Дискретная математика основные теоретико-множественные конструкции. Ч.VI. Учебное пособие

Отсюда следует, что

( x Х)( едTx = xТед ).

2) Согласно определению данэла верно

( x X)(адТх= хТад = ад).

Отсюда вытекает, что

( x X)(адТх= хТад).

3. Докажите Утверждение 1 из ТЧ.

4. Найдите все перестановочные пары группоида

Решение. Согласно Определению 1, п.2) из п.4 ТЧ пара <x,y> элемен- тов группоида (I) является перестановочной, если верно равенство

x:y = y:x,

то есть х2 = y2, иначе x = y или x = –y.

Таким образом, в группоиде (I) перестановочными являются пары элементов группоида (I) видов <x, x> и <x, –x>.

5. Найдите все перестановочные пары группоида

где \ – знак теоретико-множественной бинарной операции вычитание множеств [15, стр.47], а (Х) – булеан множества Х [15, стр.44].

Решение. В соответствии с Определением 1, п.2) из п. 3 ТЧ

элементы Y и Z группоида (I) является перестановочным, если верно равенство

Опираясь на теорему «О пяти возможностях (альтернативный вариант)» [15, стр.57, Утверждение 2], проанализируем, при каких из «пяти возможностей» равенство (II) – верное.

1)Если Y Z, то равенство (II) – неверное, так как Y\Z = , а Z\Y ≠ .

2)Если Z Y, то равенство (II) – неверное по причине, аналогич- ной указанной в п.1).

3)Если Y=Z, то равенство (II) – верное.

4)Пусть множества Y и Z находятся в отношении [15, стр. 55, дефиниция (2)]:

151

Покажем, что в этом случае равенство (II) может оказаться опро- вержимым. В самом деле, если Y=df {a, b}, а Z=df {b, c}, все простые соотношения из правой части формулы (III) – верные, но Y\Z={а}, а Z\Y={с}. Однако {а}≠{с}.

5) Пусть множества Y и Z находятся в отношении Ω (омега) [15, стр. 56, дефиниция (3)]:

(YΩZ) ≡df [(Y∩Z= ) (Y≠) (Z≠)].

Это верно, например, для Y=df {a}, а Z=df {b}. Тогда Y∩Z= , Y\Z={a}, а Z\Y={b}, но {а}≠{b}.

Итак, только пары вида <Y,Z>, где Y=Z, являются перестановоч- ными в группоиде (I).

*6. Докажите Утверждение 2.

Доказательство. Утверждение 2 из п.4 в §3 ТЧ формулируется так:

В коммутативном воп-группоиде имена «левый перенос» и «правый перенос» – синонимы [11, стр.47–49].

7. Дайте определение понятию

Некоммутативный группоид

и приведите примеры некоммутативных группоидов.

Ответ. 1) Группоид называют некоммутативным, или непере-

становочным, если существует пара его элементов, компоненты ко- торой неперестановочны (см. Пример 1, пп.3) и 4); Пример 3, п.2).

2) Докажите, что группоиды <xy, N>, Sn и <°, F> – некоммутативные.

8. Дайте определение понятию

Нецентральный элемент группоида

и приведите примеры группоидов, в которых такие элементы присутствуют.

Ответ. 1) Элемент х группоида (I) из упр.1 называют нецентральным, если верно следующее утверждение:

2) В группоиде <–, Z> любой элемент множества Z – нецентраль- ный. В самом деле, если z Z, то

или

( y Z)(z≠y). (II)

152

Последнее соотношение выражает тот факт, что существует целое число, отличное от некоторого целого числа, поскольку Z - беско- нечное множество.

9. Определите понятие

Часть группоида, не являющаяся его центром

Ответ. Часть группоида не является его центром, если существу- ет ее элемент, не являющийся центральным.

*10. Найдите все перестановочные пары элементов группоида <xy, N>. 11. Найдите центры группоидов:

1)<–, Z>; 2) <:, R\{0}; 3) <\, (X)>.

12.Задание. Попытайтесь найти необходимые, достаточные или кри- терии (то есть необходимые и достаточные) условия перстановочности

элементов группоида Sn, где n N и n≥3 (см. п.4) из Примера 1 ТЧ).

13. Докажите Утверждение 3 из ТЧ.

14. Выявите коммутативные пары элементов группоида

Решение

Согласно Определению 1 из п.3 ТЧ пара <x,y> Z2 элементов х и y группоида (I) – перестановочная, когда верно равенство: х–y=y–х, то есть

х = y.

Таким образом, в группоиде (I) перестановчными являются толь-

ко диагональные пары [16, стр.75].

Сократимые группоиды

1. Докажите Утверждение 1 из п.4 в §3 ТЧ.

Доказательство.

Утверждение 1 формулируется так:

В коммутативном воп-группоиде имена «левый перенос» и «пра- вый перенос» – с и н о н и м ы [11, стр.47–49].

Предположим, что

GD =df <T, X> (I)

– коммутативный воп-группоид, то есть между парами его элементов имеет место следующая связь:

( x,y X)(xTy=yTx). (II)

153

В силу соотношения (II) выражения (III) и (IV) – и з о б р а ж е н и я одной и той же функции, то есть синонимы.

2. Что можно сказать о переносах γе и δе, где е – нэл группои- да (I) из упр.1?

Ответ. Переносы γе и δе – тождественные соответствия типа

Х→Х [17, стр.13, Пример 1, п.3)].

Решение

В самом деле, пусть х Х. Тогда

где ° – знак операции компонирования соответствий (в частности,

функций) [17, стр.25, Определение 2].

Установим его. Пусть z Х. Тогда

γxTy(z)=(xTy)Tz=xT(yTz)=γx(γy(z))=γx°γy(z); δxTy(z)=zT(xTy)=(zTx)Ty=δx°δy(z).

4. Дайте определение элементу группоида, не являющемуся его л- рэлом (п-рэлом, д-рэлом) относительно элемента а воп-группоида GD =df <T, X>. 2) Дайте определение элементу группоида, не яв- ляющегося левым регулярным и правым регулярным относительно элемента а Х.

5.Докажите утверждения, сформулированные в Примере 3, пп.2а)

и3) ТЧ (см. Примеры 1 и 2 из ТЧ).

Доказательство

1) Поскольку отображения типа Z→Z видов х→(3–х) и х→(х–3) – инъективные, число 3 Z является дрэлом относительно бинарной операции вычитания целых чисел.

154

2а) Элемент 0 группоида (I) из Примера 1 не является л-рэлом, и поэтому – дрэлом, а также прэлом.

2б) Элемент 1 того же группоида также не является его л-рэлом, и, стало быть, дрэлом, но представляет собой его прэл.

В самом деле, проверим на регулярность элементы 0 и 1 группои-

да (I) из Примера 1.

1) Для числа 0 имеем:

а) функция γ0(х) = 0х – неинъективная, так как, например, вы- сказывание

(05=06) (5=6)

– ложное. Поэтому число 0 не является л-рэлом, и, следовательно, дрэлом относительно бинарной функции типа N→N вида

<x,y>→xy. (I)

б) Правый перенос δ0(х) = х0 функции (I) – неинъективный, по- скольку, в частности, высказывание

(20=30) (2=3)

– ложное.

Из сказанного в пп. а) и б) вытекает, что число 0 N н е я в л я - е т с я лрэлом, и поэтому дрэлом, а также прэлом (относительно функции вида (I) ).

2) Для числа 1 N получаем:

а) Функция γ1(х) = 1х – неинъективная, так как, к примеру, вы- сказывание

(15=16) (5=6)

– ложное. Следовательно, число 1 N не является л-рэлом, и, стало быть, дрэлом относительно функции (I).

б) Правый перенос δ1(х) = х1 функции (I) является инъективным отображением относительно операции (I) в следствии того, что высказывание

( x,y N)[(x1=y1) (x=y)]

– верное. Поэтому число 1 N – прэл группоида (I) из п.2) Примера 1. Итак, число 1 не является лрэлом, и поэтому дрэлом, но представ-

ляет собой прэл относительно операции (I).

6. 1) Докажите Утверждение 3 из п.4 в §3 ТЧ; 2) Верно ли об- ратное утверждение?

155

Доказательство

1) Утверждение 3 формулируется так:

Лнэл (пнэл, днэл) группоида (I) является его лрэлом (соответственно, прэлом, дрэлом).

Установим это утверждение для лнэла.

Пусть ел – лнэл группоида (I), а х Х. Тогда γел(х) = елТх= х.

2) Верно ли обратное утверждение?

7. Докажите Утверждение 4 из п.4 в §3 ТЧ.

Доказательство. Утверждение 4 формулируется так:

Для того чтобы элемент а группоида

GD =df <T, X> (I)

был лрэлом (прэлом, дрэлом), необходимо и достаточно, чтобы бы- ло верным следующее соотношение:

Поскольку

(<a,x>=<a,y>) ≡ ((a=a) (x=y)) (x=y),

то, очевидно, что импликация (II) – верная.

Достаточность. Предположим, что справедлива формула (II). В силу результата, следующего из «цепочки соотношений» (IV), по- лучаем соотношение (III), которое и означает, что γа – инъекция.

8. 1) Докажите, что если группоид (1) – коммутативный, то соот- ношения (I) – (III) из Утверждения 4 – попарно эквивалентные. 2) Какие логические связи имеет место между суждениями, выра- жаемыми соотношениями (I) – (III) из Утверждения 4.

Ответ. 1) (III) (I) (II); 2) (III) (I); (III) (II).

156

9. 1) Докажите, что коммутативный воп-группоид есть др- группоид. 2) Группоид <xy, N> – л-группоид, но не пр-группоид, и поэтому не др-группоид.

Доказательство

1) Коммутативный воп-группоид

– др-группоид, так как верно такое соотношение:

( a,x,y Z){[(a+x) = (a+y) (x=y)] [(x+a) = (y+a) (x=y)]}.

2) Легко убедится (см. Пример 3, п.2), что группоид

<yx, N>

есть лр-группоид, но не пр-группоид, и поэтому не является др-группоидом.

10.Дайте определение и приведите примеры группоидов, несо- кратимых слева, справа и двусторонне.

11.Из Утверждения 2 и Определения 4 может быть выведена

такая дефиниция:

Определение 4′. Группоид (1) называют сократимым слева (сократимым справа, сократимым двухсторонне), если верно сле-

дующее соотношение:

12. Докажите эквивалентность Определений 4 и 4′ из п.4 в §3. 13. Дайте определение группоида, не являющегося рэлом. 14. Докажите Утверждение 5 из п.4 в §3 ТЧ.

Это утверждение формулируется так:

Группоид (1) сократим слева (справа, двухсторонне) тогда и только тогда, когда в каждой строке (в каждом столбце, то есть в каждом ряде) его ТК нет одинаковых имен.

Доказательство. Докажем, что группоид сократим слева тогда и только тогда, когда в каждой строке его ТК нет одинаковых имен (элементов группоида).

157

Необходимость. Предположим, что группоид (1) сократим слева. Это означает, что верно следующее высказывание:

Покажем, что в любой строке его ТК нет одинаковых имен. Предположим противное этому, а именно: в строке а в разных столбцах, например, в столбцах х и у, расположены синонимич- ные имена аТх и аТу. Поскольку их значения равны, что можно выразить так:

аТх = аТу,

то, в силу истинности высказывания (I), верно, что

х=у.

Но это равенство противоречит предположению о том, что х и у – разные имена.

Достаточность. Предположим, что в каждой строке, например строке с именем а ТК группоида (1), нет одинаковых элементов. Это можно выразить, например, так:

где а,x,y X. Из импликации (II), в силу логического правила контра- позиции в импликативной форме [14, стр.52, формула (V.2)], получа-

ем, что верно соотношение

(aTx = aTy) (x=y),

которое равносильно высказыванию (I).

Точно таким же образом могут быть доказаны аналогичные экви- валентности, «входящие» в формулировки Утверждения 5.

15. Докажите или опровергните Утверждение 6, которое форму- лируется так:

Воп-группоид (1) сократим слева (сократим справа, сократим двух- сторонне) тогда и только тогда, когда при любых a,b Х уравнение

158

Доказательство

Покажем, что воп-группоид (1)

Сократим слева тогда и только тогда,

когда уравнение (I) имеет не более одного решения (корня).

Здесь х – переменная [13, стр.44], а a и b – параметры [14, стр.43,

Примечание 2].

Языковóе замечание. Утверждение

Здесь х,y X – параметры.

Необходимость. Пусть группоид (1) сократим слева, то есть вер- но следующее соотношение:

Покажем, что верно соотношение (IV). Из соотношения (V) получаем:

Но это соотношение – «графическая копия» [22, стр.29, п.4] соот- ношения (IV). Таким образом:

Достаточность. Предположим, что верно соотношение (VII). Из него легко вывести соотношение (V). Предоставляем сделать это читателю. Итак, верна импликация:

что и требовалось доказать.

Подобные предложения, относящиеся к сократимости справа и двусторонней сократимости группоидов, доказываются аналогично.

Обратимые группоиды

1. Сформулируйте определение элемента группоида, не являюще- гося его лобэлом (побэлом, добэлом, обэлом).

159

2. Докажите Следствие 1 из Утверждения 1 в п.5 §3 ТЧ. Доказательство Утверждение 1 формулируется так:

Пусть группоид

GD =df < T, X > (I)

– моноид с д н э л о м e [Гл. XII, §2, п.3.2, пп.3.2.1], а a,b,c Х.

Если b – лобэл элемента а, а с – его побэл, то

b=c. (II)

Формально это утверждение можно выразить, например, следую-

Убедимся в этом.

1) В каждом д-нейтрале (в частности, в моноиде) существует по меньшей мере один элемент (а именно, его днэл е), который распола- гает единственным добэлом – это он сам. В самом деле,

еТе =е.

В моноиде <+, N> только его днэл – число 0 (ноль) имеет добэл, который совпадает с ним, поскольку 0+0=0. Для всех остальных эле-

ментов моноида <+, N> это неверно.

В самом деле, пусть х N+, а х′ – его добэл, то есть х′N+ и х+ х′=0. Это равенство свидетельствует о том, что существуют два по- ложительных натуральных числа, сумма которых равна 0, что аб- сурдно. Таким образом, каждое число из N+ не имеет добэла.

2) Докажем Утверждение 4. Предположим, что элемент х Х моно- ида (I) имеет различные добэлы у и z. Это означает, в частности, что

Из соотношения (V), в соответствии с верной формулой (III), сле- дует, что справедливо равенство у=z (см. равенство (II), которое про-

160