Дискретная математика основные теоретико-множественные конструкции. Ч.VI. Учебное пособие

Если группоиду принадлежит более одного ланэла (панэла), то в нем нет панэла (соответственно, ланэла) и, следовательно, данэла.

Убедимся в его правильности. Пусть ал1 и ал2 – р а з л и ч н ы е ла-

Предположим, что ап – панэл группоида (I), то есть верна такая

что противоречит неравенству (IV).

Таким образом, в группоиде с двумя и более ланэлами (панэлами) нет панэла (соответственно, ланэла) и, следовательно, данэла.

9. Докажите Утверждение 6 из п. 3.2.2 ТЧ.

Доказательство. Утверждение 6 из п. 3.2.2 формулируется так:

В д-аннуляре нет ланэлов или панэлов, отличных от его данэла.

111

Имеем: ал=алТад=ад, то есть ал=ад, но это равенство есть отрица- ние неравенства (II).

Таким образом, оказываются истинными суждение и его отрица- ние, что абсурдно. Стало быть, гипотеза (II) – ложная.

В случае, когда ап – панэл группоида (I) и ап≠ад, рассуждения аналогичны.

а Х – множество, составленное из истинностных символов [13, стр.78]. Решение. Данэлом группоида < , Х> (группоида < , Х>) служит

истинностная константа Л (соответственно, истинностная кон-

станта И), поскольку

(Р Л) ≡ (Л Р) ≡ Л

(соответственно,

(Р И) ≡ (И Р) ≡ И),

где Р Х.

11. Докажите, что в группоиде

GD = df <+, N+> (I)

нет нэлов и анэлов.

Доказательство. Поскольку группоид (I) – коммутативный, то, в силу Утверждения 6 из указанного параграфа, достаточно доказать, что в группоиде (I) отсутствует хотя бы один вид из его днэлов и хо- тя бы один вид из его анэлов.

1) Предположим, что число ел N+ – лнэл группоида (I), то есть верно следующее высказывание:

( n N+)(ел+n = n).

Отсюда следует, что ел=0, но 0 N+.

2) Пусть число ал N+ – ланэл группоида (I), то есть истинно такое высказывание:

( n N+)(ал+n = ал).

Отсюда вытекает, что верно такое высказывание

112

( n N+)(n = 0),

что абсурдно, поскольку существуют натуральные числа (например, числа 1, 2, . . . , 100, . . . , ), отличные от числа 0.

*12. Докажите, что в группоиде

нет нэлов и анэлов.

Замечание. Поскольку группоид (I) – коммутативный, достаточ- но установить истинность данного утверждения только для одного из видов нэлов и анэлов.

Доказательство. 1) Ниже будем считать, что

Отсюда, в силу определения пересечения семейства множеств [2,

стр.102, Определение 3], получаем

В силу ассоциативности операции пересечения множеств [3,

стр.104, Предложение 2], используя равенство (V), получаем:

∩Z AZ = (Z′ ∩ Z′′) ∩Z (A\{Z′, Z′′})Z = ∩Z (A\{Z′, Z′′})Z = ,

113

то есть

Отсюда и из (IV) следует, что Y , то есть Y= . Но это равенство противоречит гипотезе (III). Следовательно, группоид (I) не имеет ланэла.

2) Отсутствие в группоиде (I) ланэла доказывается аналогично. *13. Укажите общие и различные признаки понятий «аннуляр»

и «аннулятор» группоида, содержащего анэл.

Ответ. В соответствии с определением аннулятор – группоид, содержащий анэл, а аннуляр – совокупность всех анэлов.

Имеют место следующие связи:

1)Если группоид – аннуляр, то его аннулятор – непустое множество.

2)Если группоид – аннуляр, то его объем – не более чем одноэле- ментное множество.

3)Если группоид – л-аннуляр (п-аннуляр), то его п-аннулятор (л-аннулятор) – пустое множество.

Примечания

1)Прописной греческой буквой Λ (ламбда) обозначают пустой кортеж [15, стр.75, Утверждение К4].

2)Такой всегда существует, например 1 (единица).

3)Или одноместную операцию на множестве В3 =df (В1)3.

4)Артур Кэли (1821–1895) – английский математик. С 1863 г. – про- фессор Кембриджского университета. Основные работы – по теории алгебраических квадратичных форм. Более подробные сведения о ре-

зультатах А. Кэли в математике можно получить, например,

в[2, т.3, стр.72, ст. «Кэли»].

5)*Таким образом, разбиение класса всех операций на подклассы, состоящие из операций одной арности, представляет собой один из видов их классификации, а именно классификации по основанию «арность операции» [6, стр.247, ст. «Классификация»].*

6)Пусть n N+. Перестановкой из n элементов, или

n-перестановкой, называют последовательность длины n [16, стр.130, п.1], все члены которой попарно различны. Из ска- занного следует, что n-перестановка образована на «основе» неко- торой n-элементной части N+. Обычно в качестве таковой выбирают следующую:

Рn =df {1, 2, …, n–1, n}. (I)

114

Пример 1. Пусть n=4. Тогда Р4 = {1, 2, 3, 4}. Последовательности

(1){<1,1>, <2,2>, <3,3>, <4,4>};

(2){<1,2>, <2,1>, <3,4>, <4,3>};

(3){<1,2>, <2,3>, <3,4>, <4,1>};

ит.д. являются 4-перестановками над Р4, а последовательности

(4){<1,1>, <2,2>};

(5){<1,1>, <2,2>, <3,3>};

(6){<1,2>, <2,3>, <3,4>}

– нет.

Последовательность можно рассматривать как образ множества Рn [17, стр.18] относительно некоторой биекции, например, биекции

Пример 2. Подстановки, соответствующие 4-перестановкам

Наглядным способом изображения n-перестановки является пред-

ставление ее в виде последовательности циклов [7, стр.29]. По-

знакомимся с ним.

Всякая n-подстановка «может оставлять на месте» некоторые цифры из множества Рn, а другие – действительно перемещать. Цик-

лической перестановкой, или просто циклом, называют такую пе-

115

рестановку, что при повторении ее достаточное число раз всякий из действительно перемещаемых в цикле символов может быть «пе- реведен» в любой из них.

Пример 3. В перестановке (1) ни один из символов не является перемещаемым (см. Пример 2). В перестановке (2) все символы являются перемещаемыми. В ней символ 1 «переходит» в символ 2, а символ 2 – в 1; символы 3 и 4 «переходят» в друг друга. В пе- рестановке (3) перемещаемыми являются все символы: символ 1 переходит в 2, 2 – в 3, 3 – в 4, а 4 – в 1. Циклы, соответствующие этим перестановкам, таковы:

1)(1)(2)(3)(4); 2)(12)(34); 3)(1234).

Ниже мы будем иногда прибегать к указанному способу изобра- жения n-перестановок.

7)Таким образом, слово нэл (нейтрал) служит общим именем, или переменной, номенклатура [13, стр.45] которой равна множеству слов {лнэл, пнэл, днэл} [соответственно, множеству слов {л-нейтрал,

п-нейтрал, д-нейтрал}].

8)Прилагательное «гомологичный» является переводом на рус- ский язык латинского слова homologic, что означает согласный, со- ответствующий. Объекты называются гомологичными, если между

ними существует ф о р м а л ь н о е с х о д с т в о , в н е ш н я я п о - х о ж е с т ь [Краткий словарь иностранных слов. М.: ГИИиНС, 1950, стр. 454, ст. «Гомология»].

9)Таким образом, слово анэл (ануляр) служит общим именем, или переменной, номенклатура [13, стр.45] которой равна множеству слов {ланэл, панэл, данэл} [соответственно, множеству слов {л-

ануляр, п-ануляр, д-ануляр}].

10)Иногда различные математические понятия, такие, например, как «перестановка» и «подстановка», уславливаются отождествлять (см. [2, т.4, стр.380, ст. «Подстановка»]). В отдельных случаях при- водят весьма наивную аргументацию для элиминирования одного из них. Так, в монографии [9, «Введение в алгебру», М.: Наука, 1977, стр.146] предпочтение из двух указанных терминов отдается поня-

тию «перестановка» «…поскольку оно ассоциируется в сознании скорее с действием, чем с застывшим упорядочением ( то есть под- становкой), … поэтому последнее из них из употребления исключа-

ется». Нужно ли говорить, что в цитируемом предложении нет ни одного математического термина, и поэтому его смысл неточен, «размыт». Отметим, что термин «подстановка» в ЛМЯ является соб-

116

ственным полисемом [11, стр.58]. Его денотатами [11, стр.6] служат и указанные выше математические понятия, и с е м и о т и ч е с к а я синтаксическая операция «помещение одного знакосочетания на ме- сто другого» [2, т.4, стр.382, ст. «Подстановки правило» ].

11) Непустой кортеж над N называют ненулевым, если у него имеется по меньшей мере одна компонента, отличная от 0.

§3. Виды группоидов

Познакомимся с некоторыми видами группоидов.

1. Идемпотентные группоиды

Определение 1 (идемпотентного элемента группоида).

называют идемпотентным, или идемпотентом1), относительно операции Т (см. Языковóе замечание из п.3.2.1 в §2 гл. XII), если верно соотношение

и неидемпотентным, или неидемпотентом, относительно опе-

рации Т – в противном случае

(см. упр.1).

Легко убедиться, что если группоид (1) – всюду определенный, то импликация (2) «переходит» в равенство

Пример 1. 1) В группоиде <+, N+> нет ни нэлов [Гл. ХII, §2, п.3.2.1, Определение 1], ни анэлов [гл. ХII, §2, п.3.2.2, Определе- ние 1], ни идемпотентов (см. упр.6).

2)Нэл (анэл) группоида идемпотентен

(см. упр.7).

Обратное утверждение – опровержимое [14, стр.52, Определение 2] (см. упр.8).

3)В группоиде

< , (Х) >, (I)

где (Х) – булеан множества Х [15, стр.44, п.2], имеются днэл (им является пустое множество ( )) и данэл (множество Х). Все

117

элементы группоида (I) – идемпотетные. *Мощность их множе-

ства [18, стр.16] равна (Х) .* 4) В группоиде

нет нэлов и анэлов, *а мощность множества, состоящего только из всех его идемпотентов, равна ( (Х) - 2)* (см. упр.8).

5) Число «ноль» (0) является единственным идемпотентом каждо- го из группоидов вида < +, Y > для Y В, где

(см. упр.9).

6)Только элементы 0 и 1 группоидов вида < , Y > для Y В (см. дефиницию (III)), являются идемпотентами (см. упр.10).

7)Любой элемент группоида вида

(см. [13, стр.34, 2.Коннекторные символы]), а Х – непустое множество, составленное только из истинностных символов [14, стр.78, §3], является идемпотентом (см. упр.13 и 14).

8) Поскольку тождественная подстановка ε=(1)(2)...(n–1)(n) есть днэл группоида Sn [7, стр.32], то она является его идемпотентом. Это следует из пункта 2) данного примера.

Утверждение 1. Для того чтобы в воп-группоиде (1) из Опреде- ления 1 при справедливости принадлежности х Х было верным ра- венство (2), необходимо и достаточно, чтобы одноэлементное множество {x} было з а м к н у т о о т н о с и т е л ь н о о п е р а -

ц и и Т [19, стр.89, Определение 2] (см. упр.15).

Определение 2. Часть Х′ носителя Х группоида (1) из Определе- ния 1 называют идемпотентной, если верно соотношение

118

и неидемпотентной – в противном случае

(см. упр.3 и 4).

Пример 2. Несложно доказать, что подмножество {0, 1} носителя группоида < , Y > из п.6) Примера 1 является его с о б с т в е н н о й идемпотентной частью (см. упр.5).

Определение 3. В том отдельном случае, когда в соотношении (I) из Определения 2 верно равенство Х′=Х, группоид (1) из Определе-

ния 1 называют идемпотентным, или идемпотентом.

Пример 3. 1) Группоиды < , (Х) > и < ∩, (Х) > – идемпо- тентные, а группоиды < \, (Х) > и < , (Х) > – нет (см. упр.11 и

12соответственно).

2) Группоид вида <◊, X> идемпотентен (см. п.7 из Примера 1).

2. Ассоциативные группоиды, или полугруппы. Ассоциаторы. Моноиды

называют ассоциативной, если справедлива импликация

[!((xTy)Tz) !(xT(yTz)] [(xТy)Тz = xТ(yТz)], (III)

и неассоциативной – в противном случае

(см. упр.1).

Если группоид (II) – всюду определенный, то импликация (III) «переходит» в соотношение равенства

119

(z – 0) – 1 = z – 1 ≠ z – (0–1) = z + 1.

Таким образом,

В одном и том же группоиде «могут присутствовать» как ассоциативные, так и неассоциативные тройки элементов.

Определение 2. Совокупность, состоящую только из всех ассо- циативных троек группоида, называют его ассоциатором

(см. упр.7).

Пример 2. Пусть В – множество, указанное в п.5) Примера 1 из п. 1 (Идемпотентные группоиды).

1)Любая тройка элементов каждого из группоидов вида <Т, Х>, где Т {+, }, а Х В, – ассоциативная. Его ассоциатор есть множе-

ство Х3 [16, стр.49, Определение натуральной степени множества].

2)Не каждая тройка элементов группоида

<α, Х>,

где α{–, :}, а Х В, являются ассоциативной

(см. упр.7).

3)Всякая тройка элементов группоида вида

<, (Х) >,

где { , ∩, }, а Х – непустое множество, является ассоциативной. Ассоциатором этих группоидов служит множество ( (Х))3.

4)В группоиде вида (I) из Примера 1, п.1), существуют как ассоциа- тивные, так и неассоциативные тройки. Поэтому его ассоциатор – не- пустое множество.

5)Любая тройка элементов группоида

где ° – знак двухместной операции компонирования бинарных графиков

[16, стр.95, Определение 2], ассоциативна. Ассоциатором группоида (I) служит множество ( (Х2))3. Анализ группоида (I) приведен в упр.7.

6) Все тройки элементов группоидов вида

120