Дискретная математика основные теоретико-множественные конструкции. Ч.VI. Учебное пособие

3) Пусть n=4. Четырехместная функция

f(x1,x2,x3,x4) =df [(x1:x2) + (x3:x4)],

где x1,x2,x3,x4 (Q\{0}), а символ : (двоеточие) означает операцию деле- ния на множестве Q, не является симметричной, поскольку равенство

(x1:x2) + (x3:x4) = (x2:x1) + (x4:x3)

при интерпретации переменных: x1=1, x2=2, x3=3 и x4=4 переходит в ложное высказывание

(40:12)=(15:12).

3. Докажите Утверждение 1 из п.3 ТЧ. 4. Докажите Утверждение 2 из п.3 ТЧ.

Суперпозиция функций

1. Докажите или опровергните, что

Ответ. Утверждение (I) – выполнимое и опровержимое [14, стр.52,

Определение]. В нем переменной выступает слово «отображение». *2. Пусть х,y N. Рассмотрим следующие функции Аккермана:

B(0,y)=2+x,

B(x+1,0)=sg(x),

B(x+1,y+1)=B(x, B(x+1,y)),

A(x)=B(x,x).

Назовем отображение f(х1, х2, . . . , хn) В-мажорируемым, если выполнено условие:

( m N)[ f(х1, х2, . . . , хn)<B(m, max(х1, х2, . . . , хn)) ].

Задание. Докажите, что функция, полученная суперпозицией В- мажорируемых функций, есть В-мажорируемая функция.

Частные, или парциальные, подфункции функции

1. Двухместная функция f(x,y) типа N2→N задана термом

81

где x,y N, а минус – знак бинарной частичной операции [19, стр.50]

вычитания натуральных чисел. Определите все парциальные под- функции функции f(x,y) по y0 N.

Решение. Очевидно, что Дотпр(f) = N2. Таблица XII.2, задающая функцию f(x,y), имеет такой вид:

Несложно убедиться, что

Допр(f)=ε<x,y>{ <x,y> N2: (x≥y) }.

Таким образом, к Допр(f) относятся те и только те пары <x,y> N2, для каждой из которых верно соотношение !f(x,y). Ими служат коор- динаты всех клеток табл. ХII.2, в которых расположены цифросоче- тания, изображающие натуральные числа.

Легко понять, что

Дпр(f) = Дзн(f) = N,

поскольку верно такое соотношение:

( m N)( p,q N)(m=p-q).

В самом деле, для любого m N будем считать, что p=m, а q=0. Кроме того, об этом свидетельствует содержание клеток любого ряда (то есть строки или столбца) табл. ХII.2. Инверсией табл. ХII.2 слу- жит табл. ХII.3, представляющая собой результат одноместной опе- рации транспонирования матрицы.

Пусть у0 N. Обозначим через Ау0 множество всех таких х N, что

<x, у0> Допр(f) (то есть срез множества Д-1 по у0 [17, стр.18]). Ото-

бражение вида

х → f(x, у0),

82

где х Ау0, а f(x,у) N, называется частной, или парциальной, под-

функцией функции f(x,у) по у0.

Таблица XII.3

2. Приведите пример функции, не зависящей от двух аргумен- тов x1 и x2.

Ответ. Функция

f(x1, x2, х3) = (x1–x1)+0 x2 + 2 x3,

где х1,х2,х3 N, существенно зависит только от переменной х3.

§2. Многоместные алгебраические операции

1. Определение n-местных алгебраических операций. Группоиды. Терминология

Пусть n N, а X – непустое множество. Напомним, что термом Xn

Отметим, что первое теоретико-множественное слагаемое Х0 в объединении, расположенном в правой части дефиниции (1), пред-

ставляет собой одноэлементное множество {Λ} [16, стр.49], то есть

Х0 =df {Λ}1).

83

Множество

есть совокупность, построенная лишь из всех кортежей ненулевой длины [15, стр.71] над непустым множеством Х.

Определение 1. Многоместной операцией на непустом мно-

жестве X называют функцию вида [19, стр.9]

Пример 1. 1) Многоместное кор-соответствие [§1, п.1, Опреде-

ление (3)], «соотносящее» каждому кортежу из множества N1∞

(см. дефиницию (2)) сумму (или произведение) всех его компонент, служит примером многоместной сюръективной, но не инъективной операции (см. упр.4).

[17, стр.33, формула (3)] (см. упр.5).

Определение 2. Операцию, например, операцию вида (3), назы-

вают всюду определенной [частичной] (сокращенно: воп-

операцией [соответственно, ч-операцией]), если верно равенство пр1F = Х1∞

[соответственно, строгое включение

пр1F Х1∞ ].

Пример 2. 1) Операции из п.1) Примера 1 служат иллюстрациями воп-операции.

2) Кор-соответствие типа N1∞ →N (см. дефиницию (2), «сопостав-

ляющее» кортежу над N длины n, n N+, среднее арифметическое его компонент [2, т.5, стр.161, ст. «Среднее»], является ч-операцией.

*Действительно, хотя <1,2> N1∞ , а среднее арифметическое чисел

1 и 2 равно (1+2)/2=(3/2), но (3/2) N.*

84

Определение 3. Пусть n N+. Операцию называют n-местной, если

n

она представляет собой функцию типа X →X [19, стр.9], где Х≠. Пример 3. 1) Многоместная воп-операция из п. 1) Примера 1 при

ф и к с и р о в а н н о й д л и н е n к о р т е ж а (например, n=n0, где n0 N ) представляет собой n0-местную воп-операцию.

2) Многоместная операция из п. 2) Примера 2 при фиксировании длины кортежа «переходит» в n-местную, вообще говоря, частичную операцию.

Таким образом, n-местная операция (над непустым множеством X) – это тройка [15, стр. 75] множеств вида

где F Xn X – функциональный график (фн-график) [16, стр.98], для ко-

торого пр1F Xn, а пр2F X. График F операции (4) состоит из пар вида:

x=<<x1, x2,…, xn>, xn+1>,

где xi X, i N и 1≤i≤n+1. Если x F, то это равенство изображают еще и так:

xn+1=f(<x1, x2,…, xn>).

Объект по имени f(<x1, x2,…, xn>), которому функция (4) «соотно- сит» кортеж

называют значением операции (4) на элементе (5), и обычно со сте-

нографической целью обозначают через f(x1, x2,…, xn). Таким образом,

f(x1, x2,…, xn) =df (f<x1, x2,…, xn>).

2.Виды n-местных алгебраических операций

изадание их двухстрочными таблицами

1. Если множество X – пустое, то при любом n N+ верно: Xn= и Xn X= [16, стр.56, соотношение (5)]. Таким образом, для всякого n N+ тройка < , , > является единственной операцией на пустом множестве. Эта операция в общем случае – n-местная.

2. Если X – одноэлементное множество, то для каждого n N+ множество Xn также является одноэлементным. Поэтому

Для каждого n N+ на одноэлементном множестве с у щ е с т в у е т т о л ь к о о д н а n-местная операция.

85

Единственному элементу множества Xn она «ставит в соответствие» элемент множества X.

3. Пусть Х – «небольшое по числу элементов», но непустое конеч- ное множество [18; стр.45, Определение 1]. Для задания на нем n-местной операции, где n N и n ≥ 2 , например, функции вида (4) из п.1, удобно использовать двухстрочную таблицу, в верхней (вход- ной) строке которой последовательно перечисляются в с е элементы множества Xn, а в нижней (выходной), например, в столбце с меткой

<x1, x2, . . . , xn>, где

( i:1≤i≤n)(xi X),

располагается элемент f(x1, x2, . . . , xn), если

!f(x1, x2, . . . , xn),

либо прочерк – в противном случае [14, стр.31, формула (III.2.15)]. Если же Х – «весьма большое» конечное либо бесконечное множе- ство [18, стр.45, Определение 1], указанная таблица заполняется, разумеется, частично, обрывается многоточием и считается приемле- мой (допустимой) только тогда, когда из заполненной части таблицы ясен смысл закодированной многоточием фразы «и так далее».

Пример 1. Таблица XII.4 «задает» на множестве В1 =df {0, 1} трехместную операцию f(3)(<x1,x2,x3>), где хi В1, а i N и 1≤i≤33).

f(3)(x1,x2,x3) = 0

верно в том и только в том случае, когда число цифр 1 в кортеже ви- да (I) – четное. И, наконец, равенство

f(3)(x1,x2,x3) = 1

выполняется, только если число цифр (1) в кортеже (I) равно трем. Однако следует подчеркнуть, что это истолкование операции f(3) со-

вершенно необязательно. Согласно Определению 3 из п.1 любая функ- ция типа Xn→X, где n N+ и Х≠, является n-местной операцией на множестве X. Поэтому всякая двухстрочная таблица, в верхней стро-

86

ке которой последовательно выписаны все элементы множества Xn, а в нижней – некоторые (быть может, все) элементы множества X, зада- ет на X какую-то n-местную операцию.

Пример 2

1)Одноместная операция на множестве X – это просто функция типа X→X.

2)Графики Fi, где i N+ и 1≤i≤4, всех одноместных воп-операций на множестве В1=df {0, 1} приведены в табл. XII.5 (см. Пример 1). Эти отображения представляют собой одноместные булевы функции [2, т.1, стр.553, ст. «Булева функция»].

Таблица XII.5

4. Замечание. Поскольку операции являются отдельным видом бинарных отношений, а именно – функциональными отношениями

[20, стр.43], они могут быть заданы при помощи таблиц Кэли [20, стр.17]4). Ниже мы будем иногда прибегать к последним без спе- циальных разъяснений.

5. Пусть X – непустое множество. Для общности картины иногда бывает удобно элементы множества X называть нульместными операциями на X. *Заметим, что множество X и множество ото- бражений типа X0→X равномощны [18; стр.7].*

6. Языковóе замечание. Одноместные операции именуют ино-

гда унарными, двухместные – бинарными, трехместные – тернар-

ными, . . ., n-местные – n-арными, и т.д5).

3. Свойства алгебраических операций

Наряду со свойствами, которые осмыслены для произвольных много- местных функций (см. п.3 из §1), операции могут обладать и собствен- ными (свойствами), не присущими вышеуказанным, (см. упр.1 из п.1). Эти свойства в основном представляют собой тривиальные следствия из определения операции (см. Определение 1 из п.1) и связей между ее составляющими. Более глубокие (тонкие) свойства присущи операциям, принадлежащим к их отдельным классам, а именно, классам, состоящим только из всех n0-местных операций, где n0 – натуральная константа [13, стр.36, п.1], «большая» нуля. Здесь мы рассмотрим свойства опера- ций, принадлежащих двум классам, включающим в себя только одноме- стные либо лишь двухместные операции соответственно.

87

3.1.Свойства одноместных алгебраических операций

Впособии [19, стр.84] подробно исследованы следующие свойст-

ва одноместных, или унарных, операций (уноидов):

1)тождественность;

2)инволютивность;

3)проективность, или асинхронность.

Поэтому мы не будем останавливаться здесь еще раз на их анализе.

3.2. Свойства двухместных алгебраических операций. Главные элементы группоидов

Ниже мы предполагаем познакомить читателя с основными свой- ствами двухместных операций. В связи с этим следует сказать сле- дующее. Нетрудно представить себе, что при изложении какого-то материала мы можем оказаться, например, в ситуации, когда некото- рые операции, заданные на о д н о м множестве, обладают опреде- ленными свойствами, а на д р у г о м – нет, то есть

Наличие либо отсутствие у операции какого-то свойства может зависеть,

в частности, от характеристик ее области определения.

Проиллюстрируем сказанное. Пример 1. Говорят, что операция

Рассмотрим две такие ситуации.

1) Пусть знак точка обозначает операцию умножения чисел н а м н о ж е с т в е N+. Тогда справедливо следующее соотношение:

В этом случае говорят, что

Операция умножения натуральных чисел с областью отправления N+ обладает свойством с о к р а т и м о с т и с п р а в а .

2) Предположим теперь, что тот же знак (точка) обозначает опе- рацию умножения чисел н а м н о ж е с т в е N. Легко убедиться, что соотношение

88

( x,x′,y N)[ (x y=x′y) (x=x′) ]

– аналог соотношения (II) – опровержимое [14, стр.52, Определение]. В самом деле, если, скажем, х=3, x′=5, а у=0, то импликация

(3 0=5 0) (3=5)

– ложная, поскольку ее посылка истинна, а заключение – нет. Та- ким образом,

Операция умножения натуральных чисел с областью отправленияч N N

не является сократимой справа.

Из сказанного явствует, что для бóльшей определéнности было бы удобно анализировать каждую операцию на наличие либо отсутствие у нее каких-то свойств, принимая во внимание, например, и ее область определения, то есть множество пр1F (см. дефиницию (I)). В частности, и с этой целью вводят понятие «группоид». Познакомимся с ним.

Определение 1. Пусть Т – бинарная, или двухместная, операция на множестве Х (см. [п.1, Определение 3]). Пару [15, стр.75] вида

называют группоидом.

Таким образом, группоид – это пара, первой компонентой которой служит бинарная операция Т, а второй – ее областью прибытия Х, квадрат которой является в силу сказанного выше надмножеством области ее определения. Множество Х называют основным множе-

ством, или носителем, группоида, а операцию Т – его основной операцией. Элементы множества Х называют элементами груп-

поида. Группоид называют конечным (бесконечным, счетным

и т.д.), если его основное множество конечно (соответственно, беско- нечно, счетно и т.п.) [18, стр.45 и 17]. Число элементов к о н е ч н о - г о г р у п п о и д а называют его порядком. В зависимости от того,

является ли операция Т отображением или частичной функцией,

группоид именуют всюду определенным (сокращенно, воп-

группоидом) либо частичным (ч-группоидом). Рассмотрим не-

сколько иллюстраций к сказанному.

89

являются бесконечными воп-группоидами (см. п.1).

4) Пара вида < , N >, где знак обозначает операцию ковычи-

тания натуральных чисел, определяемую так:

(x y)=df(y-x),

является, очевидно, ч-группоидом, так как

!(x y) (y≥x).

5) Пары вида < :, Y >, где знак двоеточие обозначает операцию деле- ния чисел, а Y {N, Z, Q, R, K}, воп-группоидами не являются, напри- мер, ввиду невозможности деления числа на число 0. Тем не менее, па- ры вида < :, U\{0} >, где U {Q, R, K} – бесконечные воп-группоиды.

6) Пары вида <*, (Х)>, где * { , ∩, \, }(см. [15, стр.44-50], а Х

– множество, являются воп-группоидоми, конечными, если Х – ко- нечное множество, и бесконечными – в противном случае.

7) Пара вида <°, (Х2)>, где ° – знак операции компонирования

бинарных графиков [17, стр.95], а Х – непустое множество, является конечным воп-группоидом, если Х – конечное множество, и беско- нечным – в противном случае.

Проиллюстрируем сказанное. Пусть Х =df {a, b}. Тогда Х2 = {aа, ab, ba, bb}. Зафиксируем какие-либо две части множеств Х2, например,

где u U и v V, представляет собой операцию компонирования бинар-

ных графиков [16, стр.95, Определение 1], а пара <°, (Х2)> – воп-

90