Дискретная математика основные теоретико-множественные конструкции. Ч.VI. Учебное пособие

где х – произвольная вещь4) из области определения функции f1. Дока-

жем его методом математической индукции по переменной n N+, где n>1, обозначающей число компонируемых функций [10, стр. 16–18].

Итак, пусть х пр1F1, где F1 – график функции f1. 1) При n=2 равенство (I) «принимает вид»:

(f1°f2)(x) = (f2(f1(x))). (II)

Оно верно в силу Теоремы 1 из п.1 ТЧ.

2) Предположим, что при n=k, где k N и k≥2, равенство (I), при-

В этом уравнении «фигурируют» две функциональные переменные [13, стр.52]: g и fk+1. В силу справедливости соотношения (II) указанное уравнение - верное. Заменяя в формуле (VI) букву g на правую часть зна- косочетания (V) и имея в виду правую часть равенства (III), получаем, что соотношение (IV) – верное, что и требовалось доказать.

*4. Найдите критерий ( то есть необходимые и достаточные ус-

ловия [2, т.3, стр.963, ст. «Необходимые и достаточные условия»]), которому должен удовлетворять фн-график F [16, гл.IV, стр.98], что- бы график F°F-1 был фн-графиком.

Ответ. Для того чтобы композиция F°F-1 фн-графика F со своей

инверсией F-1 являлась фн-графиком, необходимо и достаточно, чтобы график F был ин-графиком [16, Теорема 2, стр.101].

Доказательство

Необходимость. Предположим, что композиция F°F-1 фн-графика

F со своей инверсией есть фн-график, и покажем, что F – фн-график. Допустим, что F не является ин-графиком. Это означает, что сущест- вуют такие предметы а,b пр1F и с пр2F, что

11

Из принадлежности (II) имеем: <c,а>,<c,b> F-1. Отсюда и снова из (II) получаем: <a,а>,<a,b> F°F-1. В силу неравенства (I) график

F°F-1 не является фн-графиком, что противоречит условию утвер-

ждения, которое мы доказываем.

Достаточность. Пусть фн-график F является инъективным. То- гда график F-1 представляет собой фн-график (и ин-график). Поэтому F°F-1 – фн-график.

*5. Найдите Критерий (см. упр.4), которому должна удовлетво- рять функция f, чтобы соответствие f°f-1 было функцией.

Ответ. См. ответ к упр.4. Для того чтобы соответствие f°f-1

было функцией, необходимо и достаточно, чтобы функция f была инъективной.

6. Докажите или опровергните следующее утверждение:

Если H – ин-график, а F – фн-график, то H°F – фн-график. (I)

Ответ. Утверждение (I) – опровержимое.

Доказательство

Пусть а, b, с, d и e – попарно различные объекты. Ясно, что мно-

7. Докажите, что в том частном случае, когда H=F-1, компози- ция F-1°F представляет собой фн-график (см. упр.6).

Доказательство. Покажем, что F-1°F – фн-график. Для этого достаточно установить следующую импликацию:

[(<a,b> (F-1°F) <a,с> (F-1°F)] [b=c].

Имеем

<a,b> (F-1°F) ≡ x[(<a,x> F-1) (<x,b> F)] ≡

≡ x[(<x,a> F) (<x,b> F)] [a=b],

так как по условию график F – функциональный.

12

Аналогично, из принадлежности <a,с> (F-1°F) выводим, что а=с.

Из сказанного следует, что b=с, что и требовалось доказать. 8. Установите, что

Для любой функции f композиция f-1°f является функцией.

Ответ. См. доказательство в упр.7. 9. Докажите Теорему 1 из п.2 ТЧ.

Доказательство. Интересующая нас теорема формулируется так:

Пусть X и Y – множества, а f=df<F,X,Y> и g=df<G,Y,X> –

функции. Если обе функции f°g и g°f – т о ж д е с т в е н н ы е

G°F= Y2. (III)

1) Покажем, что функции f и g – биекции типов X→Y и Y→X соответственно.

1а) Из биективности функции f°g следует, что f°g – инъекция. То-

гда, согласно упр.4 из п.1, получаем, что f – инъекция. Так как f°g –

отображение, то в силу результата упр.25 из §1 гл.VI пособия [17, стр.43], f – отображение. И, наконец, поскольку f°g – сюръекция,

1б) Рассуждая так же, как и в п.1а), из биективности функции g°f вы-

водим, что g – инъективное отображение, а f – сюръекция.

Из доказанного в пп. 1а) и 1б) следует, что f и g – биекции ти- пов X→Y и Y→X соответственно.

2) Докажем, что равенство (I) – верное. Для этого достаточно по- казать, что

13

2а) Установим, что G F-1. Имеем: f-1=<F–1,Y,X>. Пусть

<x,y> G. (V)

Поскольку y X и f – отображение, то !f(y). Предположим, что f(y)=z, где z Y, то есть

Отсюда, согласно равенству (III), получаем: x=z. Следовательно, <y,x> F, то есть <x,y> F-1. Таким образом,

G F–1. (VII)

2б) Покажем, что F-1 G. Пусть <y,x> F-1. Тогда

<x,y> F.

Так как y Y, а g – отображение типа Y→X, то верно соотношение !g(y). Предположим, что g(y)=z, то есть

<y,z> G.

Тогда

<x,z> F°G.

Из (II) получаем: y=z. Значит, <y,x> G. Стало быть,

F–1 G. (VIII)

Из нестрогих включений (VII) и (VIII) следует равенство (IV). Та- ким образом, теорема о тождественных композициях доказана.

В соответствии с формулой (1) из п.3 §3 гл.V пособия [17, стр. 24] для произвольных корреспонденций, в частности, функций f и g верно:

(g=f–1) (g–1=f).

Поэтому, если функции f и g удовлетворяют условию Теоремы 1, то не только g=f–1, но f=(g–1).

*10. Верно ли утверждение, обратное Теореме 1 из п.2 ТЧ? Ответ: верное.

Решение. Утверждение, обратное к Теореме 1 из п.2. ТЧ, форму- лируется так:

14

Пусть

f=df<F,X,Y>

и

g=df<G,Y,X>

– биекции, причем

Тогда f°g и g°f – т о ж д е с т в е н н ы е функции

на м н о ж е с т в а х Х и Y соответственно.

1)Покажем, что функция f°g=<F°G,X,X> – тождественная на множестве Х. Для этого достаточно убедиться в том, что

Имеем

[ <x,y> F°F-1 ] ≡ [ z(<x,z> F <z,y> F-1 ) ] ≡

≡ [ z(<x,z> F <y,z> F) ] [x=y],

так как по условию график F – в частности, инъективный, поскольку f – биекция.

Таким образом, график F°F-1 состоит только из диагональных пар множества Х [15, стр.76]. Поскольку график 2X содержит все диа-

гональные пары множества Х, то нестрогое включение (III) – верное. 1.2) Установим, что

15

Оно равносильно формуле

Предположим, что х0 – один из элементов множества Х, для кото- рого формула (VI) справедлива, то есть равенство

верное. Поскольку по условию f – биекция, то пр1F=Х. Поэтому х0 пр1F. Отсюда следует, что соотношение

( y пр2F)(<x0,y> F)

верное. В силу функциональности графика F существует единствен- ный объект y0 пр1F, такой, что верна принадлежность

Таким образом, из принадлежности (V) «вытекает» принадлеж- ность (IX). А это и означает, что нестрогое включение (IV) – верное.

Из формул (III) и (IV) следует, что верно равенство (II), то есть функция f°g – тождественная на множестве Х.

2) Тот факт, что функция g°f – тождественная на множестве Y, ус- танавливается аналогично изложенному в п.1).

Итак, утверждение, обратное к Теореме 1 из п.1 ТЧ, - верное. *11. Докажите или опровергните, что Теорема 1 из п.2 ТЧ верна

не только для функций, но и для произвольных соответствий.

*12. 1) Докажите, что если композиция f°g функций f и g – инъек-

ция, то f – инъекция.

2) Опровергните аналогичное утверждение для произвольных соот- ветствий Γ и .

Доказательство

1) По определению утверждение об инъективности функции f равносильно следующей импликации:

16

( x,y X)[(f(x)=f(y)) (x=y)]. (I)

Докажем ее. Пусть x,y X и f(x)=f(y). Тогда в силу функциональ-

Γ° =<{<a,I>, <b,II>}, {a, b}, {I, II}>,

то есть Γ° – биекция и, следовательно, инъективное отображение,

но Γ не является инъективным соответствием.

Для наглядности результатов советуем читателям построить гра- фическую иллюстрацию описанной ситуации.

Примечания

1) В данном контексте знак ° является смешанным полисемом

[11; стр.58]. Он обозначает хотя и «близкие», но все же «различные» бинарные операции: компонирование графиков [14, стр.37] и компо- нирование соответствий [15, стр.25].

2) Напомним, что

Композиция б-графиков представляет собой б-график

17

(см. [16, стр.102]), но

Композиция б-корреспонденций вообще говоря не является б-корреспонденцией

(см. [17, стр.36]).

3)Здесь слово «вещь» мы используем как синоним слов «объект», «предмет» (см. упр.3 из GLXI-1a).

4)Отметим, что терм «биективность» – полисем [11, стр.57–58]. Он обозначает свойство функций, а также определение бинарного отношения между парой функций.

§2. Функции, обратные к данной

Операции инвертирования и компонирования соответствий (в частности, функций) позволяют «строить» из них по строгим синтаксическим правилам логико-математического языка

(ЛМЯ) [11, стр.35] различного рода «математические конструк- ции», имеющие большое теоретическое и практическое примене- ние. В этом параграфе мы займемся реализацией и изучением конструкции, которая носит название «функция, обратная к дан-

ной функции», или, допуская вольность речи, «обратная функция»1).

1. Обратные, обратимые и необратимые объекты

Напомним некоторые понятия.

Определение 1. Часть А множества Х называют замкнутой,

или устойчивой, относительно функции f типа Х→Х, если верно соотношение

и незамкнутой, или неустойчивой, в противном случае (см. упр.1). Очевидно, что если f – отображение [17, стр.34, п.2], то форму-

ла (1) «переходит» в такую:

(см. упр.3).

Рассмотрим несколько иллюстраций к сказанному.

Пример 1. В этом примере в качестве одноместной функции f, о которой шла речь в Определении 1, мы будем рассматривать (ис- пользовать) одноместную операцию инвертирования математических объектов, для которых она определенá.

18

В соответствии с определением кортежа [15, стр.70] знакосочета-

ние (II) изображает кортеж. Унарную, или одноместную, операцию

[17, стр.6], соотносящую кортежу (I) его инверсию (II), называют инвертированием. Очевидно, что для любого кортежа х верно равенство

(см. [16, стр.86, равенство (4)]), то есть операция инвертирования кор- тежа представляет собой инволютивное отображение [19, стр.87].

Из сказанного следует, что

Класс кортежей замкнут относительно операции их инвертирования.

(см. [17, стр.59, упр.8]).

Это утверждение верно также и для таких подклассов класса кор- тежей: симметричных [15, стр.87, Определение 3], в частности, диа-

гональных кортежей [15, стр.76, п.4].

2) Графиком называют множество, состоящее исключительно из кортежей [16, стр.80, Определение 1], а его инверсией – множество, состоящее только из всех инверсий его элементов.

В силу определения инверсии кортежа верно, что

Инверсия графика – график.

Легко убедиться, что операция, сопоставляющая графику его ин- версию (ее называют инвертированием графика), инволютивна. Из сказанного следует, что класс в с е х графиков замкнут относи-

тельно операции их инвертирования.

Это же верно и для его подклассов бинарных биективных графиков

[16, стр.102]. Но инверсия бинарного функционального графика (фн-графика) [16, стр.98, Определение 1] (бинарного инъективного гра- фика (ин-графика) [16, стр.100, Определение 2]) не является, вообще го-

воря, фн-графиком (соответственно, ин-графиком) (см. упр.4). Таким об-

разом, класс фн-графиков (ин-графиков) не является замкнутым относительно операции инвертирования фн-графиков (соответственно, ин-графиков) (см. упр.5).

3) Соответствием, или корреспонденцией, называют тройку вида

19

где X и Y – множества, а G X Y. Множество G называют графиком соответствия (IV), а множества Х и Y – его областями отправления и прибытия соответственно. Инверсией соответствия (IV)

называют тройку вида

Г-1 =df <G-1, Y, Х>, (V)

(см. [17, стр.24, п.3.1]). Поскольку G-1 Y X, то тройка вида (V) –

соответствие [17, стр.24, п.3.1].

Одноместную операцию, соотносящую корреспонденции ее ин-

версию, именуют инвертированием соответствия. Понятно, что

Класс соответствий замкнут относительно операции инвертирования.

Но, как и в случае с бинарными графиками, (см. п.2) данного примера)

Подкласс фн-соответствий (ин-соответствий) не замкнут относительно операции инвертирования

(см. упр.4).

4)То же самое, что и в п.3), можно сказать о классе бинарных со- ответствий, то есть соответствий, график каждого из которых со- стоит исключительно из пар.

5)Одноместные арифметические операции: сложение (умноже- ние) с константой (соответственно, на константу), степенная функ- ция, показательная функция необязательно замкнуты.

Рассмотренные примеры позволяют ввести такую терминологию:

1)Объект из какого-либо класса называют обратимым, если его инверсия есть элемент этого же класса, и необратимым – в против- ном случае. Инверсию обратимого элемента называют обратной (для него). Выше были приведены примеры элементов различных видов. Так, соответствие – обратимый элемент (класса всех соответ- ствий), а ин-элементы различных классов не являются таковыми.

В частности, для одного из основных математических понятий – функций – понятие «обратная функция» также пока неопределенó (см. п.2 из Примера 1). Мы займемся этим в п.3.

20