Дискретная математика булева алгебра. Учебно-методическое пособие

2)Свойства констант:

x1 = 1

x0 = 0

3)Закон инволюции:

x= x

4)Закон поглощения:

x( x y ) = x

x( x y ) = x

5)Закон склеивания:

( x y) (x z ) = b

( x y) (x z ) = b

6)Законы де Моргана:

xy = x y

x y = x y

Формулы, реализующие одну и ту же функцию, называются эквивалентными или равносильными. При доказательстве равносильности формул используются основные равносильности булевой алгебры и следующие формулы:

1)Импликация: x → y = x y ;

2)Эквиваленция (равнозначность): x ~ y = ( x y) (x y)

3)Неравнозначность: x y = (x y) (x y)

Функция – это правило, согласно которому каждому элементу x из области определения (Х) ставится в соответствие определенный элемент из области значения. У одной функции может быть множество формул.

6

Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (далее СДНФ) есть представление функции в виде дизъюнкции минтермов n аргументов.

Совершенная конъюнктивная нормальная форма (далее СКНФ) есть представление функции в виде конъюнкции макстермов n аргументов.

Минтерм (минимальный терм) есть булева функция, которая принимает единичное значение только на одном наборе значений переменных.

Макстерм (максимальный терм) есть булева функция, принимающая единичные значения на всех наборах аргументов, кроме одного.

Минимальная ДНФ есть тупиковая ДНФ, которая содержит минимальное число вхождений переменных.

Минимальная КНФ есть тупиковая КНФ, которая содержит минимальное число вхождений переменных.

Действия логических связок задаются таблицами истинности, каждой

строке которых взаимно-однозначно сопоставляется набор значений

переменных, составляющих формулу, и соответствующее этому набору

значение полученной формулы (см. таблицу 1.1).

Таблица 1.1 – Таблица истинности для булевой функции

Логические функции можно интерпретировать как функции проводимости электрических цепей, содержащих двухпозиционные переключатели (частным случаем являются релейно-контактные схемы). 1

интерпретируется как состояние переключателя «ток проходит», а 0 – «ток не проходит». x – замыкающий контакт, x – размыкающий контакт, –

последовательное соединение контактов, – параллельное.

7

2 Пример 1

Дано: булева функция f (x, y, z) = (x → y) → ( yz → xz).

Задание:

1)построить таблицу истинности;

2)построить СКНФ, используя таблицу истинности;

3)найти методом преобразования минимальную ДНФ;

4)построить релейно-контактную схему минимальной ДНФ. Решение:

1)Булева функция включает в себя три аргумента: x, y, z, следовательно, таблица будет состоять из 8 строк, для того чтобы охватить все вариации значений аргументов. Далее саму функцию разбиваем на действия, используя приоритет операций. Результат представлен в таблице 2.1.

Таблица 2.1 – Таблица истинности для булевой функции

f (x, y, z) = (x → y) → ( yz → xz).

В данном примере в первую очередь распишем операцию отрицания,

затем выражения в скобках, также в скобках можно поделить выполнение на несколько частей: сначала операции конъюнкции, затем импликации.

Результат всех проделанных действий показан в последнем столбце.

8

2)Для построения СКНФ из таблицы истинности используем значения последнего столбца. При построении СКНФ рассматриваем только те наборы аргументов, на которых функция принимает нулевые значения:

f (1,1,1) = 0 f (x, y, z) = x y z

3)Для того, чтобы построить минимальную ДНФ методом преобразования, используем такие соотношения:

x → y = x y,

x = x,

xy = x y,

(x y ) = x y.

Получаем:

f (x, y, z) = (x → y) → ( yz → xz) = (x y) → ( yz → xz) = (x y) ( yz → xz) =

=(x y) ( yz xz) = xy (( y z) xz) = xy y z xz = (x y) y z (x z) =

=((x y) ( y y)) ((z x) (z z)) = ((x y) 1) ((z x) 1) = (x y) (z x) =

=x x y z = x y z

Минимальная ДНФ: x y z

4) Релейно-контактная схема показана на рисунке 2.1.

Рисунок 2.1 – Релейно-контактная схема минимальной ДНФ x y z

9

3 Пример 2

________________

Дано: булева функция f (x, y, z) = (x y → z ) (xy → z )

Задание:

1)построить таблицу истинности;

2)построить СКНФ, используя таблицу истинности;

3)найти методом преобразования минимальную ДНФ;

4)построить релейно-контактную схему минимальной ДНФ. Решение:

1)В данном примере булева функция включает в себя три аргумента: x, y, z, следовательно, таблица будет состоять из 8 строк, для того чтобы охватить все возможные вариации значений аргументов. Далее функцию разбиваем на операции, используя приоритет операций.

Результат представлен в таблице 3.1.

Таблица 3.1 – Таблица истинности для булевой функции

________________

f (x, y, z) = (x y → z ) (xy → z )

В данном примере в первую очередь распишем операцию отрицания каждого аргумента, затем выражения в скобках по отдельности. В свою очередь, каждая скобка имеет свой приоритет действий. Выполнение

10