Дискретная математика основные теоретико-множественные конструкции. Ч.VI. Учебное пособие

имея в виду, что указанные обратные элементы рассматриваются о т н о с и т е л ь н о д н э л а е. Утверждают, что

а – обэл(b),

если а представляет собой и м я по меньшей мере одного из трех элементов, охарактеризованных соотношениями (I′) – (III′).

Пример 2. 1) Днэл е д-нейтрала (1) является добэлом для самого

Им является его днэл.

2) Предположим, что группоид (1) задан своей ТК (см. табл. XII.12).

В соответствии с ней элемент е является его днэлом; элемент а – добэ- лом для самого себя; элемент b – лобэлом (но не побэлом) для а, так как

bTa=e (соответственно, aTb=b≠e);

элемент с – побэлом (но не лобэлом) для а, поскольку

aTc=e (соответственно, cTa=b≠e).

3) Для д-нейтрала вида (1), где Х =df {e, a, b, c}, а операция Т задана своей ТК, изображенной на табл. ХII.13, имеем: элемент е – днэл груп- поида (1). Элемент а Х является добэлом для самого себя (aTa=e) и ло- бэлом элемента b Х (aTb=e). Элемент b служит побэлом для элемента

131

а (aTb=e), но не его лобэлом (bТа=с≠е); кроме того, элемент b не является ни лобэлом, ни побэлом для самого себя (bTb=с≠е). Элемент с – лобэл для элемента а (cTa=e), но не его побэл (аТс=с≠е).

Вывод. Таким образом, свойства д-нейтралов «быть лобэлом» и «быть побэлом» – семантически независимые [14, стр.73, Определение 4].

В д-нейтралы могут входить элементы, имеющие несколько лобэлов или побэлов. Так, из табл. ХII.13 видно, что элемент с кроме побэла а (сТа=е) имеет побэлы b и с (cTb=cTc=e), а элемент а – кроме самого себя (аТа=е) имеет побэл b (aTb=e). Отметим, что рассматриваемый д-нейтрал не является ассоциативным ( то есть полугруппой), так как

(aTb)Tc=eTc=c≠e=aTa=aT(bTc).

Совсем иная картина имеет место для ассоциативных д- нейтралов, то есть моноидов [гл. ХII, §3, п.2], о чем свидетельствуют результаты, полученные в Утверждении 1 и его следствиях.

Утверждение 1. Пусть группоид (1) – моноид с днэлом е, для ко- торого верна принадлежность (2). Если b – побэл для элемента а, а с – его лобэл, то b=c, что формально можно записать так:

(аTb=cTa=e) (b=c). (I)

Доказательство

По условию имеем

aTb=cTa=e.

Отсюда получаем

b=eTb=(cTa)Tb=cT(aTb)=cTe=c.

Следствие 1. Любой элемент моноида не имеет больше (не более) одного добэла (см. упр.2).

Следствие 2. Если элемент моноида имеет больше одного лобэла (побэла), то у него (этого элемента) нет ни одного побэла (соот- ветственно, лобела), и поэтому добэла (см. упр.3).

Следствие 3. Если в моноиде какой-то элемент имеет добэл, то у него (этого элемента) нет больше обратных.

Предлагаем читателю доказать это следствие самостоятельно.

132

Пример 3. Элемент 3 моноида <+, N> регулярен, так как отображе- ние, заданное схемой вида n→n+3, – инъективное, но не является обра- тимым, поскольку, например, равенство 3+х=2, где х N, – тождественно ложное.

Утверждение 2. Каждый добэл моноида – его дрэл, обладающий единственным обратным

(см. упр.4).

Утверждение, обратное Утверждению 2, то есть утверждение

Существует дрэл, обладающий единственным обратным, но не являющийся добэлом,

вообще говоря, неверное (см. упр.5).

Определение 3. Воп-группоид (1) называют обратимым слева (справа, двухсторонне), если справедлива следующая формула:

и необратимым слева (соответственно, справа, двухсторонне)

– в противном случае. Говорят, что группоид обратим, если вер- но хотя бы оно из соотношений (I) – (III).

Различные методы задания группоидов [Гл.ХII, §2, п.2] позволя-

ют сформулировать критерии его обратимости «на разных языках». Здесь мы воспользуемся двумя из них: 1) посредством таблиц Кэли; 2) с помощью уравнений.

Применяя первый из них, мы приходим к такому критерию.

Утверждение 3. Воп-группоид обратим слева (справа, двухсто- ронне) в том и только том случае, если в каждом столбце (соот-

( x,y,a N) [((a+x) = (a+y)) (x=y)]

и

133

( x,y,a N) [((x+a) = (y+a)) (x=y)].

Но он не является двухсторонне обратимым, так как, например, со- отношения

( x,y N)( a N)(a+x=b)

и

( x,y N)( a N)(x+a=b),

вообще говоря, неверные. В самом деле, при а=х=3, а b=2 равенство х+3=2 – тождественно ложное.

Таким образом, для бесконечного группоида из обратимости слева (справа) не следует сократимость справа (соответственно, слева). Однако в том частном случае, когда группоид – конечный [18, стр.46], указные условия равносильны, а именно имеет место следующее утверждение.

Следствие 1 (из Утверждения 3). К о н е ч н ы й группоид обра- тим слева (справа, двухсторонне) тогда и только тогда, когда он сократим справа (соответственно, слева, двухсторонне)

(см. упр.8).

Различные виды обратимости группоида иногда бывает удобно харак- теризовать на «языке уравнений». Вот один из критериев такого рода.

Утверждение 4. Группоид (1) обратим слева (справа, двухсто- ронне) тогда и только тогда, когда для любых а,b X уравнение

при фиксированном а X имеет столько решений, сколько одинако- вых имен находится в столбце с меткой а, то есть столько, сколько существует элементов b X, что равенство (I) – верное.

Легко понять, что для бесконечного группоида из сократимости слева (справа) группоида не вытекает его обратимость справа (соот- ветственно, слева).

134

Итак, с уравнением (I) «связаны» свойства группоида (1) «обрати- мость слева» (существование решения) и «сократимость справа» (единст- венность решения»), а с уравнением (II) – «обратимость справа» (сущест- вование решения) и «сократимость слева» (единственность решения).

Критерии различных видов обратимости нейтралов могут быть сформулированы с использованием разных форм понятия «аннуля- тор группоида».

Утверждение 5. Моноид обратим слева (справа, двухсторонне) тогда и только тогда, когда его левый (соответственно, правый, двухсторонний) аннулятор – пустое множество.

6. Примеры алгебраических структур

Отдельные группоиды, обладающие фиксированным набором тех или иных свойств, имеют собственные имена. Сведения о некоторых из них приведены в табл. XII.14.

Поясним ее устройство. Наличие знака + (плюс) на пересечении i-й строки и j-го столбца, где 1≤i,j≤7, то есть в клетке табл. XII.14 с «коор- динатами <i,j>», свидетельствует о том, что группоид, имя которого находится в i-й строке левого «входного» столбца, по определению обладает свойством, название которого расположено в j-м столбце верхней «входной» строки. Это свойство называют необходимым признаком рассматриваемого группоида. Например, наличие знака + (плюс) в клетке <2,2> выражает тот факт, что полугруппой называют нечто иное, как ассоциативный группоид. Кортеж [15, стр.70], со- стоящий из имен всех необходимых признаков, то есть помеченных

135

знаком + (плюс) в i-й строке, полностью информирует о всех свойст- вах, присущих группоиду, имя которого расположено в i-й строке «входного» столбца. Так, наличие знака + в клетке <3,1> демонстри- рует, что моноид имеет нейтральный элемент, а в клетке <3,2> – что он является ассоциативным группоидом. Таким образом, кортеж необ- ходимых признаков

<наличие нейтрального элемента, ассоциативность>

характеризует моноид исчерпывающе.

Если в клетке <i,j> знак + (плюс) отсутствует, то, хотя i-й группоид и может обладать j-м свойством, но это совсем не обязательно. Так, моноид может быть как коммутативным (например, моноид < +, Z > ), так и нет (к примеру, моноид Sn). В случае коммутативности он пред- ставляет собой коммутативный моноид (см. строку 5 табл. XII.14).

Таким образом, присутствие знака + (плюс) в клетке <i,j> табл. XII.14 свидетельствует о том, что i-й группоид непременно об- ладает j-м признаком, а его отсутствие допускает возможность нали- чия либо отсутствие указанного свойства у этого группоида, если, разумеется, это не противоречит существованию у него необходи- мых свойств. Например, моноид может быть коммутативным или нет, но он непременно является ассоциативным нейтралом.

Существование знака (+) (плюс в скобках) в клетке <i,j> табл. XII.14 служит свидетельством того, что у i-го группоида j-е свойство (логически) следует из существования у него необходимых призна- ков. Так, присутствие знака + (плюс) в клетках <6,1>, <6,4> и <6,5> информирует нас, что группа необходимо является нейтралом, со- кратимым слева и справа.

Наличие у группоида свойств (2), (6) и (7) (см. табл. XII.14) позволя- ет именовать его группой. Каждое из четырех предложений, приведен- ных в формулировке Теоремы 1, служит критерием предложения

Данный группоид есть группа.

Убедимся в этом.

Теорема 1. Для полугруппы

перечисленные ниже свойства (условия) (1)–(4) эквивалентны.

(1)Полугруппа (1) обратима слева и обратима справа.

(2)В полугруппе (1) существует такой пнэл [Гл.ХII, §2, пп.3.2.1], от- носительно которого каждый ее элемент имеет побэл [Гл.ХII, §3, п.5].

136

(3)В полугруппе (1) существует такой лнэл [Гл.ХII, §2, пп.3.2.2], от- носительно которого каждый ее элемент имеет лобэл [Гл.ХII, §3, п.5].

(4)В полугруппе (1) существует такой днэл, относительно которо- го каждый ее элемент имеет добэл [Гл.ХII, §3, п.5]

(см. упр.1).

Резюмируем результаты, полученные в Теореме 1.

1. Мы располагаем четырьмя равносильными определениями группы. Условия (2) и (3) (см. формулировку Теоремы 1), могут при- годиться в тех случаях, когда необходимо доказать, что некоторая полугруппа является группой. Если же, наоборот, известно, что по- лугруппа (1) является группой, утверждения (2) и (3) в этом случае не нужны. Здесь целесообразно использовать ее свойства (1) и (4).

Итак, при выполнении по меньшей мере одного из условий (1) – (4) полугруппа представляет собой группу (оказывается группой). В ней

всилу свойства (4) существует днэл. Обозначим его через е. Он единст- венен, и никаких других лнэлов и пнэлов в группоиде нет. Итак,

( a X)(aTе = eTa = a).

Каждый элемент группоида, например элемент a X, имеет един- ственный добэл [Гл.ХII, §3, п.5], который иногда обозначают, напри-

мер (в экспоненциальной форме) (см. [Гл.ХII, §1, п.2]) через а-1.

Добэл элемента группы называют просто обратным (к нему). Итак, верно следующее соотношение:

Отсюда следует, что обратным элементу а-1 является а.

Теорема 2. Группа обладает свойствами «быть сократимой сле- ва» и «быть сократимой справа».

Доказательство. Пусть для группы (1) верно

«Умножая» слева обе части этого равенства на а-1, получаем: x=y, то есть группа (1) сократима слева. Аналогично доказывается сокра- тимость этой группы справа.

Итак, основная операция группы обладает пятью свойствами: 1) ассоциативностью; 2), 3) сократимостью слева и справа;

4), 5) обратимостью слева и справа.

Группу называют абелевой, или коммутативной, если ее основ-

ная операция – коммутативная.

Поскольку группа обратима слева и сократима справа, уравнение

137

хТа = b

имеет единственное решение bTa-1. Аналогично, единственным ре- шением уравнения

аТх = b

является элемент а-1Tb. В неабелевом случае эти решения могут не совпадать.

Упражнения

Идемпотентные группоиды

1. Дайте определение понятию

(см. Определение 1 из ТЧ).

Ответ. Элемент х группоида (воп-группоида)

называют неидемпотентным, если он не является идемпотентом, то есть верно соотношение

[ !(xTx)] [(!(xTx) (xTx ≠ x)]

(соответственно,

xTx ≠ x ).

2. Чем характеризуется таблица Кэли группоида, если известно, что один из его элементов – идемпотентный (неидемпотентный)?

Ответ. Если х – идемпотентный (неидемпотентный) элемент группоида, то в клетке «с координатами» <x,x> его ТК находится бу- ква х (соответственно, знак, отличный от х).

3. Определите понятие

Неидемпотентная часть группоида.

Ответ. Часть Х′ группоида (I) из упр.1 называтся неидемпотентной, если верно следующее соотношение:

(см. упр.1).

4. Запишите на ЛМЯ определение неидемпотентного группоида.

138

Ответ. Заменяя в формуле (I) из упр.3 множественную перемен- ную Х′ [15, стр.51, п.1.3.2] на множественную переменную Х, полу- чаем такое определение неидемпотентного группоида:

*5. Определите понятие «собственный подгруппоид группоида».

Решение.

Определение 1. Собственным подгруппоидом группоида

отвечающую условиям:

1)Х′Х;

2)( x,y X′)[(xTy) X′],

то есть пару вида (II), где множество Х′ замкнуто или устойчиво (от- носительно бинарной функции Т) (см. [19, стр.89, Определение 2]).

6. Докажите, что в группоиде

нет ни нэлов, ни анэлов, ни идемпотентов.

Доказательство. Предположим, что элемент n N+ есть нэл (анэл) либо идемпотент группоида (I). Покажем, что любое из этих утверждений – ложное.

1)Предположим, что n – идемпотент группоида (I). Тогда n+n=n, то есть 2n=n, или 1=2, что абсурдно [6, стр.14, ст. «Абсурд»].

2)Допустим, что m N+ – нэл группоида (I). Тогда

( n N+)(m+n=m),

то есть n=0, но 0 N+).

3) Будем считать, что p N+ – анэл группоида (I). Тогда

( n N+)(n+p=p),

то есть n=0, но 0 N+). 7. Докажите, что

139

Доказательство.

1) Покажем, что лнэл (ланэл) группоида

GD =df <T, X>

идемпотентен. В самом деле, в силу определения лнэла (соответст- венно, ланэла) верно

( x X)(eлTx=x).

(соответственно,

( x X)(алTx=ал) ).

Отсюда, полагая, что х=eл (соответственно, х=ал), получаем:

eлTeл=eл,

(соответственно,

алTал=ал),

что и требовалось доказать.

2) Аналогично устанавливается, что пнэл и днэл группоида идемпотентны.

8. Докажите, что утверждение, обратное к Утверждению (I) из упр.7, – опровержимое [14, стр.52, Определение 2].

Доказательство. Утверждение, обратно к Утверждению (I) из упр.7, формулируется так:

является идемпотентом, но ни один из них не является ни его днэ- лом, ни данэлом.

9. Докажите, что число 0 (ноль) группоида вида

– е д и н с т в е н н ы й его идемпотент (относительно операции сло-

жения чисел).

140