Дискретная математика основные теоретико-множественные конструкции. Ч.VI. Учебное пособие

группоид, относительно которого паре бинарных графиков соотносится бинарный график – их композиция [16, стр.95, Определение 1].

8) Пара вида <°, F(Х)>, где Х – множество, F(Х) – класс, состоя-

щий исключительно из всех функций типа Х→Х (то есть частичных преобразований [8, стр.45]), а кружок ° – знак бинарной операции их

компонирования [17, стр.25], представляет собой группоид, конечный или нет в зависимости от мощности множества Х [18, стр.17].

9)Воп-группоидами являются все пары вида <◊, Х>, где ◊ – бинар- ная коннекторная операция [13, стр.48], а Х – конечная или бесконечная совокупность, состоящая из истинностных символов [13, стр.78].

10)Пусть n N+. Обозначим через Пn совокупность, состоящую лишь из всех перестановок над множеством

Композицией перестановок α,β Пn, рассматриваемых в указанном порядке (то есть сначала α, а затем β), называют результат их после- довательного выполнения, что формально можно выразить так:

( i [1;n])((α°β)(i) = β (α(i))). (II)

Бинарную воп-операцию на множестве Пn вида

<α,β> → α°β

называют операцией компонирования перестановок (или подстановок) на множестве Пn.

Пример 1 (см. Пример 3 из Примечания 6). Имеем:

а) [2) ° 3)] = (1342)°(1)(234) = (1432);

б) [3) ° 2)] = (1)(234)°(1342) = (1324).

*Поскольку

[2) ° 3)] ≠ [3) ° 2)],

операция компонирования перестановок на множестве П4, вообще говоря, некоммутативная. В п.4 из §3 об этом будет сказано более подробно.*

Итак, пара

Sn =df <° , Пn >

91

– некоммутативный, но ассоциативный воп-группоид Sn, который называют симметрическим группоидом порядка n [7, стр.327].

В заключение раздела 3.2 мы уделим внимание некоторым глав-

ным, или выделенным, элементам [9, стр.46] в основном воп-

группоидов, а именно тем, которые играют существенную роль при описании их свойств: нейтральным и аннулирующим.

*3.2.1 Нейтральные элементы группоидов

Определение 1. Элемент ел (еп, ед) воп-группоида

называют его левым нейтральным (сокращенно лнэл′м) [соответ-

ственно, правым нейтральным (пнэл′м), двусторонне нейтральным (днэл′м)] относительно операции Т, если верно соотношение

( х X)(елTх=х)

[соответственно, соотношения

( х X)(хTеп=х)

и

( х X)(едTх=хTед=х) ],

и нелнэл′м (соответственно, непнэл′м, неднэл′м) в противном слу- чае – см. упр.1).

Определение 2. Элемент группоида (1) называют нейтральным (сокращенно: нэл'м), если он является его лнэлом, пнэлом или

днэлом (соответственно, п-нейтралом, д-нейтралом), а сам груп- поид, имеющий нэл (ланэл, панэл, днэл – нейтралом (соответст- венно, л-нейтралом, п-нейтралом, д-нейтралом).

Замечание. Поскольку любой группоид, в частности группоид (1), «располагает» только одной основной двухместной операцией, фразу «относительно операции Т» всюду ниже мы будем иметь вви- ду, но чаще всего опускать в письменной речи.

Утверждение 1 (критерий двухсторонней нейтральности элемента воп-группоида). Для того чтобы элемент воп- группоида был днэлом, необходимо и достаточно, чтобы он был его лнэлом и пнэлом (см. упр.4).

Пример 1. 1) Группоид

92

не имеет ни лнэла (и по этой причине – ни днэла, ни пнэла), по- скольку высказывания

( y N+)( х N+)(y+х=х)

и

( y N+)( х N+)(х+y=х)

– ложные. Действительно, они были бы справедливы только в том случае, когда y=0, но 0 N+.

2) Группоид

не имеет лнэла (и поэтому – днэла), но имеет пнэл – число «ноль» (0) (см. упр.5, пп.1.2а) и 1.2б)).

3) Группоид, представленный своей таблицей Кэли (ТК) (см. табл. ХII.6), имеет один лнэл – элемент а, но не имеет пнэла, и поэтому – днэла (см. упр.5, п.1.3).

поскольку верно следующее высказывание:

(αПn)(ε°α = α°ε = α).

Вывод. Таким образом, свойства элементов группоида «быть лнэлом» и «быть пнэлом» – семантически независимые [14, стр.73].

Определение 3. Элемент группоида (1) называют нейтральным (нэл′м), если он является его лнэлом, пнэлом или днэлом, а сам группоид, имеющий нэл (лнэл, пнэл, днэл) – нейтралом (соответст-

венно, л-нейтралом, п-нейтралом, д-нейтралом)7).

93

Пример 2 (см. Пример 1).

1)Группоид < +, N+ > не является нейтралом (см. п.1).

2)Группоид < –, Z > представляет собой п-нейтрал, но не л-нейтрал, и поэтому не является д-нейтралом (см. п.2).

3) Группоид, заданный ТК XII_3, л-нейтрал, но не п-нейтрал,

ив связи с этим, не д-нейтрал (см. п.3).

4)Группоид < +, N > и Sn – д-нейтралы (см. п.4).

Вывод. Таким образом, свойства элементов группоида (группоидов) «быть лнэлом» и «быть пнэлом» (соответственно «быть л-нейтралом»

и«быть п-нейтралом») – семантически независимые [14, стр.73].

Итак:

Свойства (2) – (4) [14, стр.72], то есть одноместные соотношения, «зависящие» от бинарной функциональной переменной Т [13, стр.52], могут быть присущи одним группоидам и не присущи другим.

Из Определения 2 вытекает следующее почти очевидное ут-

«быть днэлом») и с в о й с т в о э т о г о г р у п п о и д а «быть ней- тралом» (сообразно, «быть л-нейтралом», «быть п-нейтралом», «быть д-нейтралом») – э к в и в а л е н т н ы е [14, стр.29, п.VI].

В заключение данного раздела познакомимся с некоторыми свой- ствами нэлов и отношениями между ними.

(см. упр.6).

Утверждение 4. Группоиду может принадлежать не более одного днэла

(см. упр.7).

Утверждение 5. Если группоиду принадлежит более одного лнэла (пнэла), то в нем нет пнэла (соответственно, лнэла) и, следова- тельно, днэла

(см. упр.8).

Утверждение 6. В д-нейтрале нет лнэлов или пнэлов, отличных от его днэла

(см. упр.9).

Определение 4. Совокупность, состоящая только из всех лнэлов (пнэлов, днэлов) группоида называют его левым (соответственно,

94

правым, двусторонним) нейтрализатором (л-нейтрализатором) (соответственно, п-нейтрализатором, д-нейтрализатором).

Из этого определения и вышеизложенного следует, что:

1)д-нейтрализатор – не более чем одноэлементное множество

(см. пп.1) и 4) из Примера 1

2)если в группоиде есть непустой л-нейтрализатор (п-нейтрализатор), то его п-нейтрализатор (соответственно, л-нейтрализатор) – пустое множество (см. пп. 2) и 3) из Примера 1;

3)л-нейтрализатор и п-нейтрализатор д-нейтрализатора совпадают

сним (равны последнему) (см. Утверждение 6 и пп. 1) –4) из Примера 2). На этом мы заканчиваем изложение теории нейтральных элементов

группоида.

*3.2.2. Аннулирующие элементы группоида

Теория аннулирующих элементов воп-группоидов в известном смысле гомологична8) учению о его нейтральных элементах. Присту- паем к ее изложению.

Определение 1. Элемент ал (ап, ад) воп-группоида

называют левым аннулирующим (сокращенно: ланэлом) [соответ-

ственно, правым аннулирующим (панэлом), двусторонним ан-

нулирующим (данэлом)], если верно соотношение

и неланэлом (соответственно, непанэлом, неданэлом) – в про-

тивном случае.

Утверждение 1 (критерий двухсторонней аннулируемости эле-

мента группоида) Для того чтобы элемент группоида (1) был данэ- лом, необходимо и достаточно, чтобы он был ланэлом и панэлом

(см. упр.3).

Пример 1. 1) Группоид GD1 =df < +, N+ > (Sn) не имеет ни ла- нэла и, стало быть, данэла, ни панэла, поскольку верны следую- щие высказывания:

95

где (Х) – булеан множества Х [15, стр.44], а \ – знак бинарной теоре- тико-множественной операции вычитания множеств [15, стр.47–48], справедливо следующее соотношение:

( Y (X))( \Y= ),

то есть пустое множество является ланэлом, очевидно, единствен- ным группоида (I). Однако оно не является его панэлом (см. упр.4), и поэтому данэлом.

3) В группоиде GD3 =df < T3, {a, b, c} >, заданном своей ТК ХII.7:

элемент а – единственный панэл; но ланэлов и, стало быть, данэлов

внем нет.

4)Для группоида GD4 = df < , (X)> (GD5 = df <∩, (X)>) мно-

жество Х (соответственно, пустое множество ( )) – его ланэл (соот- ветственно, панэл) и поэтому оно является данэлом.

Вывод. Таким образом, свойства группоидов «иметь ланэл»

(сокращенно анэлом), если он является его ланэлом, панэлом или данэ-

96

лом, а сам группоид, имеющий анэл (ланэл, панэл, данэл) – аннуляром

(соответственно, л-аннуляром, п-аннуляром, д-аннуляром)9).

Пример 2. (см. Пример 1).

1)Группоиды GD1 =df < +, N+ > и Sn не является аннулярами.

2)Группоид GD2 < \, (X) > представляет собой л-аннуляр, не являющийся п-аннуляром, и поэтому – д-аннуляром.

3)Группоид, заданный табл. XII.2–XII.7, – п-аннуляр, не являю- щийся л-аннуляром и в связи с этим – д-аннуляром.

4)В группоиде GD4 (GD5) (см. п.4) из Примера 1) множество

Х( соответственно, пустое множество ( ) ) – данэл, и поэтому GD4 (соответственно, GD5) – д-аннуляр.

Вывод. Итак, свойства элементов группоида «быть ланэлом» и «быть панэлом» (соответственно «быть л-аннуляром» и «быть п-аннуляром»)

– семантически независимые [14, стр.73].

Таким образом,

Одноместные соотношения (2) и (3), то есть свойства [14, стр.72], зависящие от бинарной функциональной переменной Т [13, стр.52], могут быть присущи одним группоидам и не присущи другим

(см. примечание 2).

Из Определения 2 следует очевидное утверждение: Утверждение 2. Свойство элемента группоида «быть анэлом»

(соответственно, «быть ланэлом», «быть панэлом», «быть данэлом») и свойство этого группоида «быть аннуляром» (соответственно, «быть л-аннуляром», «быть п-аннуляром», «быть д-аннуляром») – попарно эквивалентные [13, стр.29, п.6].

В заключение данного раздела рассмотрим некоторые алгебраи- ческие свойства анэлов и отношения между ними.

Утверждение 3. Если ал – ланэл группоида (1), а ап – его панэл, то

(см. упр.6).

Утверждение 4. Группоиду может принадлежать не более одного данэла

(см. упр.7).

Утверждение 5. Если группоиду принадлежит более одного ланэ- ла (панэла), то в нем нет панэла (соответственно, ланэла) и, следова- тельно, данэла

(см. упр.8).

97

Утверждение 6. В д-аннуляре нет ланэлов или панэлов, отличных от его данэла

(см. упр.9).

Определение 3. Совокупность, состоящая т о л ь к о и з в с е х ланэлов (панэлов, данэлов) группоида называют его левым (соот-

ветственно, правым, двусторонним) аннулятором (л- аннулятором) (соответственно, п-аннулятором, д-аннулятором).

Из этого определения и вышеизложенного следует, что:

1)Д-аннулятор – не более, чем одноэлементное множество

(см. Утверждение 2 и пп. 1) и 4) из Примера 1).

2)Если в группоиде есть непустой л-аннулятор (п-аннулятор), то его п-аннулятор (соответственно, л-аннулятор) – пустое множество

(см. Утверждение 5 и пп. 2) и 3) из Примера 1).

3)Л-аннулятор и п-аннулятор д-аннулятора совпадают с ним (равны последнему)

(см. Утверждение 6 и пп. 1) и 4) из Примера 1).

Упражнения

Определение n-местных алгебраических операций. Терминология

1. Укажите свойства, присущие n-местным операциям, где n N+, но не являющиеся необходимыми для произвольных многоместных функций.

Указание. Все элементы области отправления n-местной операции являются кортежами длины n над одним и тем же множеством. Эти свойства представляют собой в основном тривиальные следствия из определения операции, а также связей между ее составляющими.

2. 1) Чему равно наименьшее значение наибольшего общего дели- теля (НОД) [2, т.3, стр.865, ст. «Наибольший общий делитель»] всех компонент непустого ненулевого кортежа над N11).

2) Приведите примеры НОД в нескольких конечных непустых со- вокупностей натуральных чисел, и сформулируйте достаточные ус- ловия их взаимной простоты.

Ответ. 1) Интересующее нас значение равно числу 1. Нату- ральные числа, НОД которых равен 1, называются взаимно про- стыми [2, т.1, стр.690, ст. «Взаимно простые числа»].

1) Если один из элементов указанной совокупности равен числу 1 (единице), то все ее элементы – взаимно простые числа.

98

2) Если все элементы упомянутой совокупности – попарно раз- личные простые числа [18, стр.76, Определение 2],то все ее элемен- ты – взаимно простые числа.

3. Приведите примеры n-местных операций, где n N и n≥1.

Решение

1)Унарная воп-операция, заданная одноместным термом хa, где х N+, а а - натуральная константа [13, стр.36], является операцией типа N→N, или на N, инъективной, если а≠0, но не сюръективной, если а≠1. Например, при а≠1 она не принимает значений, равных простым числам, в частности, 5.

2)Сложение и умножение чисел являются бинарными воп- операциями на каждом из множеств N, Z, Q, R и K, не инъективны-

ми (поскольку, например, <5,3>≠<3,5>, но 5+3=3+5=8 и 5 3=3 5=15),

но сюръективными (так как любое число х может быть представлено как сумма х+0 и произведение х 1). Разумеется, бинарные операции сложений н а т у р а л ь н ы х и ц е л ы х чисел – это разные опера- ции, поскольку первая из них типа (N2→N), а вторая – (Z2→Z).

3) Вычитание натуральных чисел является частичной операцией на множестве N, так как

( х,у N)[!(х–у) х≥у],

но воп-операцией на множествах Z, Q, R и K, неинъективной (по- скольку, например, <5,3>≠<6,4>, но 5–3=6–4=2), и сюръективной

(ибо, если X {N, Z, Q, R, K}, то 0 X ( x X)(x=x–0)).

4) Пусть А – числовое множество. Операцию, соотносящую паре

<x,y> A2 коразность x y, где

x y =df (y–x),

называют ковычитанием чисел. Ясно, что если A=N, то

!(x y) (y≥x),

то есть на множестве N бинарная операция является только час- тичной. Однако эта операция – всюду определенная, например, на множестве Z.

5) Операцию, «сопоставляющую» паре <x,y> A2, где А – число- вое множество, их частное x:y, называют делением. Ясно, что если, например, A =df Q, то !(x:y) y≠0, то есть на множестве Q операция деления не является всюду определенной, но будет ею, в частности, на множестве Q\{0}.

99

6) Операцию, «преобразующую» пару <x,y> A2 в кочастное x/y, где

(x/y) =df (y:x),

называют коделением. Ясно, что если A=N, то

!(x/y) x≠0.

Здесь справедливы те же замечания, что и в пп. 4) и 5).

7) Для всякого множества Х объединение, пересечение, разность, симметрическая разность и другие бинарные теоретико-

множественные действия [15, стр.44–50] являются двухместными операциями на множестве (Х), а операция взятия дополнения до множества Х [15, стр.48–49, п.5.2] – одноместной всюду опреде- ленной операцией на нем.

8) Каково бы ни было множество Х, компонирование графиков [16, стр.95, Определение 2] – бинарная воп-операция на множестве

(Х2), а инвертирование графика [16, стр.10] – унарная воп-

операция на нем.

9) Для всякого m N+ существует m-местная всюду определенная либо частичная операция на N. В самом деле, пусть

n =df <n1,n2,...,nm> Nm.

m-местными всюду определенными являются, например, такие операции:

а) n→Σi [1;m]ni; б) n→Πi [1;m]ni;

в) n→max{n1,n2,...,nm}; г) n→min{n1,n2,...,nm};

д) n→НОД{n1,n2,...,nm}, где ( i: 1≤i≤n)(ni≠0).

Следующие m-местные операции являются частичными:

е) m→(Σi [1;m]ni)/m – среднее арифметическое чисел n1,…,nm; ж) m→(Πi [1;m]ni)/m – среднее геометрическое чисел n1,…,nm,

(см. §1, п.3 и упр.3 в п.2).

4. Докажите, что утверждение, сформулированное в п.1) из При- мера 1 в ТЧ, – верное.

Доказательство

1)Очевидно, что сумма (произведение) любого, бóльшего 1, ко- нечного [18, стр.46] числа элементов натурального ряда есть нату- ральное число, то есть указанная кор-функция – отображение.

2)Легко понять, что любое натуральное число n N можно пред- ставить в виде такой суммы (произведения) натуральных чисел: n+0

(соответственно, 1 n), то есть указанное отображение – сюръективное.

100