Дискретная математика основные теоретико-множественные конструкции. Ч.VI. Учебное пособие

все функции от одной переменной (1-функции), константы и т.д. *Относительно несложными критериями симметричности функ-

ции (1) служат следующие два предложения.

Утверждение 2. Для того чтобы (n–1)-местная функция (1) бы- ла симметричной, необходимо и достаточно, чтобы

1) выполнялось n равенств вида

f(x1, x2, . . . , xi, xi+1, . . . , xn) = f(x1, x2, . . . , xi+1, xi, . . . , xn),

где i [1;n], а [1;n] N+;

или 2) выполнялись два равенства вида:

f(x1, x2, x3, . . . , xn) = f(x2, x1, x3, . . . , xn);

f(x1, x2, x3, . . . , xn) = f(xn, x1, x2, . . . , xn-1) (см. [2, т.4, стр.1144, ст. «Симметрическая функция»])5)*.

4.Суперпозиция функций

Впособии [13, стр. 76–78] была предложена последовательность пра- вил, или алгоритм [2, т.1, стр.202–206, ст. «Алгоритм»] для нахождения значений конструктивных термов [13, стр. 76–78], построенных с обяза- тельным участием корреспондентных символов [13, стр. 68], и приведен иллюстрирующий его пример. В том отдельном случае, когда все эти символы являются функциональными [13, стр.68], указанный алгоритм существенно упрощается. В данном разделе мы собираемся (предполага- ем) транслировать его «на язык многоместных функций». Это позволит нам, в частности, ввести соответствующую терминологию, широко рас- пространенную (применяемую) в современной математике.

Описание, или дескрипция, [6, стр. 408, ст. «Описание»; 5, стр.58, ст. «Высказывательная дескрипция»]6) математического объекта сложная функция [2, т.4, стр. 1214, ст. «Сложная функция»] включает в себя ут- верждение о том, что в общем случае «при его построении» участвуют по меньшей мере две функции, одинаковые или нет. В качестве экспликации [5, стр.364, ст. «Экспликация»] этого объекта рассматриваются такие ма-

тематические понятия, как композиция функций и суперпозиция функций.

Овидах композиций мы подробно говорили в [20, стр.23–24], а с поняти- ем суперпозиция познакомимся здесь.

Определение 1. Предположим, что i,m,n N+,

71

g =df <G, Y, Z>

– m-местная функция, представленная конструктивным термом

[13, стр.69, пп. КСТ1-КСТ3]

g(m)(y1, y2, . . . , ym),

а

F =df (f i(n) (х1, х2, . . . , хn))1≤i≤m

– m-элементное семейство [16, стр.130] n-арных функций, или, что то же, m-элементное семейство унарных функций [15, стр.44, п.1]

векторных, или кортежных, аргументов

F′ =df (f i(1) (xn))1≤i≤m.

Функцию, реализуемую термом

h(n)( x1, x2, . . . , xn ) =df h(1)(x(n)) =df g(m)(f1(1) (xn), f (1)2 (xn), . . . , f (1)m (xn)), (II)

называют суперпозицией функции g и семейства функций F (или F′).

Графически процедура построения этой суперпозиции может быть представлена в виде дерева [2, т.2, стр.91, ст. «Дерево»].

Легко понять, что суперпозиция (II) при m=1 переходит в равенство

которое свидетельствует о том, что в данном случае (то есть при m=1)

суперпозиция h(1)(xn) функций g и f1(n) представляет собой их композицию

g(1)°f1(n) (xn)

(см. [17, стр.23–24]).

Итак, суперпозиция функций, отвечающих указанным в Опре- делении 1 условиям, представляет собой многоместную (в частно- сти, одноместную) функцию, реализуемую термом, расположен- ным в правой части «тройного равенства» (II) (соответственно, (III)). Остановимся на вопросе определения ее значений. Предпо- ложим, что кортеж

– одна из интерпретаций кортежа (I) [14, стр.26]. Считаем, что

значение функции (III) на терме, расположенном в правой части

72

соотношения (II), определено, если верна, например, следую- щая формула:

( i:((i N+) (1≤i≤m))( f i(1) (x (0n) ) = z i0 ),

где z i0 – константа из множества NOM(Z) [13, стр.45]. В этом случае имеем

g(m)(f1(1) (xn), f (1)2 (xn), . . . , f (1)m (xn)) = z0.

В общем случае не все рассматриваемые нами функции могут оказаться всюду определенными. Если промежуточные значения вы- числений «частей интерпретации» оказываются неопределенными [14, стр.31–32, п.4], то и значение интерпретации считается неопре- деленным, и оно обозначается знаком минус.

Пример 1. Пусть f1(2) , f (2)2 и g(2) – функции типа N → N, заданные термами

x–y, x2+z и x/y

соответственно. Очевидно, что функции f1(2) и g(2) – частичные [19, стр.49–50], поскольку

! f1(2) (x,y) ≡ (x≥y),

а

! g(2)(x,y) ≡ [(y>0) ((x/y) N))].

Построим табл. ХII.1, задающую значения суперпозиции функции g(2) и функций f 1(2) , f (2)2 при некоторых интерпретациях их переменных. Имеем

73

5.Частные, или парциальные, подфункции функции

Вэнциклопедии [2] нет статьи «Подфункция». Испытывая необ- ходимость в этом понятии, мы будем употреблять его в смысле, за- ключенном в следующем неформальном определении.

Определение 1. Подфункцией данной функции, например функции F, мы будем называть любую функцию, которая может быть получена из F при помощи каких-либо языковых, логических или математических операций. Примерами первых служат подста- новки в формулу, изображающую функцию F, на места одних рóдовых символов [13, стр.66, п.1] других. Примерами вторых – ана- логичные подстановки дескриптивных термов [13, стр.85]. И, нако- нец, третьих – получение из исходных функций, в том числе из функции F, их композиций [20, стр.23–24] – и суперпозиций (см. п.4).

Отметим, что дефиниция понятия «Подфункция функции», приве- денная в Определении 1, – чисто описательная [6, стр.408, ст. «Опи- сание»], и поэтому оно не должно фигурировать в логически точных (строгих) рассуждениях.

Но уже понятие «Частная, или парциальная, подфункция функции» – математически строгое. В его основе лежит языковое

понятие к о н с т р у к т и в н ы й п о д т е р м к о н с т р у к т и в н о г о т е р м а [13, стр.71]. Содержательно говоря, парциальная подфунк- ция функции F – эта функция, задаваемая термом, который может быть «получен» из терма, изображающего функцию F, путем замены в нем некоторых переменных константами. Так, для двухместной функции f(x,y), представленной конструктивным термом

(x–y),

где x,y Z, а минус – знак бинарной операции вычитания целых чисел.

Парциальными подфункциями будут такие одноместные: f(а,y) = (а–у), f(х,b) = (x–b), f(а,b) = (а–b), где a и b – целочисленные кон- станты [13, стр.36].

Переходим к математически строгому определению понятия

«частная, или парциальная, подфункция функции». Пусть

74

– изображающий ее конструктивный терм [13, стр.69]. Будем счи- тать, что верно следующее соотношение:

( i: ((i N+) (1≤i≤n)) )(xi Xi),

где (Хi)1≤i≤n – семейство множеств [16, стр.130], необязательно по- парно дизъюнктных [16, стр.135, дефиниция (12)]. Тогда

Дотпр(F) = П1≤i≤nХi, (см. [16, стр.48, термы (2) и (3) ]), а

Допр(F) = G.

Из дефиниции (I) следует, что

Дпр(F) = Y.

Очевидно, что

Дзн(F) Y.

Положим, что I =df {1, 2, 3, . . . , n}, J I, J =df {j1, j2, . . . , jm}, где m N+

и1≤m≤n, а j1< j2< . . . <jm. В соответствии с введенными определениями

иобозначениями терм (II) может быть «преобразован» в такой терм:

в котором «присутствуют» m объектных констант [13, стр.35] и (n–m)

именных переменных [13, стр.49].

Обозначим через АJ множество, состоящее только из всех корте- жей длины n вида

Определение 2. (n–m)-арную функция типа

АJ → Y,

график которой состоит исключительно из всех пар вида

75

<xi, f(xj)>,

называют частной, или парциальной, подфункцией функции F по переменным, или относительно переменных, из множества

J, и обозначают через FJ, или, допуская вольность речи, через fJ. Пример 1. Выявим одну из парциальных подфункций четы-

рехместной функции

F =df <G, Q4, Q>.

Здесь Q – множество, состоящее только из всех рациональных чисел [15, стр.14], реализуемых конструктивным термом

функции F.

76

Для одноместных функций определение понятия функция, кон-

стантная на части ее области отправления, приведено в [19, стр.53–56]. Это понятие обобщается для многоместных функ- ций следующим образом.

Определение 3. (см. Определение 2). Пусть n N+, (I) – n-местная функция, реализуемая термом (II), а J =df (I\{i}), где i N+ и 1≤i≤n.

Тогда FJ = F{i} – одноместная парциальная подфункция функции

(I) по множеству {i} или по аргументу xi.

Таким образом, в терме fJ фигурирует единственная свободная переменная xi [14, стр.38–40]. Если она является фиктивной

[14, стр.40–42], то есть одноместная функция F{i} оказывается кон-

стантной функцией на множестве прiG [19, стр.58], то говорят, что функция F является константной по переменной xi, или функция F не зависит от i-го аргумента [3, стр.98–99].

Пример 2. Ясно, что в терме

(x1–x1)+x2, (I)

где х1,х2 Z, переменная х1 – фиктивная и поэтому функция f(x1, x2), за- данная термом (I), не зависит от аргумента х1, поскольку высказывание

( х1,х2 Z)(f(x1, x2) = x2)

– верное.

Дополнительные сведения о частных, или парциальных, под- функциях функций читатель может получить в [3, стр.99–101].

Упражнения

Кортежные графики и соответствия

1. Приведите примеры кортежных функциональных, инъективных

ибиективных графиков, не являющихся n-местными при любом n N+. Ответ. Бинарный график

G =df {a=<<1,2>, 1>, b =df <<1,2,3>, 2>}

– функциональный и инъективный, и, следовательно, – биективный, но не является n-графиком для всякого n N+, поскольку первые ком- поненты его элементов – кортежи различной длины.

2. Для n=1,3 приведите примеры n-арных функциональных, инъ- ективных и биективных графиков.

77

Ответ. При n=1 интересующий нас график может быть таким:

G1 =df {<<1>, 1>, <<3>, 4>};

при n=2

G2 =df {<<1,2>, 3>, <<2,1>, 4>};

при n=3

G3 =df {<<1,2,3>, 4>, <<2,3,1>, 5>, <<3,1,2>, 6>}.

Все указанные графики – биективные.

3. Докажите, что график G1 из примера 1 в п.1 ТЧ не является функциональным и инъективным.

Доказательство. График

G1 =df {<<4,8>, 1>, <<4,8>, 2>, <<6,12,18>, 1>, <<6,12,18>, 3>}

не является функциональным (инъективным), так как его 1-й и 2-й элементы имеют одинаковые первые, но различные вторые компо- ненты (соответственно, 1-й и 3-й элементы имеют одинаковые вто- рые, но различные первые компоненты).

4. Какими свойствами обладают графики G 11 и G 22 из примера

2 в п.1 ТЧ?

Ответ. Графики G11 и G 22 – не функциональные, но инъективные.

5. Покажите, что кор-соответствие Г1 из примера 3 в п.1 ТЧ не об- ладает ни одним из четырех основных свойств соответствий.

Решение. Соответствие Г1 не является функциональным и инъек- тивным по той же причине, по которой график G1 не обладает ука- занными свойствами (см. упр.3). Оно не является также всюду опре- деленным (сюръективным), так как пр1G = {<4,8>, <6,12,18>} Х1 (соответственно, так как пр2G = {1, 2, 3} Y).

6.Выявите, какими основными свойствами соответствий обладают корреспонденции Г2 и Г3 из примера 4 п.1 ТЧ. Результаты обобщите.

Ответ. См. ответ к упр.4.

7.*Используя метод математической индукции [9, стр.17–19],

докажите, что

Все элементы любой непустой конечной части множества N, отличной от множества {0}, имеют единственный наибольший

общий делитель

(см. [4, стр.6]).

78

Ответ. Многоместное кор-соответствие, соотносящее каждому кортежу длины n, где n N\{0, 1}, отличному от диагонального кор- тежа с компонентой число 0 (ноль), является функциональным.

Основные понятия и термины, относящиеся к многоместным функциям

1. Докажите, что для любой n-местной функции f, где n N+ и n>1, существует одноместная функция g, график которой равен графику функции f.

Доказательство. Пусть

f =df <F, X, Y> (I)

– n-местная функция. Здесь F – множество кортежей длины n. Оче- видно, что F Пi [1,n]прiF. Функция

g=<F, Пi [1,n]прiF, Y>

есть одноместная функция типа Пi [1,n]прiF→Y, соотносящая некоторым

(быть может, всем) элементам из Пi [1,n]прiF элементы из Y посредством того же графика F, что и функция (I). Легко видеть, что если f – инъекция, то и g – инъекция, поскольку g имеет тот же график, что и f. Далее, если пр2F=Y, то есть f – сюръекция, то и g – сюръекция, так области прибытия f и g одинаковы. Однако, если f – отображение, то g может и не быть ото- бражением, то есть оказаться частичной функцией [17, стр.8; форму- лы (7)]. Это будет, например, в случае, когда

F Пi [1,n]прiF.

Проиллюстрируем сказанное.

Пусть f=<F,X,Y> – двухместная функция, для которой

X=df{<1,1>, <4,2>, <6,2>}, Y=df{1, 2, 6},

а

F=df{<<1,1>, 1>, <<4,2>, 2>, <<6,2>, 6}.

Ясно, что f – биекция. Имеем: пр1F = {<1,1>, <4,2>, <6,2>}.

Поскольку

Пi [1,2]прiХ={1,4,6} {1,2}={<1,1>, <1,2>, <4,1>, <4,2>, <6,1>, <6,2>},

то пр1F Пi [1,2]прiХ. Поэтому

g=<F, пр1Х пр2Х, Y>,

79

то есть g – частичная инъективная сюръекция [3, стр.98–99].

2.Приведите пример функции, у которой области определения и значений – множества различной природы.

Ответ. Скалярное произведение двух числовых векторов есть число.

3.Приведите примеры свойств n-функций, где n N и n>1. Ответ. Рассмотрим некоторые, пока неизвестные нам, свойства

n-функций. Для n=2: ассоциативность, коммутативность и т.д.

Свойства n-местных функций

1. Пусть n N+. Опираясь на понятие «n-местная симметричная функция» (см. Определение 2 из п.3 ТЧ, сформулируйте понятие «n-местная несимметричная функция».

Ответ. n-местную функцию, например функцию

f(х1, х2, . . . , хn) (I)

называют несимметричной (или несимметрической), если суще-

ствует такая перестановка [17, стр.35]

(см. равенство (5) в п.3 ТЧ), что

f(х1, х2, . . . , хn) ≠ f(хi , хi , . . . , хi ).

1 2 n

2. Для n {2,3,4} приведите примеры n-местных несимметричных функций.

Ответ. 1) Пусть n=2. *Тогда любая некоммутативная функция

(см. [Гл.XII, §3, п.4] – несимметричная.

2) Пусть n=3. Трехместная функция, заданная термом

f(x1,x2,x3) =df (x1– (x2–x3)),

где x1,x2,x3 Z, не является симметричной, так как, например, равенство

(x1– (x2–x3)) = (x2– (x1–x3))

при интерпретации x1=2, x2=3 и x1=4 – ложное. В самом деле, 2– (3–4)=2+1=3, а 3– (4–2)=3–2=1, но 3≠1.

80