Дискретная математика булева алгебра. Учебно-методическое пособие

операций поделим на несколько частей: сначала операции конъюнкции, затем импликации, общего отрицания. Результат всех проделанных действий показан в последнем столбце.

2)Для построения СКНФ из таблицы истинности используем значения последнего столбца. При построении СКНФ рассматриваем только те наборы аргументов, на которых функция принимает нулевые значения:

f (1,1,1) = 0 f (x, y, z) = x y z

находим методом преобразования минимальную ДНФ.

Пользуясь тождеством P → Q P Q , где P и Q – произвольные формулы, запишем:

( x y → z) ( x y → z ) = (x y z ) (x y z )

Пользуясь законами де Моргана P Q P Q , P Q P Q , где P и Q – произвольные формулы, запишем:

(x y z) (x y z ) = (x y z) (x y z)

Пользуясь свойством отрицания P P , где P – произвольная формула, запишем:

(x y z) (x y z ) = (x y z ) (x y z )

Пользуясь законом поглощения P Q P P , где P и Q – произвольные формулы, запишем:

(x y z) (x y z ) = x y z

Минимальная ДНФ: x y z

11

4) Релейно-контактная схема показана на рисунке 3.1.

Рисунок 3.1 – Релейно-контактная схема минимальной ДНФ x y z

12

4 Пример 3

Дано: булева функция f (x, y, z) = (xy → z) (x y → z )

Задание:

1)построить таблицу истинности;

2)построить СКНФ, используя таблицу истинности;

3)найти методом преобразования минимальную ДНФ;

4)построить релейно-контактную схему минимальной ДНФ. Решение:

1)В данном примере булева функция зависит от трех аргументов: x, y, z, следовательно, таблица будет состоять из 8 строк, для того чтобы охватить все возможные вариации значений аргументов. Далее функцию разбиваем на операции, используя приоритет операций.

Результат представлен в таблице 4.1.

Таблица 4.1 – Таблица истинности для булевой функции

f (x, y, z) = (xy → z) (x y → z )

В данном примере в первую очередь распишем операцию отрицания каждого аргумента x , y , z затем выражения в скобках по отдельности. В

свою очередь, каждая скобка имеет свой приоритет действий. Для

13

последовательность операций будет: конъюнкция xy , импликация xy → z ,

отрицание xy → z . Для (x y → z ) последовательность выполнения действий будет: конъюнкция x y , импликация x y → z . И последним действием будет дизъюнкция (xy → z ) и (x y → z ) .

2)Для построения СКНФ из таблицы истинности используем значения последнего столбца. При построении СКНФ рассматриваем только те наборы аргументов, на которых функция принимает нулевые значения:

f (0, 0,1) = 0 f (x, y, z) = x y z

3) Для данной булевой функции f (x, y, z) = (xy → z) (x y → z )

находим методом преобразования минимальную ДНФ.

Воспользуемся:

•Тождеством P → Q P Q , где P и Q – произвольные формулы,

запишем:

f(x, y, z) = (xy → z) (x y → z ) = (xy z ) (x y z ) ;

•Законами де Моргана P Q P Q , P Q P Q , где P и Q –

произвольные формулы, запишем:

f(x, y, z) = (xy z ) (x y z ) = (xy z ) (x y z );

•Свойством отрицания P P , где P – произвольная формула, запишем:

f(x, y, z) = (xy z ) (x y z ) = (xy z ) x y z ;

•Законом поглощения P Q P P , где P и Q – произвольные формулы,

запишем:

f (x, y, z) = (xy z ) x y z = x y z .

14

Тогда получаем:

f (x, y, z) = (xy → z) (x y → z ) = (xy z ) (x y z ) = (xy z ) (x y z ) = = (xy z ) x y z = x y z .

Минимальная ДНФ: x y z .

4) Релейно-контактная схема показана на рисунке 4.1.

Рисунок 4.1 – Релейно-контактная схема минимальной ДНФ x y z

15

5 Пример 4

Дано: булева функция f (x, y, z) = (x y)( y z) → (x z)

Задание:

1)построить таблицу истинности;

2)построить СКНФ, используя таблицу истинности;

3)найти методом преобразования минимальную ДНФ;

4)построить релейно-контактную схему минимальной ДНФ. Решение:

1)В данном примере булева функция зависит от трех аргументов: x, y, z, следовательно, таблица будет состоять из 8 строк, для того чтобы охватить все возможные вариации значений аргументов. Далее функцию разбиваем на операции, используя приоритет операций.

Результат представлен в таблице 5.1.

Таблица 5.1 – Таблица истинности для булевой функции f (x, y, z) = (x y)( y z) → (x z)

2)Для построения СКНФ из таблицы истинности используем значения последнего столбца. При построении СКНФ рассматриваем только те наборы аргументов, на которых функция принимает нулевые значения:

f (0,1, 0) = 0 f (x, y, z) = x y z

3) Для данной булевой функции f (x, y, z) = (x y)( y z) → (x z)

находим методом преобразования минимальную ДНФ.

Преобразуем заданную функцию, пользуясь следующими соотношениями:

x → y = x y ,

x x = 1 ,

x 1 = x ,

x y = x y ,

1 x = 1,

x y = xy .

Тогда получаем:

f(x, y, z) = (x y)( y z) → (x z) = (x y)( y z) (x z) =

=(x y) ( y z) (x z) = x y y z x z =

=x x y z y z = (x x)(x y) (z y)(z z) =

=1(x y) 1(z y) = x y y z = x y z

Минимальная ДНФ: x y z .

17

4) Релейно-контактная схема показана на рисунке 5.1.

Рисунок 5.1 – Релейно-контактная схема минимальной ДНФ x y z

18

6 Контрольные вопросы

5.1Дайте определение булевой алгебре.

5.2Дайте определение понятиям СДНФ, СКНФ, минимальная ДНФ,

минимальная СКНФ. Приведите примеры.

5.3Перечислите базисные операции, которые позволяют выражать другие операции.

5.4Как связана логическая функция и релейно-контактная схема?

5.5Как интерпретируется единица в релейно-контактной схеме?

5.6Как показать в релейно-контактной схеме, что «ток не проходит»?

5.7Каким контактом являются в релейно-контактной схеме x и x ?

5.8Релейно-контактной схеме из двух последовательно соединенных контактов x и y соответствует функция проводимости…

5.9Релейно-контактной схеме из трех параллельных соединенных контактов x, y, z соответствует функция проводимости…

19

Список литературы

[1]Судоплатов, С. В. Дискретная математика: учебник / Судоплатов С. В., Овчинникова Е. В. – Новосибирск: Новосибирский государственный технический университет, 2016. – 280 c.

[2]Яблонский С. В. Введение в дискретную математику. – М.: Наука, 1986.

– 384 с.

[3] Бернштейн, Т. В. Практикум по дискретной математике : учеб. пособие / Т. В. Бернштейн, Т. В. Храмова; Сиб. гос. ун-т телекоммуникаций и информатики. – 2-е изд. – Новосибирск: СибГУТИ, 2014. – 131 с.: ил.

[4]Мальцев И.А. Дискретная математика. – Новосибирск: Изд-во Института математики, 2007. – 228 с.: ил.

20