Y≠) (Y\X≠)) (I)

(см. [15, стр.55, формула (2)]). Конъюнкция, в частности, располо- женная в правой части определения (I)

(X∩Y≠) (X\Y≠) (Y\X≠), (II)

истинна в том единственном случае, когда верен каждый ее логиче- ский сомножитель. Пусть Х обозначает класс всех воп-соответствий, а Y – класс всех функций. Тогда терм (X∩Y) изображает класс всех всюду определенных функций ( то есть отображений), терм (X\Y) – класс всех воп-соответствий, не являющихся функциями, а терм (Y\X) – класс всех функций, отличных от отображений. Чтобы дока- зать справедливость конъюнкции (II), достаточно установить, что все три указанных класса – непустые. Проиллюстрируем это на примере.

а) Пусть а, b и c – попарно различные опредметы, а X =df {a, b} и Y =df {a, c} – множества. Тогда (X∩Y) = {a}, (X\Y) = {b}, а (Y\X) = {c} – попарно различные непустые множества. Из сказанного выте- кает, что объемы понятий «воп-соответствие» и «функция» находят- ся в общем положении [15, стр.55, тождество (2)].

7. 1) Покажите, что в общем случае инверсия воп- корреспонденции (отображения) не является воп-корреспонденцией (соответственно, отображением).

2) Найдите критерий ( то есть необходимые и достаточные усло- вия) того, что инверсия воп-корреспонденции (отображения) являет- ся воп-корреспонденцией (соответственно, отображением).

Решение. Пусть а, b и c – попарно различные объекты.

f=df <{<a,c>, <b,c>}, {a,b}, {c}> не является отображением.

2)а) Для того чтобы инверсия Г-1 воп-корреспонденции Г была воп- корреспонденцией, необходимо и достаточно, чтобы Г было сюръек- тивной корреспонденцией.

49

б) Для того чтобы инверсия f-1 отображения f была отображением, необходимо и достаточно, чтобы отображение f была инъективным.

8. Докажите Теорему 1 из п.1.

Доказательство. Указанная теорема формулируется так:

[функция f – отображение] [(f-1 – отображение) (f – биекция)].

Таким образом, из соотношения (II) следует утверждение (III), что

2) Найдите критерий того, что композиция воп-соответствий яв- ляется воп-соответствием.

Решение. 1) См. подходящий пример в пособии [17, стр.42].

50