Дискретная математика графы. Учебно-методическое пособие

3 Пример 2

Дано: ориентированный граф задан своей матрицей смежности.

Задание:

1)нарисовать ориентированный граф по матрице смежности;

2)определить полустепень и степень вершин;

3)построить матрицу инцидентности на основании ориентированного графа.

Решение:

1)В примере 2 матрица смежности имеет размерность n = 6 , из этого следует, что число вершин графа равно шести. Введем обозначение вершин V = {v1, v2 , v3 , v4 , v5 , v6} графа. Как уже было сказано во второй главе, вершины можно изображать двумя способами. Первый способ: вершина записывается в круге (см. пример 1). Второй способ: вершина обозначается точкой, и рядом ставится обозначение самой вершины. Покажем на примере 2. Дуги графа

обозначим Используем

определение матрицы смежности. Элемент aij = 1 означает, что существует дуга, которая исходит из вершины vi и заходит в вершину v j . Если aij = 0 , то отсюда следует, что дуги из вершины vi

в вершину v j не существует. Ориентированный граф на основе матрицы смежности представлен на рисунке 3.1.

11

Рисунок 3.1 – Изображение ориентированного граф по матрице смежности (пример 2)

2) Результат полустепени и степени вершин покажем для каждой вершины отдельно. Полустепень исхода deg+ (v) ориентированного графа есть число исходящих ребер. Полустепень захода deg− (v)

ориентированного графа есть число заходящих (входящих) ребер. Степень вершины равна сумме полустепени исхода и полустепени захода:

deg v = deg+ v + deg− v

deg+ v1 = 2 , deg− v1 = 1 , deg v1 = 3 deg+ v2 = 1, deg− v2 = 3 , deg v2 = 4 deg + v3 = 3 , deg − v3 = 1 , deg v3 = 4 deg+ v4 = 2 , deg− v4 = 2 , deg v4 = 4 deg + v5 = 1, deg− v5 = 3 , deg v5 = 4 deg+ v6 = 2 , deg− v6 = 1, deg v6 = 3

12

3)Для построения матрицы инцидентности определим строки матрицы, это есть вершины V ={v1, v2 , v3 , v4 , v5 , v6} , столбцы матрицы – это ребра E ={e1, e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 , e8 , e9 , e10 , e11}. . Используя определение матрицы инцидентности: элемент bij =1 , если вершина vi является

инцидентности на основе ориентированного графа, число дуг равно

11, следовательно, размерность матрицы 6 11. Матрица инцидентности:

13

4 Пример 3

Дано: неориентированный граф задан своей матрицей смежности.

Задание:

1)нарисовать неориентированный граф по матрице смежности;

2)определить степень вершин неориентированного графа;

3)построить матрицу инцидентности на основании неориентированного графа.

Решение:

1)Матрица A(G) – квадратная матрица, порядка n , где n есть количество вершин графа. Элемент aij определяется как число ребер, соединяющий две вершины vi и v j . Ребра, которые имеют вид (u, u) E , называются петлями, и в матрице смежности считаются дважды. В примере 3 матрица смежности имеет

размерность n = 6 , из этого следует, что число вершин графа равно

шести. Введем обозначение вершин V = {v1, v2 , v3 , v4 , v5 , v6} графа. Дуги графа обозначим E = {e1, e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 , e8 , e9 , e10}.

Вершины u и v называются смежными, если две вершины принадлежат одному и тому же ребру (u, v) E .

Неориентированный граф на основе матрицы смежности

представлен на рисунке 4.1.

14

Рисунок 4.1 – Изображение неориентированного граф по матрице смежности (пример 3)

2)Для неориентированного графа степен вершины v определяется числом инцидентных ей ребер, и обозначается deg(v) . Для каждой вершины укажем значения.

deg v1 = 2

deg v2 = 3 deg v3 = 4 deg v4 = 4

deg v5 = 4

deg v6 = 3

3)Для построения матрицы инцидентности определим строки матрицы, это есть вершины V = {v1, v2 , v3 , v4 , v5 , v6} , столбцы матрицы –

это ребра E = {e1, e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 , e8 , e9 , e10}. Матрица B(G) , как правило,

16

5 Контрольные вопросы

5.1Дайте определение термину граф. Приведите примеры.

5.2Какие вершины называют смежными в неориентированном графе?

Приведите примеры.

5.3Какое ребро является инцидентным к вершине? Приведите пример.

5.4Что означает степень вершины? Как степень вершины обозначается?

5.5Что означает полустепень исхода вершины ориентированного графа?

5.6Запись deg+ (v1 ) = 1, deg− (v1 ) = 3 что означает?

5.7Дайте определение матрицы смежности для неориентированного графа. Опишите основное правило заполнения матрицы смежности.

5.8Дайте определение матрицы смежности для ориентированного графа. Опишите основное правило заполнения матрицы смежности.

5.9Что определяют строки и столбцы матрицы инцидентности ориентированного графа?

5.10В матрице инцидентности

элемент, принимающий значение 1, означает, что…

17

5.11Для матрицы смежности ориентированного графа укажите исходящие дуги из вершины 1

5.12Для матрицы смежности неориентированного графа укажите степень вершины 1

5.13Как обозначается в матрице смежности неориентированного графа петля?

5.14Какая вершина ориентированного графа имеет наибольшее количество исходящих дуг?

5.15Как обозначается петля в матрице смежности ориентированного графа?

18

Список литературы

[1]Храмова, Т. В. Лекции по теории графов : учеб. пособие / Т. В. Храмова; Сиб. гос. ун-т телекоммуникаций и информатики. – Новосибирск:

СибГУТИ, 2011. – 98 с.

[2]Бернштейн, Т. В. Практикум по дискретной математике : учеб. пособие / Т. В. Бернштейн, Т. В. Храмова; Сиб. гос. ун-т телекоммуникаций и информатики. – 2-е изд. – Новосибирск: СибГУТИ, 2014. – 131 с.: ил.

[3]Мальцев И.А. Дискретная математика. – Новосибирск: Изд-во Института математики, 2007. – 228 с.: ил.

[4]Судоплатов, С. В. Дискретная математика : учебник / Судоплатов С. В., Овчинникова Е. В. – Новосибирск: Новосибирский государственный технический университет, 2016. – 280 c.

19

Учебное издание

Овчаренко Алёна Юрьевна

Дискретная математика: графы

Корректор А.Р. Шерстнёва

Подписано в печать 05.10.2023.

Формат бумаги 62 × 84/16, отпечатано на ризографе, шрифт № 10, п. л. – 1,3, заказ № 84, тираж – 50.

СибГУТИ 630102, г. Новосибирск, ул. Кирова, 86

20