Дискретная математика основные теоретико-множественные конструкции. Ч.VI. Учебное пособие

ра ц и я м и (см. п.2) из упр.3)).

5.Поясните, почему кор-соответствие типа N2→N вида n1+n2=n3 не является операцией.

Ответ. Потому что в график этого кор-соответствия входят, в частности, такие пары: <<2,4>, 1> и <<2,4>, 2>, то есть он – не- функциональный.

6. Докажите, что операция типа N2→ N [19, стр.9], «соотносящая»

паре над N среднее геометрическое [2, т.5, стр.161, ст. «Среднее»],

еекомпонент не является, вообще говоря, воп-операцией.

Доказательство

Среднее геометрическое компонент пары <1,2> N2 есть

(1 2)1/2 = 21/2, но 21/2 N.

Виды n-местных операций

изадание их двухстрочными таблицами

Вдальнейшем мы будем использовать такую терминологию. Пусть n N+, а Х – непустое множество. Любую операцию типа Хn→Х

[19, стр.9] мы будем называть n-местной операцией на множестве Х.

1. Приведите примеры м н о г о м е с т н ы х операций и укажите несколько элементов их графиков.

2. Приведите примеры n-местных операций, где n N+, и укажи- те несколько элементов их графиков.

3. Пусть X=df {a}. Постройте множества Xn, где n N и 0≤n≤4.

4. Пусть n N+. Докажите методом математической индукции

[9, стр.15], что каково бы ни было одноэлементное множество Х, верно

Хn = Х .

Здесь знакосочетание Х обозначает мощность множества Х

[18, стр.17].

5. Как может быть охарактеризована нижняя строка табл. XII.1 (см. ТЧ, п.2, описанной в пп.3 из п.2 ТЧ), если f – отображение?

Ответ. В этой строке отсутствуют прочерки.

6. «Опишите» функцию f(х1, х2) типа {0,1}2→{0,1}, заданную табл. XII.8 (см. Пример 1 из пп.3 п.2 ТЧ).

101

Ответ. Функция f(х1, х2) принимает значение 0, когда компонен- ты ее аргумента – равные, и значение 1 – в противном случае. *Формула для определения значений функции f(х1, х2) такова:

f(х1, х2) = х1 х2,

где – знак коннекторной операции сложение по модулю 2

[14, стр.16–17].*

Свойства алгебраических операций

Свойства одноместных алгебраических операций

Упражнения (с разборами решений или без них), относящиеся к од- номестным операциям на фиксированном множестве (то есть к унои- дам), приведены в пособии [19, стр.90–95, упр.1–13].

Свойства двухместных алгебраических операций. Главные элементы группоидов

Среди двухместных функций большое распространение в матема- тической практике получили двухместные, или бинарные, операции. Их примерами могут служить встречающиеся на каждом шаге такие действия над числами, как сложение, умножение и т.д. Ниже мы по- знакомимся и с другими операциями.

Произвольная двухместная операция представляет собой тройку вида

f=<F, X, X>,

которая более компактно может быть представлена так:

f=<F,X>.

Здесь F X X и F – фн-график [16, стр.98]. Если принадлежность <x,y> пр1F – верная, то это обозначают так: !f(x,y) и произносят:

Бинарная операция f определена на паре <x,y> (см. [14, стр.31–32]). Таким образом,

!f(x,y) df(<x,y> пр1F).

Отсюда следует, что

!f(x,y) (<x,y> пр1F).

Если верно утверждение !f(x,y), то в силу функциональности F сущест- вует единственный элемент z пр2F, такой, что f(x,y)=z. В инфиксной

102

записи его обозначают через xfy. Например, сумму чисел m и n обозна- чают через m+n, а произведение – через m n.

1. Какой минимальной информацией о воп-группоиде

необходимо располагать, чтобы задать его? Ответ. Графиком операции Т группоида (I).

Решение. Пусть F – график операции Т группоида (I). Тогда в силу определения воп-группоида имеем: Х=пр1F, Т=<F, пр1F, пр1F>, то есть

GD = < <F, пр1F, пр1F>, пр1F, пр1F >.

2. Пусть Пn – множество, состоящее только из всех перестановок над множеством

Доказательство. Первая компонента произвольной перестановки над множеством (I) может быть «выбрана» n способами, вторая – (n–1) способами, . . . , (n–1)-я – двумя способами, и, наконец, n-я – единствен-

ным способом. Отсюда, в силу комбинаторного правила произведения

[18, стр.94–97], следует, что равенство (II) – верное.

Нейтральные элементы группоида

1. Запишите на ЛМЯ определение элемента воп-группоида, не являющегося лнэлом (пнэлом, днэлом), то есть представляю- щего собой нелнэл (соответственно, непнэл, неднэл) (см. Оп-

ределение 1 в п.3.2.1 ТЧ).

Ответ. Элемент ел (еп, ед) воп-группоида

называют левым (правым, двусторонне) нейтральным (сокра-

щенно: лнэлом, пнэлом, днэлом), если верно соотношение

( x X)(елTx=x)

(соответственно,

( x X)(хTеп=x),

( x X)( едTx=хTед=x )).

103

Отсюда следует, что элемент rл (rп, rд) воп-группоида (I) не является его лнэлом (соответственно, пнэлом, днэлом), если верно соотношение

( x X)(rлTx≠x)

(соответственно,

( x X)(хTrп≠x), ( x X)( rдTx≠х хTrд≠x )).

2. Дайте определения нэлов частичных группоидов.

Решение

Определение 1. Элемент ел (еп, ед) частичного группоида (I)

из упр.1 называют левым нейтральным элементом (сокращенно: лнэлом) [соответственно, правым нейтральным элементом (пнэлом), двусторонним нейтральным элементом (днэлом)], если верно соотношение

и нелнэлом (соответственно, непнэлом, неднэлом) – в противном случае соотношения (I) – (III).

(см. [14, стр.48, II. Коннекторные переменные]), а Х – множество,

состоящее из истинностных символов [13, стр.78].

Решение

1) Днэлом группоида < , X> [< , X> ] является истинностная константа Л [13, стр.34, п.1], поскольку верна такая равносильность:

(Л Р) ≡ (Р Л)( ≡ Р)

[соответственно,

104

(Л Р) ≡ (Р Л)( ≡ Р)].

2) Днэлом группоида < , X> служит истинностная константа И [13, стр.34, п.1], так как верна следующая равнозначность:

(И Р) ≡ (Р И)( ≡ Р).

4. Докажите Утверждения 1 и 2 из п.3.2.1 ТЧ. 5. Докажите, что 2.1) Группоид

не имеет лнэла, и поэтому – днэла, но имеет пнэл (см. пп. 2) и 3) из

Примера 1 в ТЧ).

Доказательство. 1.2а) В самом деле, высказывание

( y Z)( х Z)(y–х=х),

то есть высказывание

( y Z)( х Z)(y=2х),

которое на русском языке может быть записано так:

Существует такое целое число (y), которое в два раза больше л ю б о г о целого числа (х),

-ложное и поэтому группоид (I) не имеет лнэлов.

1.2б) Поскольку верно высказывание

( х Z)(х–0=х),

то целое число 0 (ноль) – е д и н с т в е н н ы й пнэл (относительно операции вычитания целых чисел).

1.3) Группоид

GD =df <T, X>,

представленный своей ТК (табл. ХII.9), имеет один лнэл, но не имеет пнэла, и поэтому – днэла.

Таблица ХII.9

105

Доказательство. Действительно, элемент а есть лнэл, так как аТа=а, аТb=b и аТс=с; элемент b не представляет собой лнэла в свя- зи с тем, что bТa=c≠а; элемент с не служит лнэлом, поскольку сТa=b≠а. Элемент а не является пнэлом, ибо bТa=c≠b; элемент b не служит пнэлом, так как аТb=b≠а; элемент c не представляет собой пнэл по той же причине, а именно: аТc=c≠a.

6. Докажите Утверждение 3 из п.3.2.1 ТЧ.

Доказательство. Указанное утверждение формулируется так:

Если ел – лнэл группоида, а еп – его пнэл, то

В самом деле, с одной стороны елТеп = еп, а с другой – елТеп = ел. Поэтому равенство (I) – верное.

7. Докажите Утверждение 4 из п. 3.2.1 ТЧ. Доказательство. Это утверждение выражается так:

Действительно:

1)В группоиде < +, N+ > нет днэла.

2)В группоиде < +, N > есть единственный днэл – число 0 (ноль).

3)Предположим, что

В силу их определения имеем: е=еТе′=е′, что противоречит гипотезе (II). Таким образом, утверждение (I) – верное.

8. Докажите Утверждение 5 из п. 3.2.1 ТЧ. Доказательство. Данное утверждение «передается» так:

Если группоиду принадлежит более одного лнэла (пнэла), то в нем нет пнэла (соответственно, лнэла) и, следовательно, днэла.

106

и

Предположим, что еп – пнэл группоида (I), то есть верна такая формула:

что противоречит неравенству (IV).

9. Докажите Утверждение 6 из п.4.1 ТЧ.

Доказательство. Указанное утверждение формулируется так:

В д-нейтрале нет лнэлов или пнэлов, отличных от его днэла.

Пусть ед и ел – днэл и лнэл д-нейтрала

Тогда ел=елТед=ед, то есть ел=ед, но это равенство есть отрицание неравенства (II).

Таким образом, оказываются «одновременно» истинными суждение

иего отрицание, что абсурдно. Стало быть, гипотеза (II) – ложная.

Вслучае, когда еп – пнэл группоида (I) и еп≠ед, рассуждения аналогичны.

10. Чем характеризуется ТК нейтрализатора (л-нейтрализатора, п-нейтрализатора и д-нейтрализатора)?

Ответ. Если в группоиде

GD =df <T, X> (I)

объект ел Х – его лнэл (объект еп Х – его пнэл, объект ед Х – его днэл), то строка ТК с меткой ел (соответственно, еп, ед) совпадает с верх-

107

ней входной строкой (соответственно, с левым входным столбцом, с левой входной строкой и левым входным столбцом), поскольку

( x X)(eлТх=х)

[соответственно,

( x X)(хТeп=х),

( x X)(eдТх=хТeд=х)].

Аннулирующие элементы группоидов

1. Запишите на ЛМЯ определение элемента воп-группоида, не яв- ляющегося ланэлом (панэлом, данэлом) (см. Определение 1 из ТЧ).

Ответ. Элемент ал (ап, ад) воп-группоида

называют левым (правым, двусторонне) аннулирующим (сокра-

щенно: ланэлом, панэлом, данэлом соответственно), если верно соотношение

( x X)(алTx=ал),

(соответственно,

( x X)(хTап=ап),

( x X)( адTx=хTад=ад )).

Отсюда следует, что элемент qл (qп, qд) воп-группоида (I) не явля- ется его ланэлом (панэлом, данэлом), если верно соотношение:

( x X)(qлTx≠qл),

(соответственно

( x X)(хTqп≠qп),

( x X)( qдTx≠х хTqд≠qд )).

2. Дайте определения ланэла, панэла и данэла для частичных группоидов.

Ответ

Определение 1. Элемент ал (ап, ад) частичного группоида (1)

из упр.1 называют левым аннулирующим (ланэлом) [соответст-

108

венно, правым аннулирующим (панэлом), двусторонне аннули-

рующим (данэлом)], если верно соотношение

в противном случае] и неланэлом (соответственно, непанэлом, не-

данэлом).

3. Докажите Утверждения 1 и 2 (критерий двухсторонней аннулируемости элемента группоида) из п. 3.2.2 ТЧ.

4. Докажите, что группоид

где \ – знак бинарной теоретико-множественной операции вычитания множеств [15, стр.47], а (Х) – булеан множества Х [15, стр.44],

не имеет панэла (см. п.2) из Примера 1 ТЧ).

Доказательство. Убедимся, что группоид (I) не имеет панэла, то есть соотношение

( Z (X))( Y (X))(Y\Z=Z)

– опровержимое.

Предположим, что Z0 – один из элементов множества (X), для которого оно справедливо. Ясно, что Z0≠, ибо в противном

что противоречит неравенству (III). Таким образом, предположение о существовании у группоида (I) панэла привело к бессмыслице.

109

Итак, у группоида (I) есть ланэл – пустое множество, но нет панэ- ла и, следовательно, данэла.

5. Докажите семантическую независимость [14, стр.72–73]

свойств группоида «быть л-аннуляром» и «быть п-аннуляром».

Доказательство

1)Группоид GD1 =df < +, N+ > не является аннуляром.

2)Группоид GD2 =df < \, (X) > представляет собой л-аннуляр, не являющийся п-аннуляром, и поэтому – д-аннуляром (см. упр.4).

3)Группоид GD =df <T, X>, заданный своей ТК (табл. XII.10),

–п-аннуляр, не являющийся л-аннуляром и в связи с этим – д-аннуляром.

4) В группоиде GD4 =df < , (X)> (GD5 =df <∩, (X)>) множе-

ство Х ( соответственно, пустое множество ( ) ) – данэл, и поэтому GD4 (соответственно, GD5) – д-аннуляр.

Вывод. Итак, свойства группоида «быть л-аннуляром» и «быть п-аннуляром» – семантически независимые [14, стр.72–73].

6. Докажите Утверждение 3 из п. 3.2.2 ТЧ.

Доказательство. Утверждение 3 из п. 3.2.2 ТЧ формулируется так:

Если ал – ланэл группоида (I), а ап – его панэл, то

Имеем: с одной стороны алТап = ал, а с другой – алТап = ап. По- этому равенство (I) – верное.

7. Докажите Утверждение 4 из п. 3.2.2 ТЧ.

Доказательство

Интересующее нас утверждение формулируется так:

Группоиду принадлежит не более одного данэла.

Покажем это. Имеем:

1)В группоиде < +, N+ > нет данэла.

2)В группоиде < , (Х) > есть единственный данэл – множество Х.

3)Предположим, что а и а′ – данэлы группоида (1). В силу их оп- ределения имеем: а=аТа′=а′.

8. Докажите Утверждение 5 из п. 3.2.2 ТЧ.

Доказательство. Утверждение 5 из п. 3.2.2 ТЧ формулируется так:

110