Дискретная математика основные теоретико-множественные конструкции. Ч.VI. Учебное пособие

(см. [13, стр.34, 2. Коннекторные символы]), а Х – непустое множест- во, составленное только из истинностных символов [14, стр.78, §3],

– ассоциативные (см. упр.22). Поэтому ассоциатором группоида (I) является множество Х3.

7)Каждая тройка элементов группоида Sn – ассоциативная [7]. По этой причине его ассоциатор есть множество (Sn)3.

8)Все тройки вида <x, y, 0>, «построенные» из элементов x, y и 0 группоида

– ассоциативные, а, например, тройка <5, 6, 7> – нет (см. Пример 1). Таким образом, ассоциатор группоида (I) – непустое множество.

Определение 3. (классификации группоидов относительно их объема). Группоид (II) из Определения 1 называют ассоциативным, или полугруппой, если его ассоциатор совпадает с множеством Х3 [16, стр.49], и неассоциативным – в противном случае.

Пример 3 (см. Пример 2).

1) Группоиды вида <Т, Y>, где Т {+, }, а Y В; < , (Х)>; <°,

(Х2)>; <◊, X> и Sn – полугруппы.

2)Группоиды вида <α, Y> (см. п.2) из Примера 2) и < \, (Х) > (см. п.4) из Примера 2) – ассоциативными не являются.

3)Группоиды вида < –, U >, где U В\{N}, и < :, V\{0} >, где V { Q, R, K }, полугруппами не являются, так как не все тройки их элементов ассоциативны (см. п.2) данного примера, а также упр.9.

4)Любые тройки вида <x, y, 1> и <x, y, –1>, «составленные»

из элементов х, y, 1 и –1 группоида < :, Q\{0} >, ассоциативны (см. упр.7), а, к примеру, тройка <1, 1, 2> – нет, поскольку

(1:1):2 = (1/2) ≠ 2 = 1:(1:2).

Итак, группоид < :, Q\{0} > не является ассоциативным, хотя его ассоциатор (Q\{0}) (Q\{0}) {1} непуст.

Утверждение 1 (критерий ассоциативности группоида) Для того чтобы группоид (II) из Определения 1 был ассоциативным, не- обходимо и достаточно, чтобы его ассоциатор совпадал со множе- ством Х3

(см. упр.22).

Пример 4 (см. Пример 2).

Группоиды из пп.1), 3), 5), 6), 7) и 11) – полугруппы, а из пп. 2), 4), 8) и 9) – нет.

121

Определение 4. Моноидом называют полугруппу, имеющую в своем составе днэл.

Пример 5 (см. Примеры 2 и 3).

1)Полугруппы из п.1) Примера 2 – моноиды.

2)Полугруппа GD1 =df < , (X)> (GD2 =df <∩, (Х)>) – моно-

ид, так как пустое множество ( ) - ее днэл [соответственно, множе- ство Х – ее данэл].

3)Группоид Sn – моноид(см.п.7) из Примера 2.

3. Коммутативные группоиды

Определение 1. 1) Элементы х и y группоида

называют перестановочными, или коммутативными, если спра-

ведливо равенство

и неперестановочными, или некоммутативным, - в противном случае, (см. упр.1). Если, в частности, группоид (1) – всюду опреде- ленный, импликация (2) «переходит» в равенство

2)В ситуации, когда для пары <x, y> Х2 выполняется условие

(2)( в отдельном случае – (3) ), она называется перестановочной,

или коммутативной, и неперестановочной, или некоммутатив-

ной, – противном случае.

Утверждение 1. Если элемент х п о л у г р у п п ы (1) перестано- вочен с каждым из элементов y,z Х, то он перестановочен и с эле-

то есть пара <х, x> – перестановочная. Отсюда следует, что

В любом группоиде, например в группоиде (1), находятся по меньшей мере Х пар перестановочных элементов.

2) Днэл (данэл) группоида перестановочен с любым его элемен- том (см. упр.2).

122

3)Элементы 2 и 4 группоида <xy, N> - перестановочные, так как 24 = 42, а элементы 2 и 3 – нет, поскольку 23 = 8 ≠ 9 = 32.

4)Существуют некоммутативные перестановки в группоиде S4.

«Такие примеры можно подобрать для любого n N и n≥3, хотя для некоторых подстановок «закон коммутативности», то есть равенст- во (3), где n>3, с л у ч а й н о может выполняться» [7]. Со своей сто- роны отметим, что некоторые пары подстановок моноида Sn являют- ся коммутативными о т н ю д ь н е с л у ч а й н о , а в п о л н е з а - к о н о м е р н о . К ним относятся, например, пара перестановок, ком- понентами каждой из которых служат л ю б а я п е р е с т а н о в к а и о б р а т н а я к н е й , то есть ее инверсия (см. там же).

Определение 2. Группоид (1) называют перестановочным, или коммутативным, или абелевым, если выполняются условия

( x,y X){[ !(xTy) !(yTx)] [!(xTy) !(yTx) (xTy = yTx)]}.(I)

В том отдельном случае, когда группоид (1) из Определения 1 – всюду определенный, соотношение (I) «переходит» в более простое:

( x,y X)(xTy = yTx). (II)

Если воп-группоид не является перестановочным, его называют

неперестановочным, или некоммутативным. В этом случае соот-

(см. [13, стр.13-15]), а также вида < , (X)>, <∩, (X)> и т.д. яв-

ляются коммутативными, а группоиды < –, Z >, Sn и <°, F> – нет.

Определение 3. Элемент воп-группоида (1) называют центральным (относительно операции Т), если он перестановочен с л ю - б ы м э л е м е н т о м множества Х, и нецентральным – в против- ном случае

(см. упр.8).

Таким образом,

(х – центральный элемент группоида (1)) ≡df

≡df ((x X) ( y X)(x и y – перестановочные элементы).

123

Пример 3. 1) Днэл и данэл группоида являются его центральными элементами (см. Пример 1, п.2).

2) Все элементы группоида < +, N+ > – центральные. Однако в нем нет ни днэла, ни данэла. *Таким образом, из наличия в группоиде центральных элементов отнюдь не следует, что в нем существует днэл или данэл.*

Определение 4. Центром группоида называют часть его носите- ля, с о с т о я щ у ю е д и н с т в е н н о и з в с е х его центральных элементов.

Таким образом,

[Множество Z – центр группоида (1)] ≡df

≡df [( x Z)( х – центральный элемент группоида (1) )( x (X\Z) )( x – нецентральный элемент группоида (1) ).

Пример 4. 1) Днэл и данэл группоида принадлежат его центру

(см. п.1 из Примера 3).

2) Центр группоида < °, F > – одноэлементное множество. Его

элементом является тождественное соответствие [17, стр.13,

Пример 1, п.3)]

2

IX =df < X , X, Х >,

2

где X – диагональ высоты 2 множества Х [16, стр.10, Определение 5]. 3) Центр группоида Sn включает в себя одноэлементное множест-

во, содержащее его днэл ε=(1)(2)…(n–1)(n).

Утверждение 2. Центр группоида – устойчивое (относительно его операции) множество (см. упр.13).

Утверждение 3 (критерий перестановочности группоида). Для того чтобы группоид был перестановочным, необходимо и доста- точно, чтобы его центр был равен его носителю (см. упр.14).

Пример 5. 1) Центры группоидов < +, N > и < –, N > равны их но- сителям. Следовательно, эти группоиды – коммутативные.

2) Центры группоидов <xy, N>, Sn и < °, F > не совпадают с их но-

сителями, и поэтому эти группоиды – некоммутативные (см. При-

мер 1, пп. 3) и 4); Пример 4, п.2).

4. Сократимые группоиды

Определение 1. Левым (правым) переносом, соответствующим элементу а воп-группоида

124

называют одноместное, или унарное, отображение типа Х→Х

[17, стр.34] вида

х→аТх

(соответственно, вида

х→хТа),

где х Х.

Слово «перенос» служит общим именем для элементов множества словосочетаний {левый перенос, правый перенос}.

Утверждение 1. В коммутативном воп-группоиде имена «левый пе- ренос» и «правый перенос» – синонимы [11, стр.47–49] (см. упр.1).

Пример 1. 1) Левым (правым) переносом, соответствующим эле- менту 3 группоида

Здесь х Z.

2) Левым (правым) переносом, соответствующим элементу 2

служит отображение типа N→N вида х→2х (соответственно, вида

х→х2 ),

где х N.

Левый и правый переносы, соответствующие элементу а группои- да (1), обозначают через γа и δа соответственно. Таким образом,

γа(х) =df (aTx) и δа(x) =df (xTa).

Здесь х Х.

125

где ° – знак бинарной операции компонирования соответствий (в

частности, функций) [17, стр.25, Определение 2].

Определение 2. Элемент а группоида (1) называют левым (пра-

вым, двухсторонне) регулярным (сокращенно: л-рэл′м) [соответ-

ственно, прэл′м, дрэл′м], если левый перенос γа [ соответственно, правый перенос δа, левый и правый переносы γа и δа ] есть инъекция [17, стр.34]. Общим именем для трех указанных объектов служит словосочетание регулярный элемент (сокращенно: рэл).

Пример 3 (см. Примеры 1 и 2).

1)Поскольку отображения видов х→(3–х) и х→(х–3) типа Z→Z

–инъективные, число 3 Z является дрэлом (относительно бинар-

ной операции вычитания целых чисел).

2)а) Элемент 0 группоида (II) из Примера 1 не является л-рэлом, и поэтому – дрэлом, а также прэлом.

б) Элемент 1 того же группоида также не является его л-рэлом и, стало быть, дрэлом, но представляет собой его прэл (см. упр.5).

Утверждение 3. 1) Лнэл (пнэл, днэл) группоида (1) является его л- рэлом (соответственно, прэлом, дрэлом) (см. упр.6).

2)Верно ли обратное утверждение?

Пример 4.

1)В группоиде < +, N > каждое число из N является дрэлом, так как оно является л-рэлом и прэлом, поскольку верны высказывания

( a,x,y N)[((a+x) = (a+y)) (x=y)]

и

( a,x,y N)[((x+a) = (y+ a)) (x=y)].

2) В группоиде < , N+ > любое число является дрэлом, ибо спра- ведливо следующее соотношение:

( a,x,y N+){[(a x = a y) (x=y)] [(x a) = (y a) (x=y)]}.

126

Утверждение 4 (критерий левой, правой и двухсторонней регулярности элемента группоида). Для того чтобы элемент а группоида (1) был л-рэлом (прэлом, дрэлом), необходимо и доста- точно, чтобы было верным следующее соотношение:

(см. упр.7).

Определение 3. Группоид (1) называют левым (правым, дву-

сторонне) регулярным (сокращенно: лр-группоидом) [соответст- венно, пр-группоидом, др-группоидом], если любой его элемент

является л-рэлом [сообразно, прэлом, дрэлом]. Группоид (1) называ- ют регулярным (сокращенно: рл-группоидом), если он является лр- группоидом, пр-группоидом или др-группоидом.

Пример 5. 1) Коммутативный воп-группоид

– др-группоид, так как верно такое соотношение: ( a,x,y Z){[(a+x) = (a+y) (x=y)] [(x+a) = (y+a) (x=y)]}.

2) (см. Пример 3, п.2). Несложно убедится, что группоид

<yx, N>

есть лр-группоид, но не пр-группоид, и поэтому не является др-группоидом (см. упр.9).

Определение 4. Воп-группоид (1) называют сократимым слева (справа, двухсторонне), если верно следующее соотношение:

и несократимым слева (соответственно, несократимым справа, несократимым двухсторонне) – в противном случае.

127

Пример 6. 1) К о м м у т а т и в н ы й воп-группоид < +, N > со-

–истинные.

2)Коммутативный группоид < , N > не является сократимым слева и, следовательно, сократимым двусторонне, и сократимым

–опровержимые.

Всамом деле, например, при х=y=2 соотношения (IV) и (V) «пре- образуются» соответственно в ложные импликации:

поскольку у них истинны посылки, но ложны заключения.

*3) Группоид Sn сократим слева и справа, так как он является

группой [7, стр.397]. *

В следующих предложениях сформулированы критерии сократи-

мости группоидов, задаваемых различными способами. Так, исполь-

зуя метод представления группоидов при помощи Таблицы Кэли (см. §2, п.2, Замечание), мы можем установить такие критерии со- кратимости группоидов.

Утверждение 5. Группоид (1) сократим слева (сократим справа, сократим двухсторонне) тогда и только тогда, когда в каждой строке (в каждом столбце, в каждом ряде4)) его ТК нет одинаковых имен (элементов группоида) (см. упр.14).

Различные виды сократимости группоидов описывают в отдель- ных случаях при помощи уравнений. Так, верны следующие крите- рии сократимостей различных видов.

128

Утверждение 6. Воп-группоид (1) сократим слева (сократим справа, сократим двусторонне) тогда и только тогда, когда при

имеет (соответственно, имеют) не более одного решения. Утверждение 7. Л-нейтрал (п-нейтрал, д-нейтрал) сократим

слева (соответственно, сократим справа, сократим двухсторонне), тогда и только тогда, когда его левый (соответственно, правый, двухсторонний) аннулятор – пустое множество.

Пример 7. Нейтрал < , N+ >, у которого аннуляторы всех видов –

пустые множества, сократим слева, справа и двухсторонне.

Определение 1. Элемент а Х называют левым (правым, двусторонне, или двусторонним) обратным для элемента b относительно элемента с (сокращенно: а есть лобэл(b,c), или

а=лобэл(b,c)) (соответственно: а=побэл(b,c), а=добэл(b,c)), если импликация

129

Элемент a – обратный для элемента b относительно элемента c, и это обозначают знакосочетанием

а=обэл(b,c), (IV)

если а является по меньшей мере одним из трех вышеуказанных об- ратных. В том отдельном случае, когда группоид (1) – всюду опреде- ленный, соотношения (I) – (III) «переходят» в соотношения

то для его элементов верно:

1)а=лобэл(b,c), так как aTb=с, но а≠побэл(c,b), поскольку

сTa=c≠b;

2)b=побэл(a,c) в связи с тем, что аTb=с, но b≠побэл(c,a), ибо

сTb=c≠a;

3)a=добэл(b,c) по той причине, что и aTb=bTa=c, но

а≠добэл(c,b), так как хотя aTc=b, но cTa=c≠b.

Определение 2. Пусть (1) – воп-группоид, для элементов которо- го верна принадлежность (2). Предположим, что в нем есть днэл, скажем, е. Тогда вместо утверждения

130