Дискретная математика основные теоретико-множественные конструкции. Ч.VI. Учебное пособие

Необходимость. Если g – отображение, то пр1G=пр2F. Так как пр1G=Y (см. равенство (9) из п.1 ТЧ), то пр2F=Y, то есть f – сюръекция.

Достаточность. Пусть f – сюръекция, то есть пр2F=Y. Поскольку пр2F = пр1G

(см. указанное выше равенство), то пр1G=Y, то есть g – отображение.

2) Для того чтобы любая обратная к f функция была сюръекцией, необходимо и достаточно, чтобы f была отображением.

Необходимость. Пусть g – сюръекция. Тогда

пр2G=Х. (I)

Так как G F-1 (см. соотношение (4) из п.3 ТЧ), то пр2G пр2F-1 [16, стр.38], то есть пр2G пр1F. Отсюда и из (I) следует, что Х пр1F. Поскольку f – соответствие, пр1F Х. Конъюнкция двух последних соотношений имплицирует равенство пр1F=Х, которое вместе с предложением «соответствие f – функция» равносильно утвержде- нию «функция f – отображение».

Достаточность. Пусть f – сюръекция, то есть пр2F=Y. По- скольку пр2F= пр1G (см. указанное выше равенство, то пр1G=Y, то есть g – отображение.

3) Докажите самостоятельно следующее утверждение.

Для того чтобы любая обратная к f функция была биекцией, необходимо и достаточно, чтобы f была биекцией.

*14. 1) Докажите или опровергните, что если хотя бы одна из об- ратных к функции f является отображением (сюръекцией, биекцией), то и любая из этих функций является отображением (соответственно, сюръекцией, биекцией).

2) Биекция имеет единственную обратную функцию (поскольку является инъекцией) (см. Теорему 1 из п.1 ТЧ).

*15. Верно ли следующее утверждение:

Если функция имеет единственную обратную, то она – биекция.

16. Докажите Теорему 1 из п.4 ТЧ.

Доказательство

Данная теорема формулируется так:

Функция имеет е д и н с т в е н н у ю о б р а т н у ю (функцию) тогда и только тогда, когда она инъективна.

31

Докажем ее.

Необходимость. Пусть тройка <F, X, Y> – функция. В этой части доказательства Теоремы 1 следует установить такую импликацию:

Если обратная к f функция – единственная, то f – инъекция.

Покажем истинность равносильной ей ее контрапозиции [14, стр.23]:

Если f – не инъекция, то обратная к f функция – неединственная.

Пусть f=df<F,X,Y> – не инъекция. Тогда существуют такие объек-

ты x, y и z, что <y,x>,<z,x> F и

y≠z.

Предположим, что g =df <G,Y,X> – п р о и з в о л ь н а я обратная к f функция (в Теореме 2 из п.2 ТЧ мы уже доказали, что хотя бы одна такая функция существует (наличествует) всегда). Поскольку x пр2F, то в силу равенства (6) из п.2 ТЧ верно: x пр1G. Тогда име- ется такое u, что

<x,u> G.

Рассмотрим два случая: u=y и u≠y.

1) Если u=y, то <x,y> G. Поскольку g – функция, других пар с первой компонентой, равной х, в G нет. Пусть

G1 = df (G\{<x,y>}) {<x,z>}.

Из того, что y≠z, вытекает, что G1≠G. Положим, что g1 =df <G1,Y,X>. Тогда g1 – функция, обратная к f, и g1≠g.

2) Если u≠y, положим, что

G2 = df (G\{<x,u>}) {<x,y>}.

Ясно, что G2≠G. Пусть g2 =df <G2,Y,X>. Тогда g2 – функция, об- ратная к f, и g2≠g.

Достаточность. В этой части доказательства необходимо уста- новить правильность импликации:

Покажем истинность равносильной импликации (I) ее контрапозиции:

32

Переходим к доказательству утверждения (II). Пусть g1=df<G1,Y,X> и g2=df<G2,Y,X> – две р а з н ы е функции, обратные для функции f=df<F,X,Y>. Так как области отправления и прибытия для функций g1 и g2 – одинаковы, то единственной причиной, по ко- торой они не равны, является справедливость неравенства G1≠G2, которое может быть «раскрыто», например, так:

(<x,y>)( (<x,y> G1 <x,y> G2) (<x,y> G1) <x,y> G2) ). (III)

Отсюда следует, что верно, по меньшей мере, одно из следующих соот- ношений:

Рассмотрим положение дел, когда верно соотношение (IV). Пусть

Из соотношений (4) из п.2 ТЧ и (VI) получаем

<y,x> F. (VIII)

Отсюда вытекает, что x пр2F. В силу равенства (9) из п.2 ТЧ имеем: x пр1G. Следовательно, существует такое z пр2G2, что

<x,z> G2. (IX)

Из соотношений (VIII), (X) и (XI) вытекает, что F – неинъективный график, то есть f – не инъекция.

Ситуации, в которых верны соотношения (V) или (IV) и (V), рас- сматриваются аналогично.

Результат Теоремы 1 служит таким ответом на вопрос о числе функций, обратных к данной.

33

1кл) Функция, обратная для инъекции, – единственная.

2кл) Существуют по меньшей мере две обратные для неинъектив- ной функции.

Некоторые «качественные» вопросы, относящиеся к этим «коли- чественным» утверждениям, могут быть сформулированы соответст- венно, например, так.

1кч) Что представляет собой функция, обратная к инъекции?

2кч) Какая существует взаимосвязь между обратными к неинъек- тивной функциями?

Ответы на них последовательно изложены ниже. Переходим к их рассмотрению.

17. Пусть

Найдите все функции, обратные к функции (I), в частности, опре- делите их число.

Указание. Для наглядности ситуации советуем читателю постро- ить диаграмму [17, стр.16] функции (I).

Решение. Из определения (II) имеем: пр1F={1, 2, …, 5, 6}, а пр2F={a, b, c}. Кроме того, верны следующие равенства:

F-1({a})={1}; F-1({b})={2, 3}; F-1({c})={4, 5, 6}.

Пусть gi =df <Gi,пр2F, пр1F>, где 1≤i≤6 – функции, графики кото-

который принимает числовое значение, равное 1 2 3=6.

34

18. Пусть X – непустое конечное множество [18, стр.46], а F X Y – непустой функциональный график [16, стр.98–99]. Отсю-

да следует, что Y – непустое конечное множество. Найдите число в с е х функций, обратных к функции

f =df <F,X,Y>. (I)

Решение. По условию верно:

( i N:1≤i≤2)(прiF – непустое конечное множество),

то есть множества прiF, где i {1, 2} могут иметь, например, такой вид пр1F={a1, a2, …, am},

а

пр2F={b1, b2, …, bn},

где m,n N+. Согласно результату, полученному в примере 1 из п.3 §1 гл. VI пособия [17, стр.36], семейство множеств

Y =df (F-1({bi}))1≤i≤n,

состоящее только из полных прообразов всех элементов из области зна-

чений пр2F функций (I), есть разбиение ее области определения пр1F [16, стр.135]. Поэтому верны, в частности, следующие соотношения:

В силу комбинаторного «правила суммы» [18, стр.97] из соотно- шений (II) и (III) получаем

пр1F =Σi [1; n] F-1({bi}) .

Опишем функции, обратные к функции (I). Обозначим через g =df <G, пр2F, пр1F> одну из них. Ее график состоит из всех пар вида <bj,x>, где j [1; n], а х F-1({bi}), то есть имеет n элементов. Поэтому g – всюду определенное соответствие.

Далее, поскольку соотношение

( i,j [1; n])[(i=j) (F-1({bi})=F-1({bj}))]

– верное, то g – отображение. Кроме того, в силу соотношения (III) график отображения g – инъективный. И, наконец, согласно формуле

35

(II) – инъективное отображение g сюръективно, то есть g – биекция типа пр2F→Y. Из изложенного следует, что 2-я компонента пары <bj,x> может быть выбрана F-1({bi}) способами. Поскольку выбор второй компоненты для пары, имеющей первую компоненту, равную bj, «не зависит» от выборов вторых компонент остальных пар, то в силу комбинаторного правила произведения (см. [18, стр.94]) число функций, обратных к функции f, подсчитывается при помощи терма:

Pi [1; n] F-1({bi}) 3).

19. Докажите Теорему 2.

Доказательство Теорема 2 формулируется так:

Обратная функция для инъекции представляет собой ее инверсию.

В силу равенства (4) из п.2 ТЧ инверсия f–1 инъекции f является обратной для нее, причем согласно теореме 1 – единственной.

20. Докажите Теорему 3 (достаточные условия равенства обратных функций).

Доказательство

Установим эту теорему в формулировке, эквивалентной ее формули- ровке из ТЧ:

Если обратные для неинъективных функций имеют одну и ту же область значений, то они равны.

Пусть функции g1 =df <G1,Y,X> и g2 =df <G2,Y,X> являются об- ратными для неинъективной функции вида (1) из упр.3, и при этом верно равенство:

пр2G1=пр2G2. (I)

Докажем, что

Очевидно, что из равенства (II) следует равенство

В самом деле, предположим, что

<x,y> G1.

Тогда y пр2G1, и, в силу нестрогого включения (4) из п.3 ТЧ, получаем

<y,x> F.

36

В силу равенства (I) верна принадлежность y пр2G2. Следова- тельно, существует такое z, что <z,y> G2. Опять-таки, в силу нестро- гого включения (4) из п.3, имеем

<y,z> F.

Поскольку F – функциональный график, то x=z. Поэтому

<x,y> G2.

Таким образом, G1 G2. Нестрогое включение G2 G1 доказывается аналогично. Из двух последних нестрогих включений следует равен- ство (III), а из него – равенство (II).

Таким образом, обратная для неинъективной функции полностью характеризуется своей областью значений.

21. Докажите Теорему 4 (достаточные условия задания обратной функции).

Доказательство. Указанные достаточные условия формули- руется так:

Для того, что бы задать функцию g, обратную для функции

f =df <F, X, Y>,

достаточно указать такую часть U множества пр1F, к о т о р а я

д л я к а ж д о г о э л е м е н т а b пр2F с о д е р ж и т е г о е д и н - с т в е н н ы й п р о о б р а з о т н о с и т е л ь н о ф у н к ц и и g . Зада- нием такого множества U обратная функция g вполне определяет- ся, то есть существует единственная функция g, обратная для f, с областью значений U.

Действительно, пусть множество B пр1F обладает указанным в условии теоремы свойством. Обозначим через G множество пар вида <b,a>, составленных для всех b пр2F. Будем считать, что g=df<G,Y,X>. Легко видеть, что:

1)g является обратной для функции f;

2)пр2G=B.

Единственность обратной функции с областью значений A следует из Теоремы 3.

Итак, если функция f неинъективна, то обратная к ней функция g выбирается среди многих функций, обратных для функции f. Каж- дая из обратных функций индивидуализируется именно заданием ее области значений B пр1F. Если же функция f – инъекция, то, как до- казано выше, g=f-1.

37

Ответ на вопрос о числе функций, обратных к функции, имеющей

конечную область отправления [ 18, стр.45], получен в упр.18.

График обратной функции охарактеризован в следующей теореме.

22. Докажите Теорему 5 (о графике обратной функции) из ТЧ.

Доказательство Теорема 5 формулируется так.

Если функция g=df<G,Y,X> является обратной для функции f=df<F,X,Y>, то

1) Докажем равенство (I). По определению сужения соответствия имеем:

H=F∩(пр2G×Y)

(см. определение (1) из п.2 §2 гл.IX пособия [19, стр.35]). Отсюда получаем

(см. упр.31, п.2) к §1 гл.III пособия [16, стр.17]). Таким образом, в силу равенства (III), следует доказать равенство

G=F-1∩(Y×пр2G). (IV)

Переходим к его доказательству а) Пусть

<x,y> G.

Тогда, в силу нестрогого включения <x,y> F-1. Поскольку G Y×X, то x Y. Кроме того, y пр2G. Следовательно, <x,y> Y×пр2G и, стало быть,

<x,y> F-1∩(Y×пр2G).

б) Обратно, пусть

<x,y> F-1∩(Y×пр2G).

Тогда <x,y> F-1 и <x,y> (Y×пр2G). Из этих принадлежностей выводим, что

<y,x> F

38

и

y пр2G.

Из последней принадлежности следует, что существует такое z, что <z,y> G. Отсюда, согласно нестрогому включению (11) из п.1 ТЧ, получаем:

<y,z> F.

Так как график F – функциональный, то x=z. Следовательно, <x,y> G.

2) Поскольку h–1=<H–1,Y,X>, равенство (II) вытекает непосредст-

в общем случае неверна.

Доказательство

Пусть f =df <{<a,1>, <b,1>}, {a, b}, {1}>, а g =df <{<1,b>}, {1}, {a, b}>.

Тогда g – обратная для f и f(a)=1, но неверно, что g(1)=a, так как g(1)=b.

Примечания

1)При изложении мы будем опираться главным образом на мате- риал, приведенный в монографии [21, стр. 218–230].

2)В самом деле, если f – функциональное и инъективное соответ- ствие, то f-1 – инъективное и функциональное соответствие, то есть

инъекция [18, стр.35].

3)Здесь знакосочетание Pi [1;n]f(i), где f(i) – натуральный терм [16, стр.54, примечание 1], обозначающий произведение натуральных

чисел от f(1) до f(n).

§3. Отображения

В этом параграфе мы займемся подробным изучением отображе-

ний, то есть всюду определенных функциональных соответствий

[17, стр.34], и их видов.

39

1. Операции над отображениями, порожденные операциями над графиками

1. Следующие дефиниции являются хотя и новыми в наших посо- биях [20–22], но уже принятыми терминами в некоторых разделах математики.

Определение 1. Отображение [17, стр.33–35] вида

называют: 1) инъективным (ин-отображением) [2) сюръективным (сюр-отображеним); 3) биективным (би-отображением, или би-

екцией)], если верно соотношение

Довольно часто используют следующую терминологию. Вместо утверждения

Функция f – инъективное отображение

говорят также

Функция f – взаимно однозначное отображение,

а вместо утверждения

Функция f – сюръективное отображение типа Х→Y

говорят

Функция f есть отображение множества X на множество Y1).

Если f – биекция типа Х→Y, то это выражают так:

Функция f «устанавливает взаимно однозначное соответствие между множествами X и Y»,

или

Функция f «приводит множества X и Y во взаимно однозначное соответствие».

40