Дискретная математика графы. Учебно-методическое пособие
.pdfМинистерство цифрового развития, связи и массовых коммуникаций Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики» (СибГУТИ)
А. Ю. Овчаренко
Дискретная математика: графы
Учебно-методическое пособие
Новосибирск
2023
УДК 519.1(075.8)
Утверждено редакционно-издательским советом СибГУТИ
Рецензент кандидат физико-математических наук М.П. Козлова
Овчаренко, А. Ю. Дискретная математика: графы : учебно-методическое пособие / А. Ю. Овчаренко; Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики, кафедра высшей математики. – Новосибирск, 2023. – 20 с.
Методическое указание содержит краткие теоретические сведения, задания и примеры их решения по теории графов. Пособие предназначено для проведения практических занятий по дисциплине «Дискретная математика» при подготовке бакалавров.
Для подготовки студентов по направлениям 09.03.01 «Информатика и вычислительная техника», квалификация (степень) бакалавра, 02.03.02 «Фундаментальная информатика и информационные технологии», квалификация (степень) бакалавра.
Утверждено редакционно-издательским советом СибГУТИ в качестве учебно-методического пособия.
©Овчаренко А.Ю., 2023
©Сибирский государственный университет телекоммуникаций и информатики, 2023
2
Оглавление |
|
|
Введение............................................................................................................... |
4 |
|
1 |
Графы................................................................................................................. |
5 |
2 |
Пример 1............................................................................................................ |
7 |
3 |
Пример 2.......................................................................................................... |
11 |
4 |
Пример 3.......................................................................................................... |
14 |
5 |
Контрольные вопросы ................................................................................... |
17 |
Список литературы ........................................................................................... |
19 |
|
3
Введение
Учебно-методическое пособие посвящено курсу «Дискретная математика», разделу «Теория графов». Данный раздел является теоретическим. В первом разделе дан в достаточной мере материал по графам и его основным определениям. Также представлены некоторые виды матриц, а именно матрицы смежности, матрицы инцидентности.
Во втором и последующих разделах показаны примеры по решению типовых задач для ориентированных и неориентированных графов с подробным ходом решения поставленных задач.
В последнем разделе размещены вопросы для самоконтроля.
4
1 Графы
Графом G называется такая пара (V , E) , где V = {v1, v2 ,..., vn} есть множество вершин E = {(u, v) | u V , v V} есть множество ребер графа. Обозначение: .
Ориентированным графом называется граф, в котором ребрам присвоено направление. В ориентированном графе принято ребра называть дугами.
Вершины u и v называются смежными, если две вершины принадлежат одному и тому же ребру (u, v) E .
Вершина u ( v ) инцидента ребру (u, v) . Для ориентированного графа (u, v) E , означает, что вершина u является началом или исходом ребра, а вершины v будет являться концом или заходом ребра (u, v) E .
Для неориентированного графа степен вершины v определяется числом инцидентных ей ребер и обозначается deg(v) . Для ориентированного графа выделяют полустепень исхода deg+ (v) и полустепень захода deg− (v).
Полустепень исхода deg+ (v) определяется числом исходящих ребер. Полустепень захода deg− (v) определяется числом заходящих (входящих)
ребер.
Выделим способы задания графа с использованием матриц:
• Матрица смежности для неориентированного графа A(G) . Матрица
A(G) есть квадратная матрица, порядка n , где n есть количество вершин графа. Элемент aij определяется как число ребер, соединяющий две вершины vi и v j . Ребра, которые имеют вид (u, u) E , называются петлями и в матрице смежности считаются дважды.
• Матрица смежности для ориентированного графа |
ur |
|
A(G) . Матрица |
||
ur |
есть квадратная матрица, порядка n , где n |
есть количество |
A(G) |
||
вершин графа. Элемент aij определяется как число дуг, которые исходят из вершины vi и заходят в вершину v j .
•Матрица инцидентности для неориентированного графа B(G).
Матрица B(G) , как правило, прямоугольная матрица, которая имеет
размер n m , где n =| V | и m =| E | . Элемент bij = 1 , если vi и e j инцидентны. И элемент bij = 0 , если vi и e j не инцидентны.
ur
• Матрица инцидентности для ориентированного графа B(G) . Матрица
ur
B(G) , как правило, прямоугольная матрица, которая имеет размер n m,
5
где n =| V | и m =| E | . |
Элемент bij |
=1 , если вершина vi является началом |
дуги e j . Элемент bij |
= −1 , если vi |
является концом дуги e j . И bij = 0 , если |
vi и e j не инцидентны. |
|
|
6
2 Пример 1
Дано: ориентированный граф задан своей матрицей смежности.
|
|
|
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
− |
|
1 0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
|
|
A G |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
||
|
|
|
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
||||||
Задание:
1)нарисовать ориентированный граф по матрице смежности;
2)определить полустепень и степень вершин;
3)построить матрицу инцидентности на основании ориентированного графа.
Решение:
1) Матрица смежности определяет, какие вершины графа соединены дугой. Размерность заданной матрицы 6 6 , то тогда определим, что
число вершин графа равно шести. Элемент |
aij = 1 означает, что |
|
существует дуга, которая исходит из вершины vi |
и заходит в вершину |
|
v j |
. Если aij = 0 , то отсюда следует что дуги из вершины vi в вершину |
|
v j |
не существует. |
|
Исходя из вышеперечисленного правила построения квадратной матрицы смежности, изобразим ориентированный граф. Для начала обазначим все вершины V = {v1, v2 , v3 , v4 , v5 , v6} графа. Вершины можно изображать двумя способами. Первый способ: вершина записывается в круге. Этот способ покажем в примере 1. Второй способ: вершина обозначается точкой, и рядом ставится обозначение самой вершины (см. пример 2). Дуги графа обозначим E = {e1, e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 , e8 , e9 , e10 , e11}. Направление дуги определяем из правила:
7
|
|
1, |
если существует дуга где |
i |
− начало и |
j |
− конец дуги е |
j |
|
|
|
|
|
|
|||
aij |
= |
0, |
в остальных случаях (вершина i и ребро еj |
не связаны) |
|
|||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Результат изображения ориентированного графа на основе матрицы
смежности показан на рисунке 2.1.
e2
e1
v2
v1 |
|
|
e4 |
|
|
|
e3 |
|
v3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
e5 |
|
e11 |
|
|
|
e6 |
|
|
|
e7 |
|
|
|
|
|
|
v6 |
e10 |
|
|
|
|
e9 |
|
v4 |
|
v5 
e8
Рисунок 2.1 – Изображение ориентированного граф по матрице смежности (пример 1)
Полустепень и степень вершины можно определять исходя как из матрицы смежности, так и из ориентированного графа. Следующее задание представлено ниже.
2)Полустепень и степень вершин можно показать двумя способами: прямое написание для каждой вершины или в виде таблице. В данном примере покажем полустепень и степень вершины без таблицы.
Полустепень исхода deg+ (v) ориентированного графа определяется числом исходящих ребер. Полустепень захода deg− (v)
ориентированного графа определяется числом заходящих (входящих) ребер. Рассмотрим полустепень и степень для каждой вершины отдельно.
8
•Для вершины V1 :
•полустепень захода d + (v1 ) = 3
•полустепень исхода d − (v1 ) = 1
•степень d (v1 ) = d + (v1 ) + d − (v1 ) = 4
•Для вершины V2 :
•полустепень захода d + (v2 ) = 2
•полустепень исхода d − (v2 ) = 2
•степень d (v2 ) = d + (v2 ) + d − (v2 ) = 4
•Для вершины V3 :
•полустепень захода d + (v3 ) = 1
•полустепень исхода d − (v3 ) = 3
•степень d (v3 ) = d + (v3 ) + d − (v3 ) = 4
•Для вершины V4 :
•полустепень захода d + (v4 ) = 2
•полустепень исхода d − (v4 ) = 2
•степень d (v4 ) = d + (v4 ) + d − (v4 ) = 4
•Для вершины V5 :
•полустепень захода d + (v5 ) = 2
•полустепень исхода d − (v5 ) = 1
•степень d (v5 ) = d + (v5 ) + d − (v5 ) = 3
•Для вершины V6 :
•полустепень захода d + (v6 ) = 1
•полустепень исхода d − (v6 ) = 2
•степень d (v6 ) = d + (v6 ) + d − (v6 ) = 3
Сумма степеней всех вершин должна равняться удвоенному количеству дуг. Подсчитаем сумму степеней всех вершин по формуле:
d (vi ) = d (v1) + d (v2 ) + d (v3 ) + d (v4 ) + d (v5 ) + d (v6 ) = 4 + 4 + 4 + 4 + 3 + 3 = 22 .
i
3)Для построения матрицы инцидентности определим строки матрицы, это есть вершины, столбцы матрицы – это ребра. Элемент bij =1, если вершина vi является началом дуги e j . Элемент bij = −1 , если vi является концом дуги e j . И bij = 0 , если vi и e j не инцидентны.
9
|
−1, |
если вершина i − начало ребра еj |
||
|
|
1, |
если вершина i |
− конец ребра еj |
|
|
|||
bij |
= |
1, если еj − петля, |
а i − инцидентная её вершина |
|
|
|
|||
|
|
0, |
в остальных случаях (вершина i и ребро еj не связаны) |
|
|
|
|||
Матрица инцидентности на основе ориентированного графа:
|
|
e1 |
e2 |
e3 |
e4 e5 |
e6 |
e7 |
e8 |
e9 |
e10 |
e11 |
|
|||||||
|
|
2 |
0 |
0 |
-1 0 0 0 0 0 0 −1 v1 |
||||||||||||||
|
− |
0 |
2 |
1 |
0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
-1 0 |
0 |
v2 |
|||
= 0 0 0 1 |
1 |
1 |
-1 0 |
0 |
0 |
0 |
v3 |
||||||||||||
B G |
|||||||||||||||||||
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
|
-1 1 |
1 |
|
0 |
|
−1 0 v4 |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
0 |
0 |
-1 0 |
0 |
|
0 |
|
0 |
|
-1 1 |
|
0 |
0 |
v5 |
||||
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
-1 0 |
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
1 |
1 |
v6. |
|||
10