Дискретная математика основные теоретико-множественные конструкции. Ч.VI. Учебное пособие

2) См. формулу (IV) из упр. 22 к §1 гл. VI пособия [17, стр.45]. 10. Докажите, что в общем случае композиция отображений не

является отображением.

Доказательство. Пример, приведенный в [17, стр.42], свидетельст- вует о том, что композиция воп-соответствий не является, вообще гово- ря, воп-соответствием. Предлагаем читателю завершить доказательство.

*11. 1) Выявите и докажите критерий всюду определенности и функциональности композиции соответствий.

2) То же, но для композиции отображений.

Решение. Пусть

-соответствия.

1)Критерий всюду определенности их композиции имеет вид

(см. [17, стр.45, формула (IV)]).

Определение функциональности соответствия, например, соот- ветствия (I), таково:

(Г – функция) ≡df (G– функциональный график).

(см. [17, стр.33, определение (1)]). Отсюда следует, что функцио- нальность композиции соответствий, например, соответствий (I) и (II), может быть выражена так:

Критерий функциональности композиции графиков, например,

графиков G и H, таков:

51

(см. [16; стр.124, упр.27, формулы (III) и (IV)]). Из сказанного следу- ет, что любая из конъюнкций (III) (V), (III) (VI), образованная из указанных соотношений, представляют собой

Критерий всюду определенности и функциональности композиции Г°

соответствий (I) и (II).

2) Предположим, что соответствия (I) и (II) – отображения. Тогда верны следующие соотношения:

(G°H – ф-график), пр1G=Х и пр1H=U.

Критерий всюду определенности и функциональности композиции Г°

отображений Г и таков:

((Г° ) – отображение) ( x X)( y пр2G)(<x,y> G y U).

12. Пусть f=df<F,X,Y> – соответствие.

1) Докажите следующие эквивалентность и равенство:

(функция f – инъективное отображение) (f°f-1 = IX), (I)

где IX – тождественная функция на множестве Х.

Доказательство. 1) Согласно формуле (3) из п.1 §2 эквивалентность

- верная. Она остается верной и в том отдельном случае, если f – инъективное отображение, то есть когда верно, в частности, равенст- во пр1F=Х, и принимает такой вид:

13.Докажите Теорему 2 из п.1 ТЧ.

14.Докажите Следствие 1 из Теоремы 2 в п.1 ТЧ [15; стр.55,

формула (2)].

Доказательство. Так, тройка Γ =df <{<a, α>}, {a}, {α, β}> f – инъек-

тивное отображение, но ее инверсия Γ-1 =df <{<α, а>}, {α, β}, {a}> ото- бражением не является.

52

2) Докажите строго Утверждение (1) из Теоремы 1.

Решение. 1) Пусть

f =df <{<a, α>, <b, β>}, X, Y>,

где

X =df {a, b}, а Y =df {α, β, γ}.

Тогда интересующие нас ретракции, например, таковы: r1 =df <{<α,a>, <β,b>, <γ,a>}, Y, X>;

r2 =df <{<α,a>, <β,b>, <γ,b>}, Y, X>.

2. Докажите Теорему 1 из п.2 ТЧ, стр. 4 – 6.

Теорема 1. Пусть Х и Y – множества, а f – отображение типа Х→Y. Имеют место следующие утверждения.

Утверждение 1 (необходимые условия инъективности ото- бражения с непустой областью отправления). Если Х≠ , а Т – ин-отображение, то существует такое отображение r типа Y→X, что

Утверждение 2 (достаточные условия инъективности отображения). Если существует такое отображение r типа Y→X, что верно равенство (1), то f – и-отображение.

Утверждение 3 (достаточные условия сюръективности отображения). Любое отображение r типа Y→X, удовлетворяю- щее условию (1), сюръективно.

53

а f – ин-отображение типа X→Y. Покажем, что существует такое отображение r типа Y→X, что равенство (1) f – верное.

Из неравенства (I) вытекает, что существует такой объект с, что

с Х. (II)

Определим отображение r типа Y→X следующим образом. Пусть y Y. Тогда выполняется единственная из (двух) альтернатив:

y Y\f(Х). (IV)

Проанализируем их.

а) Если справедлива принадлежность (III), то в силу инъективно- сти отображения f существует единственный элемент х Х, что

б) Если же истинна принадлежность (IV), то будем считать, что r(y)=с (см. принадлежность (II)). Таким образом, r – отображение типа Y→X.

Покажем, наконец, что для отображения f и построенного выше отображения r равенство (1) – верное. Пусть х Х. Тогда в силу ра- венств (V) и (VI) имеем

r(f(x))=r(y)=x,

то есть

( х Х)(r(f(x))=x),

или

( х Х)((f°r)(x))=IX(x)).

Итак, согласно формуле (5) из п.2 §1 гл.IX пособия [19; стр.12] равенство (1) – верное.

2) Докажем утверждение 2. Предположив, что f и r – отображения типов X→Y и Y→Х соответственно, для композиции которых верно

54

равенство (1), убедимся, что f – ин-отображение. Пусть х,х′X и f(х)=f(х′). Имеем: х=r(f(x))=r(f(х′))=х′. Таким образом, соотношение

( х,х′Х)[ (f(х)=f(х′)) (х=х′) ]

–верное. А это и означает, что отображение f – инъективное.

3)Докажем Утверждение 3, а именно, убедимся, что отображение r

типа Y→X, удовлетворяющее условию (1), – сюръективное. Для этого следует доказать, например, что соотношение

( x X)( y Y)(r(y)=x)

– верное.

Пусть x X. Так как f – отображение типа X→Y, то существует такое y Y, что f(х)= y. Отсюда получаем, что r(f(x)) = r(y), или в силу равен- ства (1) r(y)=x. Таким образом, для каждого x X существует такое y Y, что r(y)=x. Для этого в качестве y можно зафиксировать f(х).

Замечание 1. Отметим, что если для ин-отображения (1) верно

1< X < Y ,

то существуют, по меньшей мере, две ретракции, ассоциированные с f (см. упр.1 из п.2). Здесь знакосочетание Х именует мощность множества Х [18, стр.16 – 18].

3. Докажите Теорему 2 из п.2 ТЧ.

Теорема 2. Пусть Х и Y – множества, а f – отображение типа Х→Y. Имеют место следующие утверждения.

Утверждение 1 (критерий сюръективности отображения)

Для того чтобы f было сюръекцией, необходимо и достаточно, чтобы существовало отображение s типа Y→X, удовлетворяющее условию:

Утверждение 2 (достаточное условие инъективности отобра-

жения). Любое отображение s: Y→X, удовлетворяющее условию (2), инъективно.

Доказательство

1) Докажем Утверждение 1.

Необходимость. Пусть f: X→Y – сюр-отображение, то есть f(X)=Y. Тогда ( y Y)(f-1({y})≠ ). Определим отображение s типа Y→X так. Каждому y Y поставим в соответствие s произвольный, но единствен- ный элемент x f-1({y}). Таким образом, s(y)=x, а f(x)= y. Имеем: f(s(y))=f(x)=y, то есть s°f – тождественное отображение типа Y→Y.

55

Достаточность. Пусть f: X→Y и s: Y→X – отображения, удов-

Но s(Y) X. Отсюда следует, что f(s(Y)) f(X), или, в силу равен- ства (I), Y f(X). Поскольку f(X) Y, то из последних двух включений получаем, что f(X)=Y, то есть отображение f: X→Y – сюръективное.

2) Докажем Утверждение 2. Пусть s – произвольное отображе- ние типа Y→X, для которого равенство (2) из упр.2 выполняется. Отсюда, в силу Утверждения 1, следует, что отображение f – сюръ- ективное. Пусть y1,y2 Y и

y1≠y2.

Установим, что отображение s типа Y→X – инъективное. Так как по условию функция f типа X→Y – отображение, то

f-1({y1})∩f-1({y2})=

(см. пособие [17, стр.36]). Поскольку по определению отображения s верно: s(y1) f-1({y1}) и s(y2) f-1({y2}) (см. раздел «Необходимость» из доказательства Утверждения 1), то

s(y1)≠s2(y2).

Итак, импликация

( y1,y2 Y)((y1≠y2) (s(y1)≠s2(y2))

–верная. Но это и означает, что отображение s – инъективное.

4.Докажите Теорему 3 (о тождественных композициях отображений) из п.2 ТЧ.

Доказательство. Формулировка указанной теоремы такова:

Пусть X и Y – множества, а функции f: X→Y и g: Y→X – отобра- жения. Если g°f– тождественное отображение множества Y, а f°g –

тождественное отображение множества X, то f и g– биекции, и f=g-1.

Поскольку f°g – тождественное отображение множества X, то, в

силу Утверждения 2 из Теоремы 1 функция f – ин-отображение. А в силу того, что g°f – тождественное отображение множества Y, и Ут-

верждения 1 из Теоремы 2 – f–сюр-отображение. Значит, f – биекция типа X→Y. Аналогично доказывается, что g – биекция типа Y→Х. Очевидно, что f°g=IХ, откуда и следует, что f=g-1.

56

5.Докажите, что всякая ретракция сюръективна (соответственно, всякое иссечение инъективно) [3, стр.96, 4-й абзац сверху].

6.Пусть X и Y – множества. Докажите, что если существует сюр-

отображение типа X→Y, то

Доказательство. Предположим, что f – сюр-отображение типа X→Y. В силу Предложения 2 из п.2 существует иссечение s, ассо- циированное с f, которое является инъективным отображением типа Y→X, и поэтому, согласно определению отношения ≤ [18, стр.34], неравенство (I) – верное.

*7. Докажите, что если F – функциональный (инъективный, биектив- ный) график, то |пр2F|≤|пр1F| (соответственно, |пр1F|≤|пр2F|, |пр1F|=|пр2F|).

Доказательство.

а) Отображение f=df<F, пр1F, пр2F> сюръективно. Поэтому в силу результата, полученного в упр.6, верно

|пр2F|≤|пр1F|. (I)

б) Если F – инъективный график, то F-1– функциональный график, а функция f=df<F-1, пр1F-1, пр2F-1> = <F-1, пр2F, пр1F> – отображение. В соответствии с результатом, полученным в упр.6, для функции f верно:

|пр1F|≤|пр2F|. (II)

в) Если F – биективный график, то он функционален и инъекти- вен, и поэтому для него верно как нестрогое неравенство (I), так и нестрогое неравенство (II), из которых и следует, что

|пр1F|=|пр2F|.

8. Докажите Теорему 4 (теорему «взаимности») из п.2 ТЧ.

Доказательство. Формулировка интересующей нас теоремы следующая:

Если отображение f: X→Y, где Х≠ , – инъективное (соответствен- но, сюръективное), а r: Y→X – ретракция, ассоциированная с f (соот- ветственно, s: Y→X – иссечение, ассоциированное с f), то (в свою оче- редь) f есть иссечение, ассоциированное с r (соответственно, ретракция, ассоциированная с s).

1) Пусть f: X→Y – и-отображение, а r: Y→X – ретракция, ассоции- рованная с f. Тогда верно равенство (1). Для того чтобы доказать, что f – иссечение, ассоциированное с r, требуется установить, что r – сюръек- ция. Но этот факт уже установлен в Утверждении 3 из Теоремы 1.

57

2) Когда f: X→Y – сюръективное отображение, то рассуждения аналогичны.

В замечании 1 мы говорили, что если X – более чем одноэлемент- ное множество, то ретракция r по функции f определяется не единст- венным образом (см. упр.2).

9. Докажите Теорему 5 (достаточные условия (для) равенства иссечений, ассоциированных с (одной) функцией) из п.2 ТЧ.

Доказательство. Формулировка данной теоремы такова:

Если f: X→Y – с ю р ъ е к т и в н о е отображение, а s1 и s2– два таких иссечения, ассоциированные с f, что

(то есть если образы множества Y относительно иссечений s1 и s2 совпадают, то последние равны).

Пусть y Y. Так как любое иссечение, ассоциированное с f, – ото- бражение, то существует такое x Х, что

s1(y)=x (III)

и x s1(Y). В силу равенства (I) верно: x s2(Y), и поэтому существует такое y′ Y, что

s2(y′)=x. (IV)

Из равенств (III) и (IV) получаем: s1(y)=s2(y′). Отсюда следует, что f(s1(y))=f(s2(y′)), то есть, в силу равенства (2) из упр.3, y=y′. Таким образом, для любого y Y значения иссечений s1 и s2 совпадают и поэтому равенство (II) – верное.

*10. Докажите, что если X и Y – множества, то верна импликация

X Y |X|≤|Y|

(см. [18; стр. 34]).

Доказательство. Если X Y, то существует каноническое ото- бражение [17, стр.35, Определение 2] множества X во множество Y , то есть такое отображение, которое каждому x X ставит в соответ- ствие его же, но уже рассматриваемый как элемент Y. Каноническое отображение типа X→Y инъективно и поэтому в силу определения отношения ≤ (см. [18, стр.34]), получаем

|X|≤|Y|.

58

*11. Напомним, что знакосочетание |Y| обозначает мощность

– верное, установлен в [3, стр.194, Предложение 12]6). Доказательст- во строгого неравенства

|Х|<| (Х)| (III)

приведено, например, в пособии [18, стр.36]. Подставляя в неравен- ство (III) на место терма | (Х)| синонимичный ему терм 2|Х| (см. ра- венство (II)), получаем строгое неравенство (I), которое оказывается верным, что и требовалось доказать.

*12. Используя результат, полученный в упр.11, докажите, что

Не существует множества, подмножеством которого было бы любое множество.

Доказательство. Если бы U было таким множеством, то в качестве своего подмножества оно содержало бы множество (U), то есть имело

бы место включение (U) U. Отсюда, в силу результата упр.11, получа-

ем: что | (U)|≤|U|. Но | (U)|=2|U| (см. упр.2). Тогда 2|U|≤|U|, что противо-

речит строгому неравенству (III) из упр.11.

Теоремы о композициях отображений с заданными свойствами

1. Докажите Теорему 1 из ТЧ [3, стр.96].

Доказательство. Формулировка указанной теоремы такова:

Пусть X, Y и Z – множества, f – отображение типа X→Z, а g – сюр- отображение типа X→Y. Имеют место следующие утверждения

(см. рис.XI.1).

Утверждение 1. Для существования такого отображения h типа Y→Z, что

59

Утверждение 2. Отображение h однозначно определяется отображением f.

Утверждение 3. Если s – иссечение, ассоциированное с g, то

h=s°f3). (III)

Доказательство. 1) Докажем Утверждение 1. Его формальная запись такова:

Доказательство эквивалентности (IV) сводится к установлению ис- тинности двух импликаций. Выполним это.

Необходимость. Покажем, что из равенства (I) следует соотно- шение (II).

Пусть для x,x′ X справедлива формула

g(x)=g(x′). (V)

Поскольку g – сюр-отображение типа X→Y, а h – отображение типа Y→Z, из (V) получаем: h(g(x))= h(g(x′)), откуда в силу равенст- ва (I) следует: f(x)=f(x′), что и требовалось доказать.

Достаточность. 1) Предлагаем читателю самостоятельно убе- диться в том, что соотношение (II) имплицирует равенство (I).

2) Докажем Утверждение 2.

Очевидно, что к а к о в о б ы н и б ы л о и с с е ч е н и е s, а с - с о ц и и р о в а н н о е с с ю р - о т о б р а ж е н и е м g, верно

60