Дискретная математика основные теоретико-множественные конструкции. Ч.VI. Учебное пособие

3) Справедливость равенства (III) установлена при доказательстве Утверждения 2 (см. «цепочку равенств» (VI)).

2. Докажите Теорему 2 из [3, стр.96].

Доказательство. Формулировка данной теоремы такова:

Пусть X, Y и Z – множества, f – отображение типа Z→X, а g – и-отображение типа Y→X. Имеют место следующие ут- верждения (см. рис.XI.2).

необходимо и достаточно, чтобы выполнялось нестрогое включение

Доказательство. 1) Докажем Утверждение 1. Его формальная запись такова:

(f=h°g) (f(Z) g(Y)).

61

Для доказательства этой эквивалентности достаточно установить, что верны две соответствующие импликации. Сделаем это.

Необходимость. Предположив справедливость равенства (I), убедимся, что нестрогое включение (II) – верное. Согласно (I) имеем

(IV)

(V)

Из соотношений (IV) и (V) в силу «правила силлогизма» [14, стр.52, формула «л»)] следует нестрогое включение (II).

Достаточность. Покажем, что нестрогое включение (II) импли- цирует равенство (I). Поскольку g – ин-отображение типа Y→Х, то согласно результату, полученному в Теореме 2 из п.2 ТЧ, верно: с у щ е с т в у е т р е т р а к ц и я , н а п р и м е р r, а с с о ц и и р о в а н - н а я с g, что выражается следующим равенством:

– верное. Из равенств (IX), (VII), опираясь на соотношения (X), (VI), последовательно получаем:

g(h(z))=g(r(f(z)))=g(r(g(y)))=g(y)=f(z). (XI)

Отсюда явствует, что

( z Z)(f(z)=g(h(z))),

то есть

( z Z)(f(z)=(h°g)(z)),

62

или f=h°g, что и требовалось доказать.

2) Докажем Утверждение 2. Используя формулу (VI), свойство ас-

социативности операции компонирования соответствий [17, стр.26,

равенство (8)] и формулу (I), шаг за шагом получаем

h = h°IY = h°(g°r) = (h°g)°r = f°r,

то есть h = f°r. Это равенство показывает, что для в с я к о й ретрак-

ции, например r, ассоциированной с g, отображение h определяется только отображением f.

3) Утверждение 3 установлено при доказательстве Утверждения 1 (см. формулу (ХI)).

3. Пусть f1 – отображение типа Х→Y, f2 – отображение типа Y→Z, а f3 =df (f1°f2). Имеют место следующие утверждения:

Утверждение 1. Если f1 и f2 – ин-отображения, то и f3 – ин- отображение. Если r1 и r2 – ретракции, ассоциированные с f1 и f2, то r1°r2 – ретракция, ассоциированная с f3.

Утверждение 2. Если f1 и f2 – сюр-отображения, то и f3 – сюр- отображение. Если s1 и s2 – иссечения, ассоциированные с f1 и f2, то s1°s2 – иссечение, ассоциированное с f3.

Утверждение 3. Если f3 – инъекция, то и f1 – инъекция; если r3 рет- ракция, ассоциированная с f3, то r3°f2 – ретракция, ассоциированная с f2.

Утверждение 4. Если f3 – сюръекция, то и f2 – сюръекция; если s3 – иссечение, ассоциированное с f3, то f1°s3 – иссечение, ассоцииро-

ванное с f2.

Утверждение 5. Если f3 – сюръекция и f2 – инъекция, то f1 – сюръек- ция; если s3 – иссечение, ассоциированное с f3, то s3°f2 – иссечение, ассо-

циированное с f1.

Утверждение 6. Если f3 – ин-отображение, а f1 – сюр-отображение, то r3°f2 – ретракция, ассоциированная с f2.

Примечания

1) Синонимом соотношения

f – сюр-отображение

является по определению соотношение

f есть параметрическое представление множества Y посредством множества X (или через множество X).

63

В этом случае X называют множеством параметров этого представления, а элементы из X – параметрами.

2)Таким образом, операции инвертирования и компонирования отображений не являются замкнутыми, или по-другому: класс ото-

бражений не является замкнутым относительно операций инверти- рования и компонирования [16, стр.21].

3)«С точки зрения» ЛМЯ в соотношении (III) знак f – константа,

аs – переменная [13, стр. 33 – 41; стр.44 – 52], значения которой од- нозначно определяются значениями h.

4)При выводе использованы равенства (I) и s°g = IY, а также свой-

ство ассоциативности операции компонирования соответствий [17, стр.26, равенство (8)].

5) «С точки зрения» ЛМЯ в соотношении (III) f – существенная пе-

ременная, а s – фиктивная (см. пособие [14, гл.III, §3, п.3; стр.40–41]).

64

ГЛАВА XII. МНОГОМЕСТНЫЕ ФУНКЦИИ

§1. Определение многоместных функций

иих свойства

1.Кортежные графики и соответствия

Определение 1. Кортежным графиком (сокращенно: кор-

графиком) называют 2-график, или, что то же, бинарный график,

[16, стр.90, Определение 1], первая проекция которого является гра- фиком [16, стр.8, Определение 1], то есть множеством, состоящим исключительно из кортежей [15, стр.70].

Таким образом,

В зависимости от свойств кор-графиков различают их следующие виды: функциональные, инъективные и биективные [16, стр.98 – 103].

Пример 1. Бинарный кор-график

G1=df{<<4,8>, 1>, <<4,8>, 2>, <<6,12,18>, 1>, <<6,12,18>, 3>}

состоит из четырех пар, каждая из которых обладает следующим свойством:

Ее вторая проекция представляет собой о д и н и з д е л и т е л е й всех компонент ее первой проекции.

График G1 не функционален и поэтому не биективен и не является инъективным (см. упр.3).

Определение 2. Пусть n N+. Кор-график называют n-местным, или n-арным (сокращенно: n-графиком), если все элементы его первой проекции являются кортежами длины n [15, стр.75 – 76].

Итак,

Пример 2. 1-я проекция кор-графика G1 из примера 1 состоит из кортежей длин 2 и 3 и поэтому G1 н е я в л я е т с я n - а р н ы м п р и л ю б о м n N. Но его подграфики [16, стр.8]

G11 =df {<< 4,8>, 1>, << 4,8>, 2>} иG= df {<<6,12,18>, 1>, <<6,12,18>, 3>}

65

суть двухместный и трехместный кор-графики. Они не функцио- нальны, и поэтому не биективны, но инъективны (см. упр.4).

Определение 3. Соответствие

называют кортежным (кор-соответствием), если G – кор-график

(см. Определение 1 или дефиницию (1)). Таким образом,

(Г=df<G,X,Y> – кор-соответствие) ≡df

≡df(Г=df<G,X,Y> – соответствие и G – кор-график).

Взависимости от свойств графика G, а также связей между мно- жествами прiG, i {1,2}, X и Y различают всюду определенные,

функциональные, инъективные, сюръективные и биективные кор-соответствия [17, стр.33].

Пример 3. Пусть G1 – тот же кор-график, что и в Примере 1,

а X1 – множество, составленное только из всех кортежей нену- левой длины над N+ [15, стр.75-76]:

X1 =df N ∞+ =df ( ∞n=1 Nn)2)

(см. [20, стр.95, формула (7)]), а Y N. Тогда тройка

Г1=df<G1, X1, Y>

– кор-соответствие, которое не обладает ни одним из четырех основ-

ных свойств соответствий [17, стр.33] (см. упр.5).

(Г=df<G, X, Y> – n-арное кор-соответствие) ≡df

≡df(Г=df <G,X,Y> – кор-соответствие и G – n-арный кор-график).

Пример 4. Пусть G 11 , G 12 , X1 и Y – множества, описанные в Примерах 2 и 3. Тройки Г2=df<G 11 , X1, Y> и Г3=df<G 12 , X1, Y>

являются бинарной и тернарной кор-корреспонденциями, соответ- ственно, инъективными, но не функциональными, не всюду опре- деленными и не сюръективными (см. упр.6).

Определение 5. Пусть n N+. Кор-соответствие, график которого представляет собой n-местный функциональный график [16, стр.80,

66

Определение 3], называют n-местной, или n-арной функцией, или

функцией от n аргументов. Таким образом,

(f – n-местная функция) ≡df

≡df (f – n-местное функциональное кор-соответствие). (4)

Пример 5. Всякое соответствие с графиком G1 из Примера 1 не явля- ется n-местной функцией при любом n N+. Однако, n-соответствие

f= df <G2, X1, Y>,

где множества X1 и Y – те же, что и в примере 3, а

G2 = df{<<4,8,12>, 4>, <<6,12,18>, 6>, <<10,15,20>, 5>},

представляют собой трехместную функцию, поскольку каждому числу из совокупности, состоящей из всех объектов первой проекции каждой пары (то есть элементам объема [15, стр.73]) первой проек- ции каждой пары соотносится их наибольший общий делитель [4, глава 1, §2; стр.6], *который, как известно, для любого конечной непустой части множества N, отличной от множества {0}, является

единственным.*

Именно n-местные функции и их свойства являются основными объектами изучения в данной главе.

2. Основные понятия и термины, относящиеся к многоместным функциям

Отождествляя непустое множество с множеством всех кортежей длины 1 (один) над ним [15, стр.44], мы, допуская вольность речи, можем сказать, что до сих пор мы имели дело с одноместными функциями. Представляет интерес познакомиться с n-местными функциями

(см. Определение 5 или Дефиницию (4) из п.1, где n N+ и n>1). Классы таких функций характеризуются (отличаются) известной спецификой, представляют теоретический интерес и имеют большое прикладное зна- чение3). Придадим им «юридическое оформление».

Пусть

– n -местная функция. В соответствии с Определением 5 из п.1 сово- купность Х представляет собой множество, состоящее только из кор- тежей длины n. Будем обозначать его элементы через х, где

х =df <x1,x2,….,xn>.

67

Значение функции (1) на элементе x обозначают через

f(x) =df f (<x1,x2,….,xn>),

или, при более компактном изображении, через f(x1,…., xn). Таким образом,

f(x1,….,xn) = df f(<x1,…., xn>) = df f(x).

График F функции (1) есть совокупность всех пар вида <x,y>, где x Х, а y Y. Областью определения ф-соответствия (1), обозначае- мой через пр1F, является множество, составленное лишь из кортежей длины n. Как и в [17, стр.14, формулы (2) и (3)], полагаем, что

!f(x)≡df (x пр1F).

Отсюда получаем такую эквивалентность:

!f(x) (x пр1F).

Областью значений пр2F функции (1) служит часть множества Y, состоящая исключительно из всех элементов у, для каждого из кото- рых справедливо условие

( x X)(<x,y> F),

или, что то же,

( x X)(f(x)=y).

В силу функциональности графика F верно

(<x,y> F) (f(x)=y).

Пример 1. 1) Пусть Д – совокупность бинарных графиков [16, стр.90], а Е – совокупность множеств. Функция g, соотносящая каждой паре

<G,X> Д Е образ G(Х) множества Х относительно графика G [16, стр.93], доставляет нам пример функции от двух аргументов.

2) Используя те же обозначения, что и в пункте 1), мы можем ут- верждать, что функция h, соотносящая каждой тройке <G,X,У> Д Е Е множество G(Х) У, является трехместной.

3) Пусть

Y =df (Хi)1≤i≤n (I)

– кортеж множеств [16, стр.48], график G Пi [1,n]Хi – функцио- нальный, а Z – множество. Произвольное соответствие типа G→Z является функцией от n аргументов. Напомним, что если для корте- жа (I) верно соотношение

68

( i:1≤i≤n)(Хi=Х),

то

Пi [1,n]Хi=Хn

(см. [16, стр.48]). Любая функция типа Хn→Z носит название n-местной функции типа Х→Z4).

3. Свойства n-местных функций

Пусть n N+ и n>1. Как мы говорили в п.2, для n-местных функций (n-функций) осмысленны некоторые свойства, которыми обладают одно-

местные функции: быть отображением, сюръекцией, инъекцией, инъек- тивным отображением, константной и т.д. [17, стр.33–36]. n-функциям могут быть присущи и другие, специфические для них свойства, которые для одноместных функций являются чаще всего или неразумными, или тривиальными (см. упр.3).

1. Симметричность относительно непустого множества переменных (аргументов).

Пусть

– n-функция.

Определение 1. n-функцию, например вида (1), называют сим-

метричной, или симметрической относительно переменных из их совокупности

Х =df {x1,x2,…,xk}, 2≤k≤n,

69

Пример 1. Пусть x1,x2,x3 N. Трехместная функция, заданная термом

f(x1,x2,x3) =df ((x1+x2) – x3),

где плюс и минус – знаки операций сложения и вычитания целых чисел соответственно, симметрична относительно совокупности пе- ременных {x1, x2}, то есть верно равенство

f(x1,x2,x3) = f(x2,x1,x3),

поскольку

((x1+x2) – x3)=((x2+x1) – x3),

но не является симметричной, например, относительно совокупности переменных {x1, x3}, так как формула

((x1+x2) – x3) = ((x3+x2) – x1)

при интерпретации <0, 0, x3> [14, стр.26] «переходит» в опровержимое соотношение x3 = –x3, верное в том единственном случае, когда x3 = 0.

Утверждение 1. Если n-функция (1) симметрична относитель- но совокупности переменных

Х = df {xi1 , xi2 , …, xik } ,

где 2≤k≤n, то она симметрична и относительно переменных из лю- бой непустой части совокупности Х.

2. Симметричность (см.[2, т.4, стр.1144, статья «Симмет- ричность»]).

Определение 2. n-функцию (1) называют симметричной (или симметрической), если для перестановки (2) верно: k=n.

Таким образом, функция (1) симметрична, если при любой пере- становке вида

Пример 2. Пусть n,xi N, где 1≤i≤n. К симметричным n-функциям относятся n-функции, заданные, например, следующими термами:

Σi [1;n]xi; Pi [1;n]xi; min{x1, x2, … , xn}; max{x1, x2, … , xn};

70